圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧doc.docx
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圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧doc
XX文库-让每个人平等地提升自我
圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备:
1.直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率k
tan
[0,
)
k
y2
y1
x2
x1
②点P(x0,y0)到直线Ax
By
C
0的距离
Ax0By0C
d
B2
A2
l1
:
yk1xb1
夹角为
,
k2
k1
③夹角公式:
直线
则tan
l2:
yk2xb2
1k2k1
(3)弦长公式
直线y
kx
b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离
①AB
(x2
x1)2
(y2
y1)2
②AB
1
k2
x
x
(1
k2)[(x
x
)2
4xx
]
1
2
1
2
1
2
③AB
1
1
y1
y2
k
2
(4)两条直线的位置关系
(Ⅰ)l1:
y
k1x
b1
l2:
y
k2xb2
①l1
l2
k1k2=-1
②l1//l2k1
k2且b1
b2
l1:
A1xB1yC1
0
(Ⅱ)
0
l2:
A2xB2yC2
①l1l2A1A2
B1B20
②l1//l2
A1B2-A2B1=0且AC1
2
-A2C1
0或A1
B1
C1
者(A2B2C2
0)
A2
B2
C2
1
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两平行线距离公式
l1:
ykxb1
|b1
b2|
l2:
ykxb2
距离d
k2
1
l1:
AxByC1
0
|C1
C2|
l2:
AxByC2
0
距离d
B2
A2
2、圆锥曲线方程及性质
1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:
椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的
和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,
当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常
数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。
若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____(答:
双曲线的左支)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:
焦点在x轴上时x
2
y
2
y轴上时y
2
x
2
2
21(a
b0),焦点在
2
2
=1
a
b
a
b
(ab0)。
方程
2
2
表示椭圆的充要条件是什么?
(
≠,且
A,B,C
Ax
ByC
ABC0
同号,A≠B)。
椭圆的方程的形式有几种?
(三种形式)
标准方程:
x2
y2
1(m
0,n
0且m
n)
m
n
距离式方程:
(x
c)2
y2
(x
c)2
y2
2a
参数方程:
x
acos,y
bsin
若x,y
R,且3x2
2y2
6,则x
y的最大值是____,x2
y2的最小值是___(答:
5,2)
()双曲线:
焦点在x轴上:
x2
y2
y2
x2
=1(a0,b
0)。
2
a
2
b
2=1,焦点在y轴上:
2
b
2
方程Ax2
By2
a
C表示双曲线的充要条件是什么?
(ABC≠0,且A,B异号)。
如设中心在坐标原点O,焦点1
、
F
2
在坐标轴上,离心率e
2的双曲线
C
过点
F
2
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P(4,10),则C的方程为_______(答:
x2
y2
6
)
(3)抛物线:
开口向右时y2
2px(p
0),开口向左时y2
2px(p0),开口向
上时x2
2py(p0),开口向下时x2
2py(p
0)
。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:
由x2,y2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
x2
y
2
m1
2
1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:
m
3
(,1)(1,))
22
(2)双曲线:
由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
提醒:
在椭圆中,a最大,a2b2c2,在双曲线中,c最大,c2a2b2。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以
x2
y2
1
(a
b0)为例):
①范围:
a
x
a,by
b
;②
a2
b2
焦点:
两个焦点(
c,0);③对称性:
两条对称轴x
0,y
0,一个对称中心(0,0),四
个顶点(a,0),(0,
b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:
两条准线x
a2
;⑤
c,椭圆
c
离心率:
e
0
e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。
a
25);
如
(1)若椭圆x2
y2
1的离心率
e
10
,则
m的值是
(答:
3
或
5
m
5
__
3
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为
1时,则椭圆
长轴的最小值为__(答:
2
2)
(2)双曲线(以
x2
y2
1(a
0,b
0)为例):
①范围:
x
a或x
a,yR;②焦
b2
a2
点:
两个焦点(
c,0)
;③对称性:
两条对称轴
x0,y0
,一个对称中心(
0,0),
两个顶点(a,0)
,其中实轴长为
2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相
等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x2
y2
k,k
0;④准线:
两条准线x
a2
;
c
⑤离心率:
e
c,双曲线
e
1,等轴双曲线
e
2,e越小,开口越小,e
a
bx。
双曲线的方程的形式有两种
越大,开口越大;⑥两条渐近线:
y
a
标准方程:
x2
y2
1(mn
0)
m
n
3
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距离式方程:
|(xc)2
y2
(xc)2
y2|
2a
(3)抛物线(以y2
2px(p
0)为例):
①范围:
x
0,yR;②焦点:
一个焦点(p,0),
其中p的几何意义是:
焦点到准线的距离;③对称性:
一条对称轴
2
y
0,没有对称中
心,只有一个顶点(0,0);④准线:
一条准线x
p;⑤离心率:
e
c,抛物线e1。
2
a
1));
如设a0,aR,则抛物线y
4ax2的焦点坐标为________(答:
(0,
16a
5、点
x02
a2
x02
a2
P(x0,y0)和椭圆x2
y2
1(ab
0)的关系:
(1)点P(x0,y0)在椭圆外
y02
a2
b2
x02
y02
1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上
=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆内
b
2
a
2
b
2
y02
b2
1
6.记住焦半径公式:
(1)椭圆焦点在x轴上时为aex0;焦点在y轴上时为aey0,可简记为“左加右减,上加下减”。
(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x0|
a
(3)抛物线焦点在x轴上时为|x1|
p
p
焦点在y轴上时为|y1
|
2
2
7.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?
第二、方法储备
1、点差法(中点弦问题)
设Ax1,y1
、Bx2
y2
,M
a,b
为椭圆x2
y2
1的弦AB中点则有
4
3
x1
2
y1
2
1,x2
2
y2
2
1;两式相减得
x1
2
x2
2
y1
2
y2
2
0
4
3
4
3
4
3
x1
x2x1
x2
y1y2
y1
y2
kAB=
3a
4
3
4b
2、联立消元法:
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?
经典套路是什么?
如果有两个参数怎么办?
4
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设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使
用判别式0,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点
A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子,然后○1-○2,整体消
元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦
点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系,则寻找坐标之间的
关系,根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为ykxb,就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y280上,且点A是椭圆短轴的一
个端点(点A在y轴正半轴上).
(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;
(2)若角A为900,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
分析:
第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而
写出直线BC的方程。
第二问抓住角A为900可得出AB⊥AC,从而得
x1x2y1y214(y1
y2)
160,然后利用联立消元法及交轨法求出点
D的轨迹方程;
解:
(1)设B(
x1
y1
)
C(x2,y2
),BC
中点为
则有x12
y12
x22
y22
(x0,y0),F(2,0)
20
16
1,
1
20
16
两式作差有
(x1
x2)(x1
x2)
(y1
y2)(y1
y2)
x0
y0k
0
(1)
20
16
0
5
4
F(2,0)为三角形重心,所以由
x1
x2
2,得x0
3,由y1
y2
4
0得y0
2,代入
3
3
(1)得k
6
5
直线BC的方程为6x
5y
28
0
2)由AB⊥AC得
x1x2
y1y2
14(
y1y2
)16
0
()
2
设直线BC方程为y
kx
b,代入4x2
5y2
80,得(4
5k2)x2
10bkx
5b2
800
5
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x1
x2
10kb
,x1x2
5b2
80
5k
2
4
5k
2
4
y1
y2
8k
y1y2
4b2
80k2
代入
(2)式得
5k
2
4
5k
2
4
9b2
32b
16
0,解得b
4(舍)或b
4
4
2
9
5k
4
y
4
y4
直线过定点(0,
9
9y
2
9x
2
32y160
),设D(x,y),则
x
1,即
9
x
所以所求点D的轨迹方程是x2
(y
16
)2
(
20)2(y4)
。
9
9
4、设而不求法
例2、如图,已知梯形ABCD中AB
2CD,点E分有向线段AC所成的比
为
,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当2
3时,求双曲
3
4
线离心率e的取值范围。
分析:
本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运
算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。
建立直角坐标系
xOy,如图,若设
Cc,h,代入x
2
y2
1
,求得h
,进而求得xE,yE
再代入x
2
y21,
2
a
2
b2
a
2
b2
建立目标函数f(a,b,c,
)
0,整理f(e,)0,此运算量可见是难上加难.我们对h可
采取设而不求的解题策略,
建立目标函数f(a,b,c,)0,整理f(e,)0,化繁为简.
解法一:
如图,以AB为垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,
则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D
关于y轴对称
依题意,记A
c,0,C
c,h,Ex0,y0,其中c
1
|AB|为双曲线
2
2
6
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的半焦距,h是梯形的高,由定比分点坐标公式得
c
c
2c
h
2
x0
,
y0
2
1
1
1
设双曲线的方程为
x2
y2
c
a
2
b2
1,则离心率e
a
由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e
c代入双曲线方程得
a
e2
h
2
1,
①
4
b2
e2
2
h2
1
②
4
1
1
b2
由①式得
h2
e2
1,
③
b2
4
将③式代入②式,整理得
e2
4
4
1
2
,
4
故
1
3
e2
1
由题设2
3得,2
1
e2
3
3
3
4
3
2
4
解得
7
e
10
所以双曲线的离心率的取值范围为7,10
分析:
考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径公式,AE,AC用E,C的横坐标表示,回避h
的计算,达到设而不求的解题策略.
解法二:
建系同解法一,
AE
a
exE,ACaexC,
c
c
2c
AE
3
2
3
xE
2
,代入整理1
1
2
,又
AC
e2
1
,由题设
4
1
1
3
得,2
1
e2
3
3
3
2
4
解得
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