一次函数专题复习1等腰三角形 含答案解析.docx
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一次函数专题复习1等腰三角形含答案解析
一次函数专题复习1
----等腰三角形
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣2x+4与x轴,y轴分别交于点A,点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)若点P在x轴上,且S△BOP=
S△AOB,求点P的坐标.
(3)在y轴是否存在点M,使三角形MAB是等腰三角形,若存在,请求出点M坐标,若不存在,请说明理由.
2.直线y=﹣
x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点,点A的坐标为(4,0).
(1)求点B的坐标;
(2)直线y=kx平分△ABO的面积,求k的值;
(3)将△ABO沿过A点直线对折,使得边AB正好落在x轴上,折痕交y轴于点C,设B点的对称点为D,求C点的坐标;
(4)若点P是x轴上一动点,当△ABP是等腰三角形,直接写出所有点P的坐标.
3.如图,一次函数y=
x+3的图象分别与y轴,x轴交于点A,B,点P从点B出发,沿射线BA以每秒1个单位的速度运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)点P在运动过程中,若某一时刻,△OPA的面积为3,求此时P的坐标;
(2)在整个运动过程中,当t为何值时,△AOP为等腰三角形?
请直接写出t的值.
4.如图,直线y=
x+8与x轴分别交于A、B两点,过点C(4,0)作CD⊥AB,垂足为D,点P是直线AB上一动点
(1)求证:
△ACD≌△ABO;
(2)求点D的坐标及直线CD的关系式;
(3)当△PAC为等腰三角形时,求点P坐标.
5.如图,在直角坐标系中,已知直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点,且△ABO的面积为12.
(1)求k的值;
(2)若P为直线AB上一动点,P点运动到什么位置时,△PAO是以OA为底的等腰三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连接PO,△PBO是等腰三角形吗如果是,试说明理由,如果不是,请在线段AB上求一点C,使得△CBO是等腰三角形.
答案与解析
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣2x+4与x轴,y轴分别交于点A,点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)若点P在x轴上,且S△BOP=
S△AOB,求点P的坐标.
(3)在y轴是否存在点M,使三角形MAB是等腰三角形,若存在,请求出点M坐标,若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)当y=0时,﹣2x+4=0,解得:
x=2,
∴点A的坐标为(2,0);
当x=0时,y=﹣2x+4=4,
∴点B的坐标为(0,4).
(2)∵点P在x轴上,且S△BOP=
S△AOB,
∴OP=
OA=1,
∴点P的坐标为(﹣1,0)或(1,0).
(3)∵OB=4,OA=2,
∴AB=
=2
.
分三种情况考虑(如图所示):
①当AB=AM时,OM=OB=4,
∴点M1的坐标为(0,﹣4);
②当BA=BM时,BM=2
,
∴点M2的坐标为(0,4+2
),点M3的坐标为(0,4﹣2
);
③当MA=MB时,设OM=a,则BM=AM=4﹣a,
∴AM2=OM2+OA2,即(4﹣a)2=a2+22,
∴a=
,
∴点M4的坐标为(0,
).
综上所述:
在y轴上存在点M,使三角形MAB是等腰三角形,点M坐标为(0,﹣4),(0,4+2
),(0,4﹣2
)和(0,
).
2.直线y=﹣
x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点,点A的坐标为(4,0).
(1)求点B的坐标;
(2)直线y=kx平分△ABO的面积,求k的值;
(3)将△ABO沿过A点直线对折,使得边AB正好落在x轴上,折痕交y轴于点C,设B点的对称点为D,求C点的坐标;
(4)若点P是x轴上一动点,当△ABP是等腰三角形,直接写出所有点P的坐标.
【解答】解:
(1)∵点A(4,0)在直线y=﹣
x+b上,
∴0=﹣
×4+b,
∴b=3,
∴直线AB的关系式为y=﹣
x+3.
当x=0时,y=﹣
x+3=3,
∴点B的坐标为(0,3).
(2)∵点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),
∴线段AB中点的坐标为(2,
).
∵直线y=kx平分△ABO的面积,
∴点(2,
)在直线y=kx上,
∴
=2k,
∴k=
.
(3)在Rt△AOB中,AO=4,BO=3,
∴AB=
=5.
由折叠的性质,可知:
AD=AB=5,
∴点D的坐标为(9,0)或(﹣1,0).
设线段BD的中点为E,如图1所示.
①当点D的坐标为(9,0)时,点E的坐标为(
,
).
设折痕所在的直线的关系式为y=mx+n(m≠0),
将A(4,0),E(
,
)代入y=mx+n,得:
,
解得:
,
∴折痕所在的直线的关系式为y=3x﹣12.
当x=0时,y=3x﹣12=﹣12,
∴点C的坐标为(0,﹣12);
②当点D的坐标为(﹣1,0)时,点E的坐标为(﹣
,
).
同理,可得出折痕所在直线的关系式为y=﹣
x+
,
当x=0时,y=﹣
x+
=
,
∴点C的坐标为(0,
).
综上所述:
C点的坐标为(0,﹣12)或(0,
).
(4)设点P的坐标为(x,0).
分三种情况考虑,如图2所示.
①当AP=AB时,x﹣4=5或4﹣x=5,
解得:
x=9或﹣1,
∴点P1的坐标为(9,0),点P2的坐标为(﹣1,0);
②当BA=BP时,OP=OA,即0﹣x=4﹣0,
解得:
x=﹣4,
∴点P3的坐标为(﹣4,0);
③当PA=PB时,32+x2=(4﹣x)2,
解得:
x=
,
∴点P4的坐标为(
,0).
综上所述:
点P的坐标为(9,0),(﹣1,0),(﹣4,0)或(
,0).
3.如图,一次函数y=
x+3的图象分别与y轴,x轴交于点A,B,点P从点B出发,沿射线BA以每秒1个单位的速度运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)点P在运动过程中,若某一时刻,△OPA的面积为3,求此时P的坐标;
(2)在整个运动过程中,当t为何值时,△AOP为等腰三角形?
请直接写出t的值.
【解答】解:
(1)当x=0时,y=3,
当y=0时,x=4,
则A(0,3),B(4,0),
∴AO=3,BO=4,
设点P的坐标为(m,﹣
m+3),
∵△OPA的面积为3,
∴
×3×|m|=3,
解得:
m=±2,
∴点P的坐标为(﹣2,
)或(2,
).
(2)由题意可知BP=t,AP=5﹣t,
当△AOP为等腰三角形时,有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况.
①当AP=AO时,则有5﹣t=3,解得t=2;或t﹣5=3,解得t=8;
②当AP=OP时,过P作PM⊥AO,垂足为M,如图1,
则M为AO中点,故P为AB中点,此时t=
;
③当AO=OP时,过O作ON⊥AB,垂足为N,过P作PH⊥OB,垂足为H,如图2,
则NP=AN=
AP=
(5﹣t),
∵S△AOB=
∴ON=
,
∵OB2=ON2+NB2,
∴16=
+(t+
﹣
)2,
∴t=
综上可知当t的值为2、8、
和
时,△AOP为等腰三角形.
4.如图,直线y=
x+8与x轴分别交于A、B两点,过点C(4,0)作CD⊥AB,垂足为D,点P是直线AB上一动点
(1)求证:
△ACD≌△ABO;
(2)求点D的坐标及直线CD的关系式;
(3)当△PAC为等腰三角形时,求点P坐标.
【解答】解:
(1)在y=
x+8中,令y=0可求得x=﹣6,令x=0可求得y=8,
∴A(﹣6,0),B(0,8),
∴OA=6,OB=8,
∴AB=
=10,
∵C(4,0),
∴OC=4,
∴AC=OA+OC=6+4=10=AB,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠AOB=90°,
在△ACD和△ABO中
∴△ACD≌△ABO(AAS);
(2)过D作DF⊥x轴于点F,如图1,
由
(1)可知△ACD≌△ABO,
∴AD=AO=6,CD=BO=8,
∵
AC•DF=
AD•CD,
∴10DF=6×8,解得DF=
,即D点的纵坐标为
,
在y=
x+8中,令y=
,可得
=
x+8,解得x=﹣
,
∴D(﹣
,
),且C(4,0),
设直线CD关系式为y=kx+b,
∴
,解得
,
∴直线CD关系式为y=﹣
x+3;
(3)∵P是直线AB上一动点,
∴可设P(x,
x+8),且A(﹣6,0),C(4,0),
∴PA2=(x+6)2+(
x+8)2,PC2=(x﹣4)2+(
x+8)2,且AC2=100,
∵△PAC为等腰三角形,
∴有PA=PC、PA=AC和PC=AC三种情况,
①当PA=PC时,则PA2=PC2,即(x+6)2+(
x+8)2=(x﹣4)2+(
x+8)2,解得x=﹣1,此时P点坐标为(﹣1,
);
②当PA=AC时,则PA2=AC2,即(x+6)2+(
x+8)2=100,解得x=0或x=﹣12,此时P点坐标为(0,8)或(﹣12,﹣8);
③当PC=AC时,则PC2=AC2,即(x﹣4)2+(
x+8)2=100,解得x=﹣6(与A点重合,舍去)或x=
,此时P点坐标为(
,
);
综上可知P点坐标为(﹣1,
)或(0,8)或(﹣12,﹣8)或(
,
).
5.如图,在直角坐标系中,已知直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点,且△ABO的面积为12.
(1)求k的值;
(2)若P为直线AB上一动点,P点运动到什么位置时,△PAO是以OA为底的等腰三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连接PO,△PBO是等腰三角形吗如果是,试说明理由,如果不是,请在线段AB上求一点C,使得△CBO是等腰三角形.
【解答】解:
(1)∵y=kx+6,
∴B(0,6),
∴OB=6.
又S△ABO=12,
∴OA=4,
∴A(﹣4,0).
把A(﹣4,0)代入y=kx+6,
即﹣4k+6=0,
解得k=
;
(2)过OA的中点作OA的垂线交直线AB于P,
则xP=﹣2,把xP=﹣2代入
,
得y=3,
∴P(﹣2,3);
(3)∵△APO是等腰三角形,
∴∠PAO=∠POA,
∵∠PAO+∠ABO=90°,∠POA+∠POB=90°,
∴∠ABO=∠POB,
∴△POB是等腰三角形;
理由:
∵P(﹣2,3),OB=6,
∴P是OB中垂线上的一点.
∴PB=PO.
∴△POB是等腰三角形.
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