算法设计和分析习题答案解析16章.docx
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算法设计和分析习题答案解析16章
习题1
1.
南区
图论诞生于七桥问题。
出生于瑞士的伟大数学家欧拉(LeonhardEuler,1707—1783)提出并解决了该问题。
七桥问题是这样描述的:
一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡(现在叫加里宁格勒,在波罗的海南岸)城中全部的七座桥后回到起点,且每座桥只经过一次,图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。
请将该问题的数据模型抽象出来,并判断此问题是否有解。
七桥问题属于一笔画问题。
输入:
一个起点
输出:
相同的点
1,一次步行
2,经过七座桥,且每次只经历过一次
3,回到起点
该问题无解:
能一笔画的图形只有两类:
一类是所有的点都是偶点。
另一类是只有二个奇点的图形。
2.在欧几里德提出的欧几里德算法中(即最初的欧几里德算法)用的不是除法而是减法。
请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法
1.r=m-n
2.循环直到r=0
2.1 m=n
2.2 n=r
2.3 r=m-n
3 输出m
3.设计算法求数组中相差最小的两个元素(称为最接近数)的差。
要求分别给出伪代码和C++描述。
//采用分治法
//对数组先进行快速排序
//在依次比较相邻的差
#include
usingnamespacestd;
intpartions(intb[],intlow,inthigh)
{
intprvotkey=b[low];
b[0]=b[low];
while(low { while(low --high; b[low]=b[high]; while(low ++low; b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; returnlow; } voidqsort(intl[],intlow,inthigh) { intprvotloc; if(low { prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1);//递归调用排序由low到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high);//递归调用排序由prvotloc+1到high } } voidquicksort(intl[],intn) { qsort(l,1,n);//第一个作为枢轴,从第一个排到第n个 } intmain() { inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; intvalue=0;//将最小差的值赋值给value for(intb=1;b<11;b++) cout< cout< quicksort(a,11); for(inti=0;i! =9;++i) { if((a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1])) value=a[i+1]-a[i]; else value=a[i+2]-a[i+1]; } cout< return0; } 4.设数组a[n]中的元素均不相等,设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素,并说明最坏情况下的比较次数。 要求分别给出伪代码和C++描述。 #include usingnamespacestd; intmain() { inta[]={1,2,3,6,4,9,0}; intmid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(inti=0;i! =4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1] { mid_value=a[i+1]; cout< break; } elseif(a[i+1]a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout< break; } }//for return0; } 5.编写程序,求n至少为多大时,n个“1”组成的整数能被2013整除。 #include usingnamespacestd; intmain() { doublevalue=0; for(intn=1;n<=10000;++n) { value=value*10+1; if(value%2013==0) { cout<<"n至少为: "< break; } }//for return0; } 6.计算π值的问题能精确求解吗? 编写程序,求解满足给定精度要求的π值 #include usingnamespacestd; intmain() { doublea,b; doublearctan(doublex);//声明 a=16.0*arctan(1/5.0); b=4.0*arctan(1/239); cout<<"PI="< return0; } doublearctan(doublex) { inti=0; doubler=0,e,f,sqr;//定义四个变量初 sqr=x*x; e=x; while(e/i>1e-15)//定义精度范围 { f=e/i;//f是每次r需要叠加的方程 r=(i%4==1)? r+f: r-f; e=e*sqr;//e每次乘于x的平方 i+=2;//i每次加2 }//while returnr; } 7.圣经上说: 神6天创造天地万有,第7日安歇。 为什么是6天呢? 任何一个自然数的因数中都有1和它本身,所有小于它本身的因数称为这个数的真因数,如果一个自然数的真因数之和等于它本身,这个自然数称为完美数。 例如,6=1+2+3,因此6是完美数。 神6天创造世界,暗示着该创造是完美的。 设计算法,判断给定的自然数是否是完美数 #include usingnamespacestd; intmain() { intvalue,k=1; cin>>value; for(inti=2;i! =value;++i) { while(value%i==0) { k+=i;//k为该自然数所有因子之和 value=value/i; } }//for if(k==value) cout<<"该自然数是完美数"< else cout<<"该自然数不是完美数"< return0; } 8.有4个人打算过桥,这个桥每次最多只能有两个人同时通过。 他们都在桥的某一端,并且是在晚上,过桥需要一只手电筒,而他们只有一只手电筒。 这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。 每个人走路的速度是不同的: 甲过桥要用1分钟,乙过桥要用2分钟,丙过桥要用5分钟,丁过桥要用10分钟,显然,两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度,问题是他们全部过桥最少要用多长时间? 由于甲过桥时间最短,那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如: 第一趟: 甲,乙过桥且甲回来 第二趟: 甲,丙过桥且甲回来 第一趟: 甲,丁过桥 一共用时19小时 9.欧几里德游戏: 开始的时候,白板上有两个不相等的正整数,两个玩家交替行动,每次行动时,当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差,而且这个数字必须是新的,也就是说,和白板上的任何一个已有的数字都不相同,当一方再也写不出新数字时,他就输了。 请问,你是选择先行动还是后行动? 为什么? 设最初两个数较大的为a,较小的为b,两个数的最大公约数为factor。 则最终能出现的数包括: factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。 如果a/factor是奇数,就选择先行动;否则就后行动。 习题4 1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关,试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。 2.证明: 如果分治法的合并可以在线性时间内完成,则当子问题的规模之和小于原问题的规模时,算法的时间复杂性可达到O(n)。 O(N)=2*O(N/2)+x O(N)+x=2*O(N/2)+2*x a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x 由此可知,时间复杂度可达到O(n); 3.分治策略一定导致递归吗? 如果是,请解释原因。 如果不是,给出一个不包含递归的分治例子,并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。 不一定导致递归。 如非递归的二叉树中序遍历。 这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是: 应用了栈这个数据结构。 4.对于待排序序列(5,3,1,9),分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。 归并排序: 第一趟: (5,3)(1,9); 第二趟: (3,5,1,9); 第三趟: (1,3,5,9); 快速排序: 第一趟: 5(,3,1,9);//5为哨兵,比较9和5 第二趟: 5(1,3,,9);//比较1和5,将1挪到相应位置; 第三趟: 5(1,3,,9);//比较3和5; 第四趟: (1,3,5,9); 5.设计分治算法求一个数组中的最大元素,并分析时间性能。 //简单的分治问题 //将数组均衡的分为“前”,“后”两部分 //分别求出这两部分最大值,然后再比较这两个最大值 #include usingnamespacestd; externconstintn=6;//声明 intmain() { inta[n]={0,6,1,2,3,5};//初始化 intmid=n/2; intnum_max1=0,num_max2=0; for(inti=0;i<=n/2;++i)//前半部分 { if(a[i]>num_max1) num_max1=a[i]; } for(intj=n/2+1;j { if(a[j]>num_max2) num_max2=a[j]; } if(num_max1>=num_max2) cout<<"数组中的最大元素: "< else cout<<"数组中的最大元素: "< return0; } 时间复杂度: O(n) 6.设计分治算法,实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置,要求时间复杂性为O(n),空间复杂性为O (1)。 例如,对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。 //采用分治法 //将数组分为0-k-1和k-n-1两块 //将这两块分别左移 //然后再合并左移 #include usingnamespacestd; voidLeftReverse(char*a,intbegin,intend) { for(inti=0;i<(end-begin+1)/2;i++)//交换移动 { inttemp=a[begin+i]; a[begin+i]=a[end-i]; a[end-i]=temp; } } voidConverse(char*a,intn,intk) { LeftReverse(a,0,k-1); LeftReverse(a,k,n-1); LeftReverse(a,0,n-1); for(inti=0;i cout< cout< } intmain() { chara[7]={'a','b','c','d','e','f','g'}; Converse(a,7,3); return0; } 7.设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。 #include usingnamespacestd; intdata[100]; //在m个数中输出n个排列数(n<=m) voidDPpl(intnum,intm,intn,intdepth) { if(depth==n) { for(inti=0;i cout< cout< } for(intj=0;j { if((num&(1< {data[depth]=j+1; DPpl(num+(1< } }//for } intmain() { DPpl(0,5,1,0); DPpl(0,5,2,0); DPpl(0,5,3,0); DPpl(0,5,4,0); DPpl(0,5,5,0); return0; } 8.设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。 参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现 9.在有序序列(r1,r2,…,rn)中,存在序号i(1≤i≤n),使得ri=i。 请设计一个分治算法找到这个元素,要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。 //在有序数组中 //采用二分法查找符合条件的元素 #include usingnamespacestd; voidFindnum(int*a,intn) { intlow=0; inthigh=n-1; while(low<=high) { intmid=(low+high)/2; if(a[mid]==mid) { cout<<"这个数是: "< break; } elseif(a[mid]>mid) high=mid-1; else low=mid+1; } } intmain() { inta[7]={1,0,2,5,6,7,9}; Findnum(a,7); return0; } 时间复杂度为O(log2n)。 10.在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。 请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。 //先对序列进行快速排序 //再进行一次遍历 //输出众数的重复次数 #include usingnamespacestd; intpartions(intb[],intlow,inthigh) { intprvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while(low { while(low --high; b[low]=b[high]; while(low ++low; b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; returnlow; } voidqsort(intl[],intlow,inthigh) { intprvotloc; if(low { prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1);//递归调用排序由low到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high);//递归调用排序由prvotloc+1到high } } voidquicksort(intl[],intn) { qsort(l,1,n);//第一个作为枢轴,从第一个排到第n个 } intmain() { inta[10]={1,2,3,5,3,3,3,2,5,1}; inti=0; intcount=0; intmax=0;//max表示出现的次数 qsort(a,0,10); while(i<10) { intj; j=i+1; if(a[i]=a[j]&&i<10) { count++; i++; } if(count>max) { max=count; count=0; } }//while cout<<"重复次数: "< return0; } 时间复杂度nlog(n) 11.设M是一个n×n的整数矩阵,其中每一行(从左到右)和每一列(从上到下)的元素都按升序排列。 设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中,并分析算法的时间复杂性。 12.设S是n(n为偶数)个不等的正整数的集合,要求将集合S划分为子集S1和S2,使得|S1|=|S2|=n/2,且两个子集元素之和的差达到最大。 //先用快速排序进行一趟排序 //如果s1(大的数集)的的个数大于n/2 //将(i<=n/2-low-1)个最小的数排到后面 //如果s1(大的数集)的的个数小于n/2 //将s2(小的数集)n/2-low-1排到前面 //将排好的数组的前n/2个数赋值给s1 //将排好的数组的后n/2个数赋值给s2 #include usingnamespacestd; constintn=8; voidpartions(inta[],intlow,inthigh) { //进行一趟快排 intprvotkey=a[low]; a[0]=a[low]; while(low { while(low --high; a[low]=a[high]; while(low ++low; a[high]=a[low]; } a[low]=prvotkey; //如果s1(大的数集)的的个数大于n/2 if(low>=n/2) { for(inti=0;i<=n/2-low-1;++i) { for(intj=0;j { if(a[j] { inttemp=a[j]; a[j]=a[j+1]; a[j+1]=temp; } }//for } }//if //如果s1(大的数集)的的个数小于n/2 else for(inti=0;i<=n/2-low-1;++i) { for(intk=n-1;k { if(a[k]>a[k-1]) { inttemp1=a[k]; a[k]=a[k-1]; a[k-1]=temp1; } }//for } } intmain() { inta[n]={1,3,5,9,6,0,-11,-8}; partions(a,0,n-1); for(inti=0;i { if(i<4) { cout<<"属于子集s1的: "<
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