孙应飞随机过程答案.docx
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孙应飞随机过程答案
孙应飞随机过程答案
【篇一:
随机过程第18-19讲】
lass=txt>(四)随机分析(续)
5.随机微分方程初步
设{y(t);t?
t}是一均方连续的二阶矩过程,x0是一存在一、二阶矩的随机变量,假设{y(t);t?
t}和x0是独立的,考虑以下随机微分方程:
?
dx(t)
?
y(t)?
?
dt
?
?
x(t0)?
x0
试研究{x(t);t?
t}的统计特性。
解:
方程两边在均方意义下积分,有:
x(t)?
x(t0)?
?
ty(u)du
t
并且该解是唯一的。
由于:
e{x(t)}?
e{x(t0)}?
?
te{y(u)}du
t
所以,当e{y(t)}?
0时,
e{x(t)}?
e{x0}
又相关函数为:
rx(t1,t2)?
e{x(t1)x(t2)}
?
e{x0}?
e{x0}?
te{y(u)}du?
e{x0}?
te{y(u)}du
2t2t1
?
?
t
t2
?
t1
t0
ry(u,v)dudv
所以,当e{y(t)}?
0时,有:
rx(t1,t2)?
e{x0}?
?
t
设有一阶线性微分方程:
2t2
?
t1
t0
ry(u,v)dudv
?
dx(t)
?
a(t)x(t)?
y(t)?
?
dt
?
?
x(t0)?
x0
其中a(t),t?
t是一确定性函数,{y(t);t?
t}是一均方连续的实二阶矩过程,
x0是存在一、二阶矩的随机变量,则此线性方程有唯一的解:
x(t)?
x0exp{?
ta(u)du}?
?
ty(v)exp{?
va(u)du}dv
ttt
下面研究其均值函数和相关函数
?
x(t)?
e{x(t)}
?
e{x0}exp{?
ta(u)du}?
?
te{y(v)}exp{?
va(u)du}dv
ttt
rx(t1,t2)?
e{x(t1)x(t2)}
?
e{x}exp{?
ta(u)du}exp{?
ta(v)dv}
20
t1t2
?
exp{?
ta(u)du}?
te{x0y(v)}exp{?
va(u)du}dv
t1t2t2
?
exp{?
ta(u)du}?
te{x0y(v)}exp{?
va(u)du}dv
t2t1t1
?
?
t
t1
?
t2
t0
ry(v1,v2)exp{?
va(u)du}exp{?
va(u)du}dv1dv2
1
21
t1t2
(五)各态历经性
1.各态历经性
本节主要讨论根据试验记录(样本函数)确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。
一般地,计算平稳过程的均值和相关函数有各种不同的方法,例如:
1n
?
x(t1)?
?
xk(t1)
nk?
1rx(t1,t2)?
rx(t1?
t2)?
1
xk(t1)xk(t2)?
nk?
1
n
这样的计算需要对一个平稳过程重复进行大量地观察,以便获取数量很多的样本函数xk(t),而这在实际当中是非常困难的,有时甚至是不可能的。
但是根据平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化,于是自然希望在很长时间内观察得到一个样本函数,可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据。
本节给出的各态历经性定理指出:
对平稳过程而言,只要满足一些较宽的条件,那么集平均(均值函数和相关函数)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的时间平均值来代替。
定义:
设x(t)是均方连续平稳随机过程,如果它沿整个时间轴上的平均值(时间平均)x(t)存在,即
1t
x(t)?
x(t)dt?
lim?
?
tt?
?
2t
存在,而且
p?
x(t)?
e{x(t)}?
?
x?
?
1
则称该随机过程的均值具有各态历经性。
注:
?
x?
e{x(t)}表示该随机过程的集平均或统计平均。
定义:
设x(t)是均方连续平稳随机过程,且对于固定的?
,x(t?
?
)x(t)也
是连续平稳随机过程,x(t?
?
)x(t)表示x(t?
?
)x(t)沿整个时间轴上的时间平均,即
x(t?
?
)x(t)?
?
limt?
?
1t
x(t?
?
)x(t)dt?
?
t
2t
若x(t?
?
)x(t)存在,称x(t?
?
)x(t)为x(t)的时间相关函数。
若
px(t?
?
)x(t)?
e{x(t?
?
)x(t)}?
rx(?
)?
1
则称该过程的自相关函数具有各态历经性。
定义:
如果x(t)是一均方连续平稳随机过程,且其均值和相关函数均具有
?
各态历经性,则称该随机过程具有各态历经性,或者说x(t)是各态历经的,或是遍历的。
例:
计算随机正弦波x(t)?
acos(?
t?
?
)的时间平均x(t)和时间相关函
数x(t?
?
)x(t),其中?
~u(0,2?
),a,?
为常数。
例:
设有平稳随机过程x(t)?
?
,?
是一异于零的随机变量,问该过程是否
各态历经?
引理1:
车贝雪夫不等式:
设x是一随机变量,若dx?
?
,则对于?
?
?
0,
有:
p{x?
ex?
?
}?
dx
?
2
。
?
p{x?
ex}?
1,即:
引理1:
设x是一随机变量,则有:
dx?
0
dx?
0?
x?
ex
a.e
定理1:
(均值各态历经定理)平稳随机过程x(t)的均值具有各态历经性的
充分必要条件是:
lim
t?
?
?
?
12t?
?
1?
?
rx(?
)?
?
x?
?
?
2t?
2t?
2t?
?
2
?
d?
?
0
?
t?
t
证明:
由于x(t)是一随机变量,计算x(t)的均值和方差:
1?
ex(t)?
e?
lim
?
t?
?
2t1?
x(t)dt?
?
lim?
?
t
?
t?
?
2t
t
e{x(t)}dt?
?
x
2
dx(t)?
e{x(t)?
?
x}?
e{x(t)}?
?
x
2
2
?
1
?
lime?
2
t?
?
?
4t?
1?
lim?
2
t?
?
?
4t?
1?
lim?
2
t?
?
?
4t?
1?
lim?
2
t?
?
?
4t?
1?
lim?
2
t?
?
?
4t
t
t?
x(t)dtx(t)dt?
?
x?
?
t11?
?
t22?
?
tt
2
?
e{x(t)x(t)}dtdt1212?
?
?
x?
?
t?
?
t
?
?
r(t?
t)dtdt?
?
x
?
?
t?
?
tx1212?
?
t
t
2
2
?
?
?
tt
tt?
t
?
r(t?
t)?
?
?
dtdt?
?
?
2
x
1
2
x
1
2
?
c(t?
t)dtdt?
?
t?
?
tx1212?
?
t
其中cx(t1?
t2)?
rx(t1?
t2)?
作变换:
?
x是x(t)的自协方差函数。
2
?
t1?
t2?
?
?
t1?
(?
?
u)/2
?
?
?
t?
t1,t2?
t?
?
t2?
(u?
?
)/2?
t1?
t2?
u
变换的雅可比行列式为:
j?
于是有:
?
(t1,t2)1
?
?
(?
u)2
?
1
dx(t)?
lim?
2
t?
?
?
4t?
1?
lim?
2
t?
?
?
4t?
1?
lim?
2
t?
?
?
4t?
lim
t?
?
?
c(t?
t)dtdt?
?
t?
?
tx1212?
?
t
t
?
?
?
2t2t?
2t
2t2t?
?
?
2t?
?
1?
cx(?
)dud?
?
2?
?
(?
)d?
?
x
?
?
?
2t?
?
?
c
2t
?
1?
?
2t?
1?
?
2t
?
?
?
?
?
?
2t?
1?
2t?
cx(?
)d?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
2t?
1?
2t?
rx(?
)?
?
xd?
?
?
?
?
2t
?
lim
t?
?
?
?
由引理2,即可得定理的结论。
如果随机过程是实过程,则cx(?
?
)?
cx(?
),rx(?
?
)?
rx(?
),对于实
平稳过程x(t),均值满足各态历经性的充分必要条件是:
lim
t?
?
12t?
?
?
2
?
?
d?
?
01?
r(?
)?
?
?
?
xx?
0
t?
2t?
推论:
若平实稳随机过程x(t)的自协方差函数cx(?
)满足:
limcx(?
)?
0
?
?
?
则平稳随机过程x(t)的均值具有各态历经性。
推论:
设随机序列{xn,n?
0,1,2,?
}是平稳序列,则
【篇二:
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nces,cas),于1949年11月在北京成立,是中华人民共和国科学技术方面的最高学术机构,全国自然科学与高新技术综合研究发展中心。
1977年5月,哲学社会科学学部独立并另组中国社会科学院。
中国科学院与中国工程院在中国并称“两院”。
中科院《统计模拟与统计软件》谢田法60讲
中科院《统计学习基础》卿来云43讲
中科院《数学模型及其应用》黄钧16讲
中科院研究生《美国近现代科技史》王作跃主讲
中科院研究生课程《高级人工智能》史忠植视频4.46g
中科院黄庆明《模式识别》19讲
中科院《知识管理与工程》游源淳13讲
中科院《普适计算》朱珍民9讲
中科院研究生课程《传感器网络系列讲座》
中科院研究生课程《云计算系列讲座》
中科院研究生《多媒体计算机技术》刘玉贵29讲
中科院《时间序列分析》张建方28讲
中科院研究生课程《有限元方法》张年梅视频教程
中科院《机器学习与图像视频分析》19讲
中科院刘定生《数字图像处理与分析》36讲
中科院《视觉分析和理解进展》主讲
1
2
【篇三:
高斯(gauss)过程】
s=txt>
(一)多元正态(gauss)分布
1.n元正态分布的定义定义:
设?
?
(?
1,?
2,?
?
n)
t
是n元随机向量,其均值为
t
?
?
(?
1,?
2,?
?
n),其中?
i?
e{?
i},i?
1,2,?
n,令:
bik?
cov(?
i,?
k)?
e{(?
i?
?
i)(?
k?
?
k)},i,k?
1,2,?
n
则可得?
的协方差矩阵为:
b?
(bik)n?
n,注意矩阵b为一非负定对称矩阵,我们有如下的定义:
(1)如果b是一正定矩阵,则n元随机向量?
?
(?
1,?
2,?
?
n)服从正态分布
时的概率分布密度为:
f?
(x1,x2,?
xn)?
f?
(x)?
t
t
1(2?
)
n/2
b
1/2
exp{?
12
(x?
?
)b(x?
?
)}
t?
1
其特征函数为:
?
?
(t1,t2,?
tn)?
?
?
(t)?
exp{jt?
?
?
t
t
tbt}(a)
t
n元随机向量服从正态分布记为:
?
~n(?
b)。
(2)如果b不是一正定矩阵,则由(a)可以定义一特征函数,由此特征函数
对应的分布函数我们定义为n元正态分布,仍记为?
~n(?
b)。
2.n元正态分布的边缘分布
定理:
设?
?
(?
1,?
2,?
?
n)为服从n元正态分布的随机向量,即?
~n(?
b),则?
的任意一个子向量(?
k,?
k,?
?
k),m?
n仍服从正态分布。
1
1
m
t
3.n元正态分布的独立性
定理:
n元正态分布的随机变量?
1,?
2,?
?
n相互独立的充分必要条件是它们两两不相关。
定理:
设?
t
?
(?
1,?
2,?
?
n)为正态分布的随机向量,且?
t
?
(?
1,?
2)
t
?
b11
b?
?
?
b
?
21b12?
?
?
b22?
其中:
b11,b22分别是?
1,?
2的协方差矩阵,b12是由?
1及?
2的相应分量的协方差构成的矩阵,b12?
b21,则?
1与?
2相互独立的充分必要条件是b12?
0。
4.正态随机变量线性变换后的性质
(1)设?
n
t
t
?
(?
1,?
2,?
?
n)~n(?
b),?
t
tt
?
(?
1,?
2,?
?
n),
t
?
?
?
a?
k
k?
1
k
?
a?
?
t
,a?
(a1,a2,?
an),则有e{?
}?
a?
?
,
d{?
}?
aba。
t
(2)令c?
(cjk)m?
n,?
?
c?
,则有:
e{?
}?
c?
d{?
}?
cbc
t
(3)?
?
?
?
t
?
(?
1,?
2,?
?
n)~n(?
b)的充分必要条件是:
n
t
?
a?
k
k?
1
k
?
a?
~n(?
ak?
k,?
k?
1
t
nnn
?
a
k
aibki)?
n(a?
aba)
tt
k?
1i?
1
(4)若?
t
?
(?
1,?
2,?
?
n)~n(?
b),c?
(cjk)m?
n为任意的矩阵,则
t
t
有:
?
?
c?
为服从m元正态分布,即?
?
c?
~n(c?
cbc
(5)若?
t
)。
t
?
(?
1,?
2,?
?
n)~n(?
b),则存在一正交矩阵u,使得
t
t
它的均值为u?
,方差为矩阵b的特?
?
u?
是一独立正态分布的随机向量,征值。
5.例子
?
设(x1,x2,x3,x4)为服从正态分布的随机向量,且e{xi}?
0,i?
1,2,3,4,
试证明:
e{x1x2x3x4}
?
e{x1x2}e{x3x4}?
e{x1x3}e{x2x4}?
e{x1x4}e{x2x3}
证明:
见教材p466。
注意:
此结论非常重要,经常会被应用。
?
设x,y是服从均值为零的正态分布二维随机变量,其联合概率密度为:
f(x,y)?
1
2?
?
1?
2
2
?
?
x212rxyy?
?
exp?
?
?
2?
?
?
2?
22
?
1?
2?
2?
?
?
r?
2(1?
r)?
?
1
则
e{xy}?
r?
1?
2,
e?
xy
e{xy}?
?
1?
2?
2r?
1?
22?
1?
2
2222222
?
?
?
2
?
?
?
sin?
?
cos?
?
其中:
sin?
?
r,?
?
2
?
?
?
。
证明:
由联合分布可以求得边缘分布和条件分布为:
fx(x)?
2
?
x?
exp?
?
2?
2?
?
1?
2?
1?
1
fy
x
(yx)?
f(x,y)fx(x)
?
2?
?
11?
exp?
?
22
2(1?
r)?
?
r?
2?
?
22
?
r?
2x?
?
y?
?
?
1?
?
2
?
?
?
?
?
由此可得:
e?
yx?
?
r?
2
?
1
x,
e?
y
2
x?
?
(1?
r)?
2
22
?
r?
222
?
1
2
x
2
因此,我们有:
e?
xy?
?
e?
e?
xyx?
?
?
e?
xe?
yx?
?
?
r?
2
?
1
e?
x
2
?
?
r?
1
?
2
e?
xy
2
2
?
?
e?
e?
x
2
2
2
y
2
x?
?
?
e?
xe?
y
2
2
x?
?
2
?
(1?
r)?
2e?
x
2
2
2
2
2
?
?
2
r?
222
?
1
2
e?
x
2
4
?
?
(1?
r
2
)?
2?
1?
2
22
r?
222
?
1
2
?
3?
1
4
?
?
2?
1?
2r?
2?
1?
e?
x
?
e?
y?
?
2?
e?
xy?
?
另外
e?
xy?
?
?
?
?
xyf(x,y)dxdy
?
?
xy?
0
xyf(x,y)dxdy?
?
?
xy?
0
xyf(x,y)dxdy
?
e{xy}?
2
?
?
xy?
0?
0
xyf(x,y)dxdy
0?
?
r?
1?
2
?
?
2?
?
xyf(x,y)dxdy?
?
?
0?
?
?
?
xyf(x,y)dxdy
?
?
0
?
?
?
令:
x?
u?
?
?
?
1
?
y?
v?
?
?
2?
则有:
e?
xy
?
?
r?
?
?
2?
1
2?
1?
?
2
?
122?
?
?
?
dudvuvexp?
u?
2ruv?
v?
22?
?
?
r0?
?
?
2(1?
r)?
2
?
0
2
?
0
?
r?
1?
2?
1?
2
?
?
?
?
?
1?
?
u?
rv?
?
2
uvexp?
?
v?
?
?
?
?
?
dudv2?
?
2
2?
?
r0?
?
?
?
?
?
?
r?
?
?
?
?
令:
u?
rv?
?
rcos?
?
2?
?
r?
?
rsin?
?
v
则有:
?
u?
?
r2rcos?
?
rrsin?
?
?
v?
rsin?
?
(u,v)?
(r,?
)
?
r?
r
2
?
dudv?
r?
rdrd?
2
因此有:
e?
xy
?
?
?
r?
2?
1?
2
1
?
2?
?
?
?
?
?
0?
arccosr
rsin?
2
?
?
?
rrcos?
?
rrsin?
exp{?
2
?
r2
2
rdrd?
?
r?
1?
4?
1?
2
?
4?
1?
2
?
sin?
?
arccosr
?
rcos?
?
rsin?
d?
1
1
2
?
?
r?
1?
2?
1?
2
?
?
?
1?
2?
?
22
?
rsin?
?
r?
?
rsin2?
?
24?
?
arccos
r
?
2
?
?
?
sin?
?
2
?
cos?
?
。
其中:
sin?
?
r,?
?
?
?
?
2
(二)高斯过程
定义:
如果随机过程{?
(t);t?
t}的有限维分布均为正态分布,则称此随机过程为高斯过程或正态过程。
正态过程是二阶矩过程。
设t1,t2,?
tn?
t,则由正态过程的定义,有:
f?
(xt,xt,?
xt)?
1
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