不等式的几个性质.docx

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不等式的几个性质

不等式的几个性质

不等式的性质是后继学习的基础，熟练掌握并能灵活运用不等式的性质，是提高解题准确性和快捷性的关键。

这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质，以供参考。

1．乘方、开方性质

1）若ab，则有：

①a2n1b2n1；②2n1a2n1b（nN）。

2）若0ab，则a2nb2n（nN）。

3）若0ax2b，则bxa或axb。

2．

取倒数性质

1

1

。

1）

若ab0或0a

b，则

a

b

111

。

2）

若0axb或a

xb

0，

则

bxa

3．

取绝对值的性质

1）a2b2ab。

2）若axb，且a0,b0，①当ba时，有xb；②当ba时，有xa。

4．有关分数的性质

若a,b,mR，且ab，则

性质，可简述为：

假分数越加越小，越减越大。

以上性质都可由基本不等式或绝对值的定义，通过简单推导而得到，作为练习，其证明均留给读者。

对以上不等式，建议大家熟练掌握，这对加快解题速度有帮助。

不等式的性质

2例1比较x23与3x的大小，其中xR．

解：

（x23）3xx23x3[x23x（3）2]（3）23（x3）2330，

22244

∴x233x．

说明：

由例1可以看出实数比较大小的依据是：

①ab0ab；

②ab0ab；③ab0ab．

例2比较x61与x4x2的大小，其中xR

解：

（x61）（x4x2）x6x4x21x4（x21）（x21）（x21）（x41）

（x21）（x21）（x21）（x21）2（x21）

642642

当x1时，x61x4x2；当x1时，x61x4x2.

说明：

两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：

第一步：

作差；第二步：

变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：

定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．

2x12

例3xR，比较（x1）（x21）与（x）（x2x1）的大小．

2x12分析：

直接作差需要将（x1）（x21）与（x）（x2x1）展开，过程复杂，

式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．

2x2x2x解：

∵（x1）（x21）=（x1）（x2x1）（x1）（x2x1）（x1），

1212212

（x）（x2x1）（x1）（x2x1）（x1）（x2x1）（x2x1），

2x121211∴（x1）（x21）（x）（x2x1）（x2x1）x（x1）0．

x1

则有xR时，（x1）（x21）（x）（x2x1）恒成立．

说明：

有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到

比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．

1

例4设xR，比较与1x的大小．

1x

说明：

如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．

例5比较1816与1618的大小

分析：

两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。

解：

116818（1168）161612（89）16（12）16（892）16

9

892（0,1）

ab

aabab

（）ab>1即ba>1，

bab

baaaba又ab>0，ab>ab

说明：

求商法的基本步骤是：

①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.

例7实数a、b、c、d满足条件：

①ab,cd；②acbc0；③

adbd0，则有（）

A．acdbC．acbd

B．cabd

D．cadb

（天津市2001年南开中学期末试题）

分析：

先由条件②③分析出出大小．

a、b与c、d的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比

解：

∵acbc0，∴a、b与c同侧

∵adbd0，∴a、b与d异侧∵ab,cd∴把a、b、c、d标在数轴上，只有下面一种情况

由此得出cadb，∴此题选D．

说明：

比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．

例8已知①1ab1；②1ab3，求：

3ab的取值范围．

分析：

此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：

（1）利

用待定系数法将代数式3ab用ab和ab表示．

（2）利用不等式性质及题目条件确定3ab的范围．

解：

设：

3abx（ab）y（ab）（xy）a（xy）b

由①+②×2得：

12（ab）2（ab）132

即：

13ab7．

说明：

此题的一种典型错误做法，如下：

1ab1,1ab3,02a4，即：

0a2

1ab1,3ba1

42b0

03a6,0b2,

03ab8

此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当ab取到最大值或最小值时，ab不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．

避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．

例9

判

断下列各命题的真假，并说明理

由．

（1）

若

22

ac2bc2，则ab.

（2）若

11ab，则.

ab

（3）

若

ab,c0，则cc.（4）

若a

b,cd，则acbd.

ab

（5）

若

2

ab0,ac，则a2bc.

（6）

若ab,mN，则ambm

分析：

利用不等式的性质来判断命题的真假．

10

解：

（1）ac2bc2c20c2ab，是真命题．

22

acbc

2）可用赋值法：

11

a3,b2，有ab，是假命题．

ab,ab0

a

ab,ab01

a

4）取特殊值：

a5,b1,c2,d3.有acbd，∴是假命题．

定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即ab,cdacbd.

6）定理4成立的条件为必须是正数．

举反例：

a3,b4,m2，则有ambm.

说明：

在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．

11

例10求证：

ab,a0,b0.

ab

分析：

把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．

证明：

利用不等式的性质，得

abab0

1111abab0，

00

abbaab

例11若ab,cd，则下面不等式中成立的一个是（）

（A）adbc（B）acbd

ab

（C）（D）dacb

cd

解：

由不等式的性质知：

（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）正是异向不等式相减的结果．

ababdacb.

cddc

说明：

本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．

例12若11，则下面各式中恒成立的是（）．

（A）20（B）21

（C）10（D）11

分析本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两

个内容，即11，11和，根据不等式的性质，可得11，

0，继而得到22且0，故20，因此选A．

例13若abc，则一定成立的不等式是（

111

D．

abc

分析：

A错，当ab,c0时有acbc；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．

故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c），原不等式成立．

说明：

这类题可以采用特例法：

令c0即得C成立．

例14已知：

a>b，e>f，c0，求证：

fac

分析：

要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．

证明：

a>b，c>0，ac>bc，ac

又f

fac

说明：

此题还可采用异向减性来处理：

fbc，fac

例15已知集合IR，Ax|x25x14<０，Bx|x|y2,yA,求：

AB．

分析：

要求AB，需要先求集合A和B，从已知来看，A的范围容易求，B的元素由yA可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．

2

解：

x25x140且IR,2x7.

Axx25x140x2x7.

yA,2y7.4y25.|x|y2,4|x|5,|x|5.

5x5.

Bx5x5.AB{x2x5}.

说明：

本题中的条件IR，意在明确集合A中的元素为R，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，2x7的实数和2x7的整数显然是有区别的．另外，这里集合B的元素是通过集合A的元素求出的，解题时，一定要看清．

11

例16设a和b都是非零实数，求不等式ab和同时成立的充要条件．

ab

分析：

本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨

11论．如果分开讨论，则ab成立的条件就是ab本身；而成立的条件则是a与b同ab

11

号，且ab，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式ab是矛盾ab

的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．

1111

解：

先求ab，同时成立的必要条件，即当ab，同时成立时，a与b

abab

应具备什么条件．

ab,ab0,

由11，得ba

0.

abab

ba

由ab0可知ba0，再由0知ab0，即a与b异号，因此a0b

ab

11是不等式ab与同时成立的必要条件．

ab

11

再求ab，同时成立的充分条件．

ab

1111

事实上，当a0b时，必有ab，且0,0，因而成立．从而a0babab

11

是不等式ab，同时成立的充分条件．

ab

11

因此，两个不等式ab，同时成立的充要条件是a0b．

ab

11

说明：

本题结果表明，ab与同时成立，其充要条件是a为正数，b为负数．这

ab

11

与成立的条件ab0，ba不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若ab，

ab

1111

同时成立，则要研究从不等式和ab看a与b的大小有什么关系，从中得出abab

11

结论（a0b），再把这个结论作为一个充分条件去验证ab及能否同时成立．从

ab

而解决了本题．

例17已知函数f（x）ax2c满足：

4f

（1）1,1f

（2）5.则f（3）应满足

（）

（A）7f（3）26（B）4f（3）15

（C）1f（3）20（D）28f（3）35

33

分析：

如果能用f

（1）与f

（2）将f（3）“线性”表示出：

f（3）mf

（1）nf

（2），就可利用不等式的基本性质，由f

（1）、f

（2）的取值范围，推出f（3）满足的条件．

解：

∵f

（1）ac,f

（2）4ac,

11

∴a3[f

（2）f

（1）],c3[f

（2）4f

（1）]

33

1

故f（3）9ac3[f

（2）f

（1）]3[f

（2）4f

（1）]

83f

（2）35f

（1）

由不等式的基本性质，得

58说明：

（1）也可设f（3）mf

（1）nf

（2），由代定系数法求得m35，n83．

2）下面的错误是值得引以为戒的∵f

（1）ac,f

（2）4ac,

4f

（1）14ac1ca4

1f

（2）514ac5

03a90a3

03a910caa431c7

又f（3）9ac.

故选（A）

4f

（1）10a3化为使a、c的取值范围扩

1f

（2）51c7

大所致．事实上，作为点集

与N（a,c）0a3,117之间的关系是

MN，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP

所围成的区域，这样就直观地表现了MN，揭示了上述解法的错误．