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小题狂做之方程篇
2017年中考数学专题复习三
“小题狂做”之方程篇
班级:
姓名:
一.选择题(共2小题)
1.若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3,则m的值为( )
A.﹣5B.5C.﹣7D.7
2.已知
是二元一次方程组
的解,则a﹣b的值为( )
A.﹣1B.1C.2D.3
二.填空题(共10小题)
3.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,则2m2﹣4m= .
4.三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根,则该三角形的周长为 .
5.已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0,则a= .
6.方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为 .
7.已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为 .
8.如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是 .
9.关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
10.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n= .
11.已知关于x的分式方程
+
=1的解为负数,则k的取值范围是 .
12.某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为 .
三.解答题(共10小题)
13.解方程:
.14.解方程组:
.
15.解方程组
.16.解方程:
x2﹣2x﹣1=0.
17.解方程:
2(x﹣3)2=x2﹣9.18.解方程:
19.解方程:
.21.解方程:
.
22.解不等式:
2(x﹣6)+4≤3x﹣5,并将它的解集在数轴上表示出来.
23.阅读材料:
善于思考的小军在解方程组
时,采用了一种“整体代换”的解法:
解:
将方程②变形:
4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③
把方程①带入③得:
2×3+y=5,∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4,∴方程组的解为
.
请你解决以下问题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x,y满足方程组
.
(i)求x2+4y2的值;
(ii)求
+
的值.
参考答案与试题解析
一.选择题(共2小题)
1.(2017•江阴市一模)若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3,则m的值为( )
A.﹣5B.5C.﹣7D.7
【分析】把x的值代入方程计算即可求出m的值.
【解答】解:
把x=3代入方程得:
6﹣m=3﹣2,
解得:
m=5,
故选B
【点评】此题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
2.(2011•枣庄)已知
是二元一次方程组
的解,则a﹣b的值为( )
A.﹣1B.1C.2D.3
【分析】根据二元一次方程组的解的定义,将
代入原方程组,分别求得a、b的值,然后再来求a﹣b的值.
【解答】解:
∵已知
是二元一次方程组
的解,
∴
由①+②,得a=2,
由①﹣②,得b=3,
∴a﹣b=﹣1;
故选:
A.
【点评】此题考查了二元一次方程组的解法.二元一次方程组的解法有两种:
代入法和加减法,不管哪种方法,目的都是“消元”.
二.填空题(共10小题)
3.(2016•菏泽)已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,则2m2﹣4m= 6 .
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,通过变形可以得到2m2﹣4m值,本题得以解决.
【解答】解:
∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,
∴m2﹣2m﹣3=0,
∴m2﹣2m=3,
∴2m2﹣4m=6,
故答案为:
6.
【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
4.(2016•临夏州)三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根,则该三角形的周长为 12 .
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=5,x2=8,再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5,然后计算三角形的周长.
【解答】解:
x2﹣13x+40=0,
(x﹣5)(x﹣8)=0,
所以x1=5,x2=8,
而三角形的两边长分别是3和4,
所以三角形第三边的长为5,
所以三角形的周长为3+4+5=12.
故答案为12.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
5.(2016•连云港)已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0,则a=
.
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,把x=0代入方程,即可得到一个关于a的方程,即可求得a的值.
【解答】解:
根据题意得:
0+0+2a﹣1=0
解得a=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根一定满足该方程的解析式.
6.(2016•泰州)方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为 ﹣3 .
【分析】先求出方程2x﹣4=0的解,再把x的值代入方程x2+mx+2=0,求出m的值即可.
【解答】解:
2x﹣4=0,
解得:
x=2,
把x=2代入方程x2+mx+2=0得:
4+2m+2=0,
解得:
m=﹣3.
故答案为:
﹣3.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解,先求出x的值,再代入方程x2+mx+2=0是解决问题的关键,是一道基础题.
7.(2016•随州)已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为 19或21或23 .
【分析】求出方程的解,分为两种情况,看看是否符合三角形三边关系定理,求出即可.
【解答】解:
由方程x2﹣8x+15=0得:
(x﹣3)(x﹣5)=0,
∴x﹣3=0或x﹣5=0,
解得:
x=3或x=5,
当等腰三角形的三边长为9、9、3时,其周长为21;
当等腰三角形的三边长为9、9、5时,其周长为23;
当等腰三角形的三边长为9、3、3时,3+3<9,不符合三角形三边关系定理,舍去;
当等腰三角形的三边长为9、5、5时,其周长为19;
综上,该等腰三角形的周长为19或21或23,
故答案为:
19或21或23.
【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质,三角形的三边关系定理的应用,因式分解法求出方程的解是根本,根据等腰三角形的性质分类讨论是关键.
8.(2016•上海)如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是
.
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式,即可得出关于k的一元一次方程,解方程即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×1×k=9﹣4k=0,
解得:
k=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,解题的关键是找出9﹣4k=0.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据方程解的情况结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键.
9.(2016•新疆)关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k>﹣1 .
【分析】根据判别式的意义得到△=22+4k>0,然后解不等式即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根,
∴△=22+4k>0,
解得k>﹣1.
故答案为:
k>﹣1.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
10.(2016•眉山)设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n= 5 .
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2,又知m是方程的根,所以可得m2+2m﹣7=0,最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n,最终可得答案.
【解答】解:
∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,
∴m+n=﹣2,
∵m是原方程的根,
∴m2+2m﹣7=0,即m2+2m=7,
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5,
故答案为:
5.
【点评】本题主要考查了根与系数的关系,解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式,结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答.
11.(2016•攀枝花)已知关于x的分式方程
+
=1的解为负数,则k的取值范围是 k>﹣
且k≠0 .
【分析】先去分母得到整式方程(2k+1)x=﹣1,再由整式方程的解为负数得到2k+1>0,由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到x≠±1,即2k+1≠1且2k+1≠﹣1,然后求出几个不等式的公共部分得到k的取值范围.
【解答】解:
去分母得k(x﹣1)+(x+k)(x+1)=(x+1)(x﹣1),
整理得(2k+1)x=﹣1,
因为方程
+
=1的解为负数,
所以2k+1>0且x≠±1,
即2k+1≠1且2k+1≠﹣1,
解得k>﹣
且k≠0,
即k的取值范围为k>﹣
且k≠0.
故答案为k>﹣
且k≠0.
【点评】本题考查了分式方程的解:
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值,这个值叫方程的解.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中,可能产生增根,增根是令分母等于0的值,不是原分式方程的解.
12.(2016•丹东)某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为 60(1+x)2=100 .
【分析】设平均每月的增长率为x,根据4月份的营业额为60万元,6月份的营业额为100万元,分别表示出5,6月的营业额,即可列出方程.
【解答】解:
设平均每月的增长率为x,
根据题意可得:
60(1+x)2=100.
故答案为:
60(1+x)2=100.
【点评】本题考查的是一个增长率问题,关键是知道4月份的钱数和增长两个月后6月份的钱数,列出方程.
三.解答题(共10小题)
13.(2016•贺州)解方程:
.
【分析】方程去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解.
【解答】解:
去分母得:
2x﹣3(30﹣x)=60,
去括号得:
2x﹣90+3x=60,
移项合并得:
5x=150,
解得:
x=30.
【点评】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:
去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1,求出解.
14.(2016•龙岩)解方程组:
.
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组.
【解答】解:
①×2得:
2x+4y=6③,
③+②得:
5x=10,
解得:
x=2,
把x=2代入①得:
2+2y=3,
解得:
y=
,
所以方程组的解为:
.
【点评】本题考查了解二元一次方程组,解决本题的关键是利用加减消元法解二元一次方程组.
15.(2015•聊城)解方程组
.
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
【解答】解:
,
①+②得:
3x=9,即x=3,
把x=3代入①得:
y=﹣2,
则方程组的解为
.
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:
代入消元法与加减消元法.
16.(2010•綦江县)解方程:
x2﹣2x﹣1=0.
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解,或者利用配方法求解皆可.
【解答】解:
解法一:
∵a=1,b=﹣2,c=﹣1
∴b2﹣4ac=4﹣4×1×(﹣1)=8>0
∴
∴
,
;
解法二:
(x﹣1)2=2
∴
∴
,
.
【点评】命题意图:
考查学生解一元二次方程的能力,且方法多样,可灵活选择.本题考查了解一元二次方程的方法,公式法适用于任何一元二次方程.方程ax2+bx+c=0的解为x=
(b2﹣4ac≥0).
17.(2016•山西)解方程:
2(x﹣3)2=x2﹣9.
【分析】方程移项后,提取公因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
【解答】解:
方程变形得:
2(x﹣3)2﹣(x+3)(x﹣3)=0,
分解因式得:
(x﹣3)(2x﹣6﹣x﹣3)=0,
解得:
x1=3,x2=9.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解法是解本题的关键.
18.(2016•呼伦贝尔)解方程:
.
【分析】观察可得最简公分母是(x﹣1)(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解:
方程的两边同乘(x﹣1)(x+1),得
3x+3﹣x﹣3=0,
解得x=0.
检验:
把x=0代入(x﹣1)(x+1)=﹣1≠0.
∴原方程的解为:
x=0.
【点评】本题考查了分式方程的解法,注:
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
19.(2016•黔南州)解方程:
.
【分析】观察可得最简公分母是(x﹣2)(x+2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解:
方程两边乘(x﹣2)(x+2),
得x(x+2)﹣8=x﹣2,
x2+x﹣6=0,
(x+3)(x﹣2)=0,
解得x1=﹣3,x2=2.
经检验:
x1=﹣3是原方程的根,x2=2是增根.
∴原方程的根是x=﹣3.
【点评】
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
20.(2016•镇江)解方程:
解:
(1)去分母得:
x=3(x﹣3),
解得:
x=
,
检验:
x=
时,x(x﹣3)≠0,则x=
是原方程的根;
22.(2015•珠海)阅读材料:
善于思考的小军在解方程组
时,采用了一种“整体代换”的解法:
解:
将方程②变形:
4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③
把方程①带入③得:
2×3+y=5,∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4,∴方程组的解为
.
请你解决以下问题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x,y满足方程组
.
(i)求x2+4y2的值;
(ii)求
+
的值.
【分析】
(1)模仿小军的“整体代换”法,求出方程组的解即可;
(2)方程组整理后,模仿小军的“整体代换”法,求出所求式子的值即可.
【解答】解:
(1)把方程②变形:
3(3x﹣2y)+2y=19③,
把①代入③得:
15+2y=19,即y=2,
把y=2代入①得:
x=3,
则方程组的解为
;
(2)(i)由①得:
3(x2+4y2)=47+2xy,即x2+4y2=
③,
把③代入②得:
2×
=36﹣xy,
解得:
xy=2,
则x2+4y2=17;
(ii)∵x2+4y2=17,
∴(x+2y)2=x2+4y2+4xy=17+8=25,
∴x+2y=5或x+2y=﹣5,
则
+
=
=±
.
【点评】此题考查了解二元一次方程组,弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键.
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