人教版初中数学讲义第5章二次函数09二次函数与极值资料.docx

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人教版初中数学讲义第5章二次函数09二次函数与极值资料

二次函数与极值

知识溯源

相传古代Tyre的Phoeiniciau城的公主Dido，离开了自己的家园，来到北非的地中海沿岸．她和当地的部落商议：

付给一笔固定的金额，以换取一张公牛皮能围住的土地，准备定居在那里．一块公牛皮能围住多大的土地呢？

于是，当地部落首领答应了．聪明的Dido想出了一个巧妙的办法，她把公牛皮切成很细很细的条，再把这些细条结成一条长长的细牛皮条，就用这根牛皮条在海岸边围出了意想不到的大块土地．相传这片土地是一个半圆形，其直径在海岸线上（近似可看作直线），不需用牛皮来围；牛皮条的总长就是这个半圆的弧长．数学中，可以证明：

在这种情况下，依照Dido的办法围得的土地，可算是面积最大的了．

上述希腊神话，说的是求一个使面积达到最大的图形．另外，诸如给出一定材料，造一个容器，使之容积最大；完成一项工程，使全部花费最小，等等，可以想象，此类问题在生活以及生产上是很多的，且是有意义的．这些问题经过数学抽象，就归结为一定条件下求一个量的极大或极小问题，这就是数学中的所谓极值问题，它在整个数学中占了相当重要的一席位子．

极值问题的研究，有着悠久的历史．早在古希腊时，就研究了等周问题．在欧几里得的名著《几何原本》中，实际上已证明了如下的极值问题，具有相同周长的矩形中，以正方形的面积最大．

就几乎在出现函数概念的同时，函数极值的问题就被提出来了．作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值在数学和其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用．不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现力和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用．许多实际问题最终都归结为函数极值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式．而在求解具体问题时往往需要应用到极值来解，来为生产生活做保证！

由此可见，研究函数极值，是学习数学与其它学科的基础，是生活生产的必备工具．

运用微分的方法寻求一个函数的最大值和最小值，这是德国人开普勒开创的，1615年开普勒在测量酒桶体积的问题时，证明了内接于球面的具有正方形底面的平行六面体中，以立方体的容积最大．1638年，法国人费马用微分得方法证明了在周长一定的矩形中，以正方形的面积最大．

初中阶段确定二次函数

最值的方法：

1方法：

将二次函数

配方化为

的形式，顶点坐标（h，k）．对称轴为直线x＝h．若a＞0，y有最小值．当x＝h时，y最小值＝k．若a＜0，y有最大值．当x＝h时，y最大值＝k．

2方法：

直接利用顶点公式求其顶点（

），对称轴是直线x＝

，若a＞0，y有最小值．当x＝

时，y最小值＝

．若a＜0，y有最大值．当x＝

时，y最大值＝

．

一个函数

对应一条抛物线，根据实际情况它的最值又分为以下几种情况：

第一种，自变量x没有范围限制，可以取到整个实数．这时抛物线的顶点y值是这个函数的最值，也就是说，当x取为抛物线的对称轴值时，即x＝

时，所得的y值是这个函数的最值．当a＞0时，抛物线开口向上，所得到的最值是抛物线最低点，也就是最小值，此时此函数无最大值．当a＜0

时，抛物线开口向下，所得到的最值是抛物线最高点，也就是最大值，此时此函数无最小值．

第二种，自变量x有范围限制，它只能取到抛物线的一部分，这时需要判断x能够取到的范围是否包括抛物线的对称轴x＝

．如果包括，那它的一个最值一定在对称轴处得到（最大值还是最小值要由a的正负判断，a正就是最小值，a负就是最大值）．另外一个最值出现在所给范围的端点，此时可以把两个端点值都代入函数，分别计算y值，比较一下就可以；如果给的是代数形式，也可以用与对称轴距离的大小来判断，与对称轴距离大的那个端点能够取到最值．如果x的取值范围不包括对称轴，则它的最值一定出现在范围的端点处，当a＞0时，离对称轴最远的端点取得最大值，最近的端点取得最小值．当a＜0时，最远端取得最小值，最近端取得最大值．

数学家简介以及数学家的轶事

“业余数学家之王”——费马

17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是数学家费马（Fermat,Pierrede）（1601—1665）．

这道题是这样的：

当n＞2时，

xn＋yn＝zn没有正整数解．在数学上这称为“费马大定理”．这命题载于丢番图《算术》1621年拉丁文译本第二卷之空白处：

（……一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂．为此，我确信已发现一美妙的证法，可惜这里太少空白地方，写不下．）后来因找不到费马的证明，这激发起历代数学家之研究，为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，直至1995年才由英国数学家怀尔斯（andrewwiles）彻底证明费马大定理，历时超过300多年．

数学家费马于1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙──德洛马涅出生．早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师．自1631年起任图卢兹议会议员．任职期间，他利用业余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题．据他说他只是在读了丢番图的《算术》之后对数学产生了兴趣，这才开始了对数学的研究的．然而，在17世纪的法国，还找不到哪位数学家可以与之匹敌．费马对数学的贡献包括：

与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱，他于1636年给罗贝瓦尔及1638年给笛卡儿的信中提出求极大值、极小值与拐点的步骤，实际已相当于使导数为零而求极点之方法．这成为现代微积分中函数取极值之必要条件．通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向．他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一．由于费马对数学的巨大贡献，后人尊称他为“业余数学家之王”．他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论著，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处．他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书（共两卷），在图卢兹出版．他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识．虽年近三十才认真注意数学，但成就累累．最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世．

数学小故事

自从费马大定理提出之后，从此包括大数学家欧拉、柯西在内的无数智者都曾为此殚精竭智，虽然每次都能向前迈进一小步，但都未能最终证明费马大定理．300多年来，很多人声称找到了解决这个难题的办法，然而每一次均为人所推翻．从费马大定理本身来说，证明不证明它对数学的发展没有多大意义．但一方面，这是对智慧的挑战；另一方面，数学家们从证明费马大定理的过程中得到了许多意外的收获，一些新的数学分支和方法正是在对它的研究中产生的．因而，费马大定理的证明一直受到人们的关注．

关于费马大定理也有不少小插曲，德国人保罗·沃尔夫斯凯尔为费马大定理设立专项基金即是其中之一．按照人们的一般说法，沃尔夫斯凯尔因为失恋而试图结束自己的生命．在他认为一切就绪，准备于某日午夜准时开枪自尽前的一段时间里，发现了一篇关于费马大定理的论文．碰巧的是，沃尔夫斯凯尔本人是一个数学爱好者，不知不觉中竟沉湎于论文中，结果错过了原定的自杀时间．之后，沃尔夫斯凯尔放弃了自杀的念头，并在死前留下遗嘱，把一大笔财富作为奖给第一个证明费马大定理的人，有效期到2007年．

美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯经过7年的潜心研究，于1993年公布了他对费马大定理的证明．他的证明在1995年得到确认并最终获得了沃尔夫斯凯尔留下的奖金．怀尔斯的证明长达一百多页，其中涉及许多最新的数学知识，目前在世界范围内能看懂的人也屈指可数．因此出现了这样的争议：

有人认为这不可能是当年费马所想到的证明，应该还有种比这简单的证明未被发现；但也有许多人倾向于认为当年的费马其实毫无发现，或者只是想到了一个错误的方法．

科技新发展——极值理论拯救生命

发生在1952年2月的海水倒灌灾难夺去了1800人的生命，毁坏了4.7万间居民住宅．此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤．而后，1600万荷兰居民得到了极值理论公式的保护．由于荷兰一半以上的国土位于海平面之下，因此该国筑起一条条海堤加以防范．这些海堤根据极值理论的数学原理设计，用来对付大自然可能发起的最恶劣挑战，科学家们分析了该国有关此类极端事件的历史数据，得出了新建堤防5米高的标准，这时极值理论被用来确定，在不远的将来，再次发生灾难的机会微乎其微．

极值理论还是新的海事安全建议中的核心内容，然而这些建议,旨在防止类似MVDerbyshire货船沉没的悲剧重演．1981年，MVDerbyshire在日本以南海面遭遇台风而沉没，船上44名船员全部遇难．2000年，一份官方调查发现，这艘船的前舱舱口盖在大浪的冲击下塌陷，导致海水涌入．这一调查结论清洗了船长和船员的冤屈，他们曾因这一悲剧遭到指责．

这一结论部分基于兰开斯特大学乔纳森陶恩教授和珍妮特赫弗南博士的研究结果．两位学者利用极值理论考察了船舶舱盖被足够狂暴的海浪冲击所打开的各种可能性．在与劳氏共同进行的研究中，上述两位学者还使用极值理论，说明除了在灾难发生后推荐增加防护层外，对类似MVDerbyshire那样大小的船舶而言，其舱盖强度应该再提高35%．几个月后的2001年12月，大型散装货船克里斯多佛号在亚速尔群岛附近海面沉没，27名船员遇难．最后时刻的无线电通讯报告显示，该船的前舱舱口盖已经被海浪冲跨．这是MVDerbyshire命运可怕的重复，可能这也说明，若不遵照行事，即使是最成熟的理论也起不了保护作用．

虽然函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中有最富表现力和灵活性，起着不可替代的数学工具的作用，但是，极值理论还在襁褓期，数学家们仍在探索它的潜能，特别是在预测同时发生的几个极端事件方面的潜能．即便如此，这一方法已在帮助我们挽救生命和财富了．对于我们的生活已经起到了不可或缺的作用．

生活中的数学

1.经济问题

例1　某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？

每月的最大利润是多少？

解：

（1）由题意，可设y＝kx＋b，把（5，30000），（6，20000）代入得：

解得：

，

所以y与x之间的关系式为：

y＝－10000x＋80000；

（2）设利润为W，则W＝（x－4）（－10000x＋80000）＝－10000（x－4）（x－8）＝－10000（x2－12x＋32）＝－10000[（x－6）2－4]＝－10000（x－6）2＋40000

所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．

答：

当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．

例2　某游乐场有100条游船，若每条游船每小时收租金10元，游船可以全部租出，若每条游船每小时收租金提高1元，便减少4条游船租出，以此类推，为使租金最高的情况下，游客又实惠些，问每条游船每小时应提高租金多少元？

解：

设每条游船的租金每小时提高x元．

则可租出（100－4x）条游船，所得租金为y元，

则y＝（10＋x）（100-4x）

＝

＝

∵x是整数，∴x＝7或8时，租金都最大，

但要游客实惠些，只提高7元．

2．几何问题

例1　某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？

最大为多少？

（材质及其厚度等暂忽略不计）．

解：

已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2－x＝（90－x）cm．

由题意得：

y＝x（90－x）×20

＝－20（x2－90x）

＝－20（x－45）2＋40500

当x＝45时，y有最大值，最大值为40500．

答：

当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．

例2　某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD．花园的一边靠墙．另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的一边长为x（m），花园的面积为y平方米，求花园面积的最大值．

解：

．

∵0＜40－2x≤15，∴12.5≤x＜20．

∵二次函数的顶点不在自变量x的范围内，

而当12.5≤x＜20内，y随x的增大而减小，

∴当x＝12.5时，

∴

（平方米）．