最新09考研高等数学强化讲义第七章全78848.docx

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最新09考研高等数学强化讲义第七章全78848

09考研高等数学强化讲义（第七章）全78848

新东方考研高等数学电子教材

主讲：

汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

教材说明：

本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。

根据老师的意见，

例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听

老师的讲解效果会更好。

严禁翻印、在上网任意传播！

第七章多元函数积分学

§7.1二重积分

（甲）内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

口诀（40）：

多重积分的计算，累次积分最关键。

模型I：

设有界闭区域

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，则

«SkipRecordIf...»

模型II：

设有界闭区域

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续

则«SkipRecordIf...»

关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域«SkipRecordIf...»如果既不符合模型I中关于«SkipRecordIf...»的要求，又不符合模型II中关于«SkipRecordIf...»的要求，那么就需要把«SkipRecordIf...»分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域«SkipRecordIf...»，然后根据«SkipRecordIf...»再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

口诀（41）：

交换积分的顺序，先要化为重积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»进行积分，然后再对«SkipRecordIf...»进行积分，由于区域«SkipRecordIf...»的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I设有界闭区域

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续。

则

«SkipRecordIf...»

模型II设有界闭区域

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，

«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续。

则

«SkipRecordIf...»

（乙）典型例题

一、二重积分的计算

例1．计算«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»由«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»轴所围区域

解：

如果«SkipRecordIf...»

那么先对«SkipRecordIf...»求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。

«SkipRecordIf...»

这时先对«SkipRecordIf...»积分，«SkipRecordIf...»当作常数处理就可以了。

原式«SkipRecordIf...»

例2．计算«SkipRecordIf...»

解：

原式«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

=«SkipRecordIf...»

=«SkipRecordIf...»

例3．求«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

解一：

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»（对称性）

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

解二：

由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

原式=«SkipRecordIf...»

=«SkipRecordIf...»

=«SkipRecordIf...»

二、交换积分的顺序

例1．交换«SkipRecordIf...»的积分顺序

解：

原式=«SkipRecordIf...»

其中D由«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»以及«SkipRecordIf...»所围的区域

«SkipRecordIf...»

由«SkipRecordIf...»

因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得

原式=«SkipRecordIf...»

例2．设«SkipRecordIf...»连续，证明

«SkipRecordIf...»

证明：

交换积分次序

«SkipRecordIf...»

令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，

«SkipRecordIf...»

例3．计算«SkipRecordIf...»

解：

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

三、二重积分在几何上的应用

1．求空间物体的体积（数学一）

例1．求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积

解：

设两正交圆柱面的方程为«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

因此«SkipRecordIf...»

而整个立体体积由对称性可知

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

例2．求球面«SkipRecordIf...»和圆柱面«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»所围（包含原点那一部分）的体积

解：

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»平面上«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»轴所围平面区域用极坐标系进行计算

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

2．求曲面的面积（数学一）

§7.2三重积分（数学一）

（甲）内容要点

一、三重积分的计算方法

1．直角坐标系中三重积分化为累次积分

（1）设«SkipRecordIf...»是空间的有界闭区域

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»平面上的有界闭区域，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，则

«SkipRecordIf...»

（2）设«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»为竖坐标为«SkipRecordIf...»的平面上的有界闭区域，则

«SkipRecordIf...»

2．柱坐标系中三重积分的计算

«SkipRecordIf...»

相当于把«SkipRecordIf...»化为极坐标«SkipRecordIf...»而«SkipRecordIf...»保持不变

3．球坐标系中三重积分的计算

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

（乙）典型例题

一、有关三重积分的计算

例1．计算«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»由曲面«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»所围的区域

解：

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

例2．计算«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»由曲面«SkipRecordIf...»所围的区域

解：

令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»（广义球坐标）

则«SkipRecordIf...»

例3．计算«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»由曲面«SkipRecordIf...»所围的区域

解：

用球坐标（«SkipRecordIf...»的球坐标方程«SkipRecordIf...»化简为«SkipRecordIf...»）

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

例4．计算«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»由曲面«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»所围的区域

解：

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

二、在物理上的应用

例1．求椭圆锥面«SkipRecordIf...»和平面«SkipRecordIf...»围成物体的重心（设密度均匀恒为1）

解：

设重心坐标«SkipRecordIf...»物体所占空间区域为«SkipRecordIf...»

由对称性可知«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

由锥体体积公式可知«SkipRecordIf...»

令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

而«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

因此，重心坐标«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

例2．设有一半径为«SkipRecordIf...»的球体，«SkipRecordIf...»是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到«SkipRecordIf...»的距离平方成正比（比例系数«SkipRecordIf...»），求球体重心的位置

解一：

设球面方程为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»，球体«SkipRecordIf...»的重心坐标为«SkipRecordIf...»由对称性可知«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

由区域的对称性和函数的奇偶性，则有

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

于是«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

因此«SkipRecordIf...»，重心坐标为«SkipRecordIf...»

解二：

设球面坐标«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，重心坐标«SkipRecordIf...»

由对称性可知«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

于是«SkipRecordIf...»，重心坐标«SkipRecordIf...»

§7.3曲线积分（数学一）

（甲）内容要点

一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间曲线«SkipRecordIf...»的参数方程«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

则«SkipRecordIf...»

（假设«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算

二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线«SkipRecordIf...»的参数方程«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，起点«SkipRecordIf...»对应参数为«SkipRecordIf...»，终点«SkipRecordIf...»对应参数为«SkipRecordIf...»（注意：

现在«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»的大小不一定«SkipRecordIf...»）如果«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»皆连续，又«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»也都连续，则

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

这样把曲线积分化为定积分来计算。

值得注意：

如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。

三、两类曲线积分之间的关系

空间情形：

设«SkipRecordIf...»为空间一条逐段光滑有定向的曲线，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，则

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为曲线孤上«SkipRecordIf...»上点«SkipRecordIf...»处沿定向«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...»方向的切线的方向余弦。

四、格林公式

关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。

定理1．（单连通区域情形）

设«SkipRecordIf...»平面上有界闭区域«SkipRecordIf...»由一条逐段光滑闭曲线«SkipRecordIf...»所围的单连通区域，当沿«SkipRecordIf...»正定向移动时区域«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»的左边，函数«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上有连续的一阶偏导数，则有

«SkipRecordIf...»

五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件

设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在单连通区域«SkipRecordIf...»内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价

1．任意曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»与路径无关

2．«SkipRecordIf...»内任意逐段光滑闭曲线«SkipRecordIf...»，都有«SkipRecordIf...»

3．«SkipRecordIf...»成立

4．«SkipRecordIf...»内处处有«SkipRecordIf...»

（乙）典型例题

一、用参数公式直接计算

例．计算曲线积分

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»是曲线«SkipRecordIf...»，从«SkipRecordIf...»轴正向往负向看«SkipRecordIf...»的方向是顺时针方向。

解：

曲线«SkipRecordIf...»是圆柱面«SkipRecordIf...»和平面«SkipRecordIf...»的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是唯一的选法）最简单可取«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，根据题意规定«SkipRecordIf...»的定向，则«SkipRecordIf...»从«SkipRecordIf...»变到«SkipRecordIf...»，于是

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

二、用格林公式等性质来计算曲线积分

例1．求«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为正的常数，«SkipRecordIf...»为从点«SkipRecordIf...»沿曲线«SkipRecordIf...»到点«SkipRecordIf...»的弧

解一：

用格林公式，但«SkipRecordIf...»不是封闭曲线，故补上一段«SkipRecordIf...»，它为从«SkipRecordIf...»沿«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...»的有向直线。

这样«SkipRecordIf...»构成封闭曲线，为逆时针方向

于是«SkipRecordIf...»，

令«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»，根据格林公式

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

这里«SkipRecordIf...»为由«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»围成的上半圆区域。

另外，在«SkipRecordIf...»上，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，故

«SkipRecordIf...»

于是«SkipRecordIf...»

解二：

我们把所给曲线积分拆成两项

«SkipRecordIf...»

在«SkipRecordIf...»中，由于«SkipRecordIf...»，故积分与路径无关

又看出«SkipRecordIf...»

因此«SkipRecordIf...»

而在«SkipRecordIf...»中，取«SkipRecordIf...»的参数方程«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»从0到«SkipRecordIf...»

于是«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

因此，«SkipRecordIf...»

例2．计算曲线积分«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是以«SkipRecordIf...»为圆心，«SkipRecordIf...»为半径的圆周，取逆时针方向。

解：

令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»成立

因此，不能在«SkipRecordIf...»的内部区域用格林公式

设法用曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»的内部又包含原点在«SkipRecordIf...»的内部，这样在«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»围成的二连通区域内可以用格林公式

今取曲线«SkipRecordIf...»：

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»从«SkipRecordIf...»到0为顺时针方向

令«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»围成区域为«SkipRecordIf...»（二连通区域）

根据格林公式

«SkipRecordIf...»

（逆时针）（顺时针）

于是«SkipRecordIf...»

（顺时针）（逆时针）

用«SkipRecordIf...»的参数公式代入后，得

«SkipRecordIf...»

［注