相似三角形的判定定理及练习.docx

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相似三角形的判定定理及练习

相似三角形的判定定理及练习

（一）相似三角形

1、定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

3、相似三角形的预备定理：

平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．

强调：

　　①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：

　　∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

　　②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；

　　③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．

（二）相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：

两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：

如图，∠1=∠2=∠3，求证：

△ABC∽△ADE．

例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC,

求证：

△ABC∽△DEF.

判定定理2：

如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？

说说你的理由．

例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60cm,CD=40cm,BD=140cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?

请说明理由.

例3、已知：

AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，

EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：

（1）△AME∽△NMD

（2）ND2=NC·NB

强调：

　　①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；

　　②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）

③如图，可简单记为：

在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．

④补充射影定理。

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS

SSS

AAS（ASA）

HL

相似三角形

的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：

称为“平行线型”的相似三角形

（2）如图：

其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

（3）如图：

∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

二、例题分析

1、下列说法不正确的是（）

A、两对应角相等的三角形是相似三角形；

B、两对应边成比例的三角形是相似三角形；

C、三边对应成比例的三角形是相似三角形；

D、以上有两个说法是正确。

2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（）

A、2对B、3对C、4对D、5对

3、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（）

A、∠ACP=∠BB、∠APC=∠ACBC、

D、

4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：

①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③

；其中正确的有（）

A、3个B、2个　　　C、1个D、0个

5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数是　　　　　　。

6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是

；

7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD=，CD=。

8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_________cm

9、已知:

如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:

ΔABC∽ΔEAD.

10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD

求证：

△DBE∽△ABC

11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：

△ABC∽△BCD

12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？

请证明你的结论。

13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．

求证：

（1）

；

（2）

14、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB，

求证：

AD=BF

15、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。

某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。

若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。

16.如图，在平行四边形ABCD中，

，分别以

为边向外作

和

，使

．延长

交边

于点

，点

在

两点之间，连结

．

（1）求证：

．

（2）当

时，求

的度数．