创新设计一轮复习 第二章 第2节.docx
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创新设计一轮复习第二章第2节
第2节 函数的单调性与最值
考试要求 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1 当x1 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 [微点提醒] 1. (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 3.“对勾函数”y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-),(,+∞);单调减区间是[-,0),(0,]. 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.( ) (2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( ) (3)对于函数y=f(x),若f (1) (4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1=-1,x2=1,则f(-1)<f (1),故应说成单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞). (3)应对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)成立才可以. (4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间是R. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P39B3改编)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( ) A.y=-xB.y=x2-x C.y=lnx-xD.y=ex 解析 对于A,y1=在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y=ex在(0,+∞)上是增函数. 答案 A 3.(必修1P31例4改编)函数y=在区间[2,3]上的最大值是________. 解析 函数y=在[2,3]上是减函数, 当x=2时,y=取得最大值=2. 答案 2 4.(2019·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( ) A.y=在R上为减函数 B.y=|f(x)|在R上为增函数 C.y=-在R上为增函数 D.y=-f(x)在R上为减函数 解析 如f(x)=x3,则y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错;则y=|f(x)|在R上无单调性,B错;则y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,C错. 答案 D 5.(2019·青岛调研)若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f (1)的大小关系是( ) A.f(m)>f (1)B.f(m) (1) C.f(m)≥f (1)D.f(m)≤f (1) 解析 因为f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则m-1>0,所以m>1,所以f(m)>f (1). 答案 A 6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2)B.(-∞,1) C.(1,+∞)D.(4,+∞) 解析 由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2. 设t=x2-2x-8,则y=lnt为增函数. 要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8的单调递增区间. ∵函数t=x2-2x-8的单调递增区间为(4,+∞), ∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞). 答案 D 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1】 (1)(2019·石家庄质检)若函数y=log(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-4)∪[2,+∞)B.(-4,4] C.[-4,4)D.[-4,4] 解析 令t=x2-ax+3a,则y=logt(t>0), 易知t=x2-ax+3a在上单调递减, 在上单调递增. ∵y=log(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数, ∴t=x2-ax+3a在(2,+∞)上是增函数,且在(2,+∞)上t>0, ∴2≥,且4-2a+3a≥0,∴a∈[-4,4]. 答案 D (2)判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1 解 f(x)在[1,2]上单调递增,证明如下: 设1≤x1 由1≤x1 1 又因为1 得a(x1+x2)->0, 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 规律方法 1. (1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如例1 (1). (2)单调区间不能用集合或不等式表达,且图象不连续的单调区间要用“和”“,”连接. 2. (1)函数单调性的判断方法有: ①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法. (2)函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 【训练1】(一题多解)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 解 法一 设-1 f(x)=a=a, f(x1)-f(x2)=a-a =, 由于-1 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) 法二 f′(x)= ==-. 当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 考点二 求函数的最值 【例2】 (1)已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为( ) A.B.C.2D.4 (2)已知函数f(x)=则f[f(-3)]=________,f(x)的最小值是________. 解析 (1)f(x)=ax+logax在[1,2]上是单调函数, 所以f (1)+f (2)=loga2+6, 则a+loga1+a2+loga2=loga2+6, 即(a-2)(a+3)=0,又a>0,所以a=2. (2)∵f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, ∴f[f(-3)]=f (1)=0, 当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3,当且仅当x=时,取等号,此时f(x)min=2-3<0; 当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0时,取等号,此时f(x)min=0. ∴f(x)的最小值为2-3. 答案 (1)C (2)0 2-3 规律方法 求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法: 先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法: 先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法: 先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法: 先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 【训练2】 (1)(2019·烟台调研)函数f(x)=-在x∈[1,4]上的最大值为M,最小值为m,则M-m的值是( ) A.B.2C.D. (2)(2019·湖南怀化质检)定义max{a,b,c,}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6 解析 (1)易知f(x)=-在[1,4]上是增函数, ∴M=f(x)max=f(4)=2-=,m=f (1)=0. 因此M-m=. (2)画出函数M={2x,2x-3,6-x}的图象(如图),由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4, 故M的最小值为4. 答案 (1)A (2)C 考点三 函数单调性的应用 多维探究 角度1 利用单调性比较大小 【例3-1】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f (2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>bB.c>b>a C.a>c>bD.b>a>c 解析 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以a=f=f. 当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,等价于函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以b>a>c. 答案 D 角度2 求解函数不等式 【例3-2】(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=则满足f(x+1) A.(-∞,-1]B.(0,+∞) C.(-1,0)D.(-∞,0) 解析 当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1. 作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象知,要使f(x+1)<f(2x),当且仅当或 解得x<-1或-1≤x<0,即x<0. 答案 D 角度3 求参数的值或取值范围 【例3-3】已知f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,那么a的取值范围是________. 解析 对任意x1≠x2,都有>0, 所以y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 所以解得≤a<2. 故实数a的取值范围是. 答案 规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是: 根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 2. (1)比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式,其实质是函数单调性的逆用,由条件脱去“f”. 【训练3】 (1)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为( ) A.a C.c (2)若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1)D.(0,1] 解析 (1)由f(x)是奇函数,得a=-f=f(log25). 又log25>log24.1>2>20.8,且y=f(x)在R上是增函数,所以a>b>c. (2)因为f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在[1,2]上为减函数,所以由其图象得a≤1,g(x)=, g′(x)=-, 要使g(x)在[1,2]上为减函数,需g′(x)<0在[1,2]上恒成立, 故有-a<0,因此a>0,综上可知0 答案 (1)C (2)D [思维升华] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤: (1)取值; (2)作差;(3)定号;(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法: 定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法: 单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式. [易错防范] 1.区分两个概念: “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.例如,函数f(x)在区间(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数,如函数f(x)=. 基础巩固题组 (建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.函数f(x)=-x+在上的最大值是( ) A.B.-C.-2D.2 解析 易知f(x)在上是减函数, ∴f(x)max=f(-2)=2-=. 答案 A 2.(2019·广州模拟)下列函数f(x)中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)=2xB.f(x)=|x-1| C.f(x)=-xD.f(x)=ln(x+1) 解析 由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调,对于f(x)=-x,因为y=与y=-x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数. 答案 C 3.(2019·济宁一模)已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0且a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递增区间是( ) A.(-∞,-1]B.[-1,+∞) C.[-1,1)D.(-3,-1] 解析 令g(x)=-x2-2x+3,由题意知g(x)>0,可得-3 答案 C 4.函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( ) A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2) 解析 函数y===-1在区间(-1,+∞)上是减函数,且f (2)=0,所以n=2. 根据题意,x∈(m,n]时,ymin=0. ∴m的取值范围是[-1,2). 答案 D 5.(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f(x),对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6,则f (2)=( ) A.2B.4C.6D.8 解析 设t=f(x)-2x,则f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,∵f(x)是单调函数,f (2)=22+2=6,∴t=2,即f(x)=2x+2,则f (2)=4+2=6. 答案 C 二、填空题 6.(2019·北京杨镇一中月考)已知f(x)和g(x)在定义域内均为增函数,但f(x)·g(x)不一定是增函数,请写出一对这样的函数: 例如当f(x)=________,且g(x)=________时,f(x)·g(x)不是增函数. 答案 此答案不唯一(参考答案: x,x;x,x3;x,lnx;x,lgx;x,ex;……) 7.设函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是________. 解析 f(x)==a-, ∵函数f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数, ∴即即a≥1. 答案 [1,+∞) 8.(一题多解)(2019·天津河东区模拟)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 解析 法一 在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)图象, 依题意,h(x)的图象如图所示的实线部分. 易知点A(2,1)为图象的最高点, 因此h(x)的最大值为h (2)=1. 法二 依题意,h(x)= 当0 当x>2时,h(x)=3-x是减函数, 因此h(x)在x=2时取得最大值h (2)=1. 答案 1 三、解答题 9.已知函数f(x)=-(a>0,x>0). (1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在上的值域是,求a的值. (1)证明 设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0, ∵f(x2)-f(x1)=-=-=>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)解 ∵f(x)在上的值域是, 又由 (1)得f(x)在上是单调增函数, ∴f=,f (2)=2,易得a=. 10.函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0 (1)求方程f(x)=0的解. (2)若函数f(x)的最小值为-1,求a的值. 解 (1)由得-3 ∴f(x)的定义域为(-3,1). 则f(x)=loga(-x2-2x+3),x∈(-3,1), 令f(x)=0,得-x2-2x+3=1, 解得x=-1-或x=-1+, 检验,均满足原方程成立. 故f(x)=0的解为x=-1±. (2)由 (1)得f(x)=loga[-(x+1)2+4],x∈(-3,1), 由于0<-(x+1)2+4≤4,且a∈(0,1), ∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4, 由题意可得loga4=-1,解得a=,满足条件. 所以a的值为. 能力提升题组 (建议用时: 20分钟) 11.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( ) A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3] 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∵f (1)=-1,∴f(-1)=-f (1)=1. 故由-1≤f(x-2)≤1,得f (1)≤f(x-2)≤f(-1). 又f(x)在(-∞,+∞)单调递减, ∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3. 答案 D 12.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定( ) A.有最小值B.有最大值 C.是减函数D.是增函数 解析 因为函数f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2在区间(-∞,1)上有最小值, 所以函数f(x)的对称轴x=a应当位于区间(-∞,1)内, 即a<1,又g(x)==x+-2a, 当a<0时,g(x)=x+-2a在区间(1,+∞)上为增函数,此时,g(x)min>g (1)=1-a>0; 当a=0时,g(x)=x在区间(1,+∞)上为增函数,此时,g(x)min>g (1)=1; 当01-a>0, 此时g(x)min>g (1)=1-a; 综上,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 答案 D 13.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是________. 解析 二次函数y1=x2-4x+3的对称轴是x=2,所以该函数在(-∞,0]上单调递减,所以x2-4x+3≥3,同样可知函数y2=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,所以-x2-2x+3<3,所以f(x)在R上单调递减,所以由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a<2a-x,即2x 答案 (-∞,-2) 14.已知函数f(x)=a-. (1)求f(0); (2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax) (2)的x的范围. 解 (1)f(0)=a-=a-1. (2)f(x)在R上单调递增.证明如下: ∵f(x)的定义域为R,∴任取x1,x2∈R且x1 则f(x1)-f(x2)=a--a+ =, ∵y=2x在R上单调递增且x1 ∴0<2x1<2x2,∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)在R上单调递增. (3)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即a-=-a+, 解得a=1(或用f(0)=0去解). ∴f(ax) (2)即为f(x) (2), 又∵f(x)在R上单调递增,∴x<2. ∴x的取值范围是(-∞,2). 新高考创新预测 15.(多填题)设函数f(x)=若f[f (1)]=4a,则实数a=________,函数f(x)的单调增区间为________. 解析 ∵f(x)=∴f (1)=12+1=2,f[f (1)]=f (2)=22+2a.由f[f (1)]=4a,∴22+2a=4a,∴a=2.当x≤1时,f(x)在(-∞,0]上递减,在[0,1]上递增,且f (1)=2;当x>1时,f(x)=2x+2x在(1,+∞)上递增,令x=1时,2x+2x=2+2=4>f (1),故f(x)的单调增区间为[0,1]∪(1,+∞)=[0,+∞). 答案 2 [0,+∞)
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