微积分各章习题及详细答案供参考.docx

微积分各章习题及详细答案供参考.docx

《微积分各章习题及详细答案供参考.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分各章习题及详细答案供参考.docx（198页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

微积分各章习题及详细答案供参考

第一章

函数极限与连续

一、填空题

1、已知f（sinx）1

cosx，则f（cosx）

。

2

（4

3x）

2

2、lim

2

）

。

x

x（1x

3、x

0

时，tanx

sinx是x的

阶无量小。

4、limxk

sin1

0建立的k为

。

x

0

x

5、limexarctanx

x

6、f（x）

ex

1,

x

b,

7、limln（3x

1）

x0

6x

。

x

0在x

0处连续，则b

。

x

0

。

8、设f（x）的定义域是[0,1]，则f（lnx）的定义域是__________。

9、函数y1ln（x2）的反函数为_________。

10、设a是非零常数，则lim（xa）x________。

xxa

1

11、已知当x

0时，（1

ax2）31与cosx1是等价无量小，则常数a________。

12、函数f（x）

arcsin3x

的定义域是__________。

1

x

13、lim（x2

2

x2

2）

____________。

x

14、设lim（x

2a）x

8，则a

________。

xxa

15、lim（n

n

1）（

n

2

n）=____________。

n

二、选择题

1、设f（x）,g（x）是[

l,l]上的偶函数，h（x）是[

l,l]上的奇函数，则

中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）f（x）

g（x）；（Ｂ）f（x）h（x）；（C）f（x）[g（x）h（x）]；（D）f（x）g（x）h（x）。

2、

1

x

3

x

（x）

，

（x）

1

x，则当

时有

。

1

x

1

（Ａ）

是比高阶的无量小；

（Ｂ）

是比

低阶的无量小；

（C）

与

是同阶无量小；

（D）

~

。

3、函数f（x）

1

x

1

x

0（x

1）在x

0处连续，则k

31

x

1

。

k

x0

（Ａ）

3；

（Ｂ）

2；

（C）1；

（D）0。

2

3

4、数列极限limn[ln（n1）

lnn]

。

n

（Ａ）1；

（Ｂ）

1；

（C）

；

（D）不存在但非

。

x

sinx

0

x

x

5、f（x）

x

0

，则x

0是f（x）的

0

。

xcos1

x

0

x

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去中断点；（C）跳跃中断点；（D）振荡中断点。

6、以下各项中

f（x）和g（x）同样的是（

）

（Ａ）f（x）

lgx2，g（x）

2lgx；

（Ｂ）f（x）

x，g（x）

x2；

（C）

f（x）

3

x

4

x

3

3

2

2

，g（x）xx

1；（）

1

，

g（x）

secx

tanx

。

Df（x）

7、limsinx=

（

）

x0|x|

（Ａ）

1；

（Ｂ）

-1；

（C）

0；

（D）不存在。

1

8、lim（1

x）x

（

）

x

0

（Ａ）

1；

（Ｂ）-1；

（Ｃ）

e；

（Ｄ）

e1。

9、f（x）在x0的某一去心邻域内有界是

limf（x）存在的（

）

x

x0

（Ａ）充足必需条件；（Ｂ）充足条件；（C）必需条件；（D）既不充足也不用要条件.

10、limx（

x2

1

x）

（

）

x

（Ａ）

1；

（Ｂ）

2；

（C）

1；

（D）0。

11、设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且

2

liman

0,limbn

1,limcn

，则必有（

）

n

n

n

（A）

an

bn

对随意n建立；

Bbn

cn

对随意n建立；

（）

（C）极限limancn不存在；

（D）极限limbncn不存在。

n

n

x

1

e

1

12、当

的极限（

）

时，函数x2

1

x1

x

1

（Ａ）等于２；

（Ｂ）等于０；

（Ｃ）为

；

（Ｄ）不存在但不为

。

三、计算解答

1、计算以下极限

（1）lim2

n

sin

x

；

（

2）lim

cscx

cotx

；

2

n1

x

n

x0

1

3x

（3）lim

（

x

1）

；

（4）lim

2x

1

；

x

xe

2x

1

x

（5）lim

8cos2

x

2cosx

1

；

（6）lim

1xsinx

cosx

；

2cos

2

x

cosx1

xtanx

x

x0

3

（7）lim

1

1

1

1

；（8）lim

ln（1

3

2

x）。

n

2

2

3

n（n

1）

x2arctan3

4

x2

３、试确立a,b之值，使lim

x2

1

axb

1。

x

x

1

2

４、利用极限存在准则求极限

1

1

1

1

1

（1）lim

2

3

1

n

n

1。

n

1

1

1

2

3

n

（2）设x1

a

0，且xn

1

axn（n

1,2,

），证明limxn存在，并求此极限值。

n

5、议论函数f（x）

lim

nx

nx

的连续性，如有中断点，指出其种类。

n

x

n

x

n

6、设f（x）在[a,b]上连续，且a

f（x）

b，证明在（a,b）内起码有一点

，使f（）

。

第一单元

函数极限与连续习题解答

一、填空题

1、2sin2

x

。

f（sinx）

1

（1

2sin2x）

2

2sin2

x，

2

2

2

f（x）

2

2x2

f（cosx）2

2cos2

x

2sin2x。

、

。

lim

（43x）2

9x2

24x16

0。

20

x（1

2

）

lim

x

3

x

x

x

x

3、高阶。

limtanx

x

sinx

limtanx（1

x

cosx）

lim（1

cosx）

0

，

x

0

x

0

x

0

4、k

0

tanx

sinx是x的高阶无量小。

。

sin1

为有界函数，所以要使

limxksin1

0，只需limxk

0，即k

0。

x

x0

x

x

0

5、

0

。

limexarctanx

0

（

limex

0,arctanx

（

））。

x

x

2

2

6、b

2

。

lim

f（x）

lim（x

b）

b，

lim

f（x）

lim（ex

1）

2，

x

0

x0

x0

x0

f（0）

b,

b

2。

7、1

limln（3x

1）

lim

3x

1

。

2

x

0

6x

x06x

2

8、

1

x

e

依据题意

要求

0

lnx

1

，所以

1

x

e。

9、y

ex

1

2

y

1

ln（x

2）,

（y

1）

ln（x

2），x

2

ey1，

x

ey

1

2，

y

1

ln（x

2）的反函数为y

ex1

2。

10、e2a

原式=lim（1

x

a

x

2a

e2a。

2a）2a

xa

x

x

a

3

1

1~1ax2（利用教材P58（1

1x2，以

11、a

由（1

ax2）3

x）a

1:

ax）与cosx1~

2

3

2

1

1

ax2

及lim（1

2

3

ax）

1

lim

3

1

2

a

1，

x

0

cosx

1

x0

x

2

3

2

3

可得

a

。

1

1

2

12、

x

由反三角函数的定义域要求可得

4

2

1

3x

1解不等式组可得

1