届高考数学一轮复习文创新思维训练第7章 第4节 空间中的平行关系.docx
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届高考数学一轮复习文创新思维训练第7章第4节空间中的平行关系
2019届高考数学一轮复习(文)【创新思维训练】
A组 基础对点练
1.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
若m,n⊂α,α∥β,则m∥β且n∥β;反之若m,n⊂α,m∥β且n∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
答案:
A
2.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是( )
A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2
C.m∥β且n∥βD.m∥β且l1∥α
解析:
由m∥l1,m⊂α,l1⊂β,得l1∥α,同理l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件.
答案:
A
3.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
答案:
B
4.(2018·江西赣中南五校联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β
B.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
D.若m∥n,m∥α,则n∥α
解析:
对于A,若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β或γ与β相交;对于B,若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交;易知C正确;对于D,若m∥n,m∥α,则n∥α或n在平面α内.故选C.
答案:
C
5.已知正方体ABCDA1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是________(只填序号).
①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.
解析:
连接AD1,BC1,AB1,B1D1,C1D1,BD,因为AB綊C1D1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,故AD1∥BC1,从而①正确;易证BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确;由图易知AD1与DC1异面,故③错误;因AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正确.
答案:
①②④
6.如图所示,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是________.
解析:
连接AM并延长,交CD于E,连接BN,并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,连接MN,由
=
=
,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案:
平面ABC、平面ABD
7.(2018·咸阳模拟)如图所示,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.
(1)求四棱锥OABCD的体积;
(2)证明:
直线MN∥平面OCD.
解析:
(1)∵OA⊥底面ABCD,∴OA是四棱锥OABCD的高.∵四棱锥OABCD的底面是边长为1的菱形,∠ABC=
,∴底面面积S菱形ABCD=
.
∵OA=2,∴体积VOABCD=
.
(2)证明:
取OB的中点E,连接ME,NE(图略).
∵ME∥AB,AB∥CD,∴ME∥CD.
又∵NE∥OC,ME∩EN=E,CD∩OC=C,
∴平面MNE∥平面OCD.
∵MN⊂平面MNE,∴MN∥平面OCD.
8.如图,四棱锥PABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,点E,F分别为AD,PC的中点.
(1)证明:
DF∥平面PBE;
(2)求点F到平面PBE的距离.
解析:
(1)证明:
取PB的中点G,连接EG,FG,则FG∥BC,且FG=
BC,
∵DE∥BC且DE=
BC,∴DE∥FG且DE=FG,
∴四边形DEGF为平行四边形,∴DF∥EG,又DF⊄平面PBE,EG⊂平面PBE,∴DF∥平面PBE.
(2)由
(1)知DF∥平面PBE,∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的,故转化为求点D到平面PBE的距离,设为d.
连接BD.∵VDPBE=VPBDE,
∴
S△PBE·d=
S△BDE·PD,
由题意可求得PE=BE=
,PB=2
,
∴S△PBE=
×2
×
=
,又S△BDE=
DE·AB=
×1×2=1,
∴d=
.
9.(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)证明:
直线MN∥平面BDH;
(3)过点M,N,H的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比.
解析:
(1)点F,G,H的位置如图所示.
(2)证明:
连接BD,设O为BD的中点,连接OM,OH,AC,BH,MN.
∵M,N分别是BC,GH的中点,
∴OM∥CD,且OM=
CD,
NH∥CD,且NH=
CD,
∴OM∥NH,OM=NH,
则四边形MNHO是平行四边形,
∴MN∥OH,
又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,
∴MN∥平面BDH.
(3)由
(2)知OM∥NH,OM=NH,连接GM,MH,过点M,N,H的平面就是平面GMH,它将正方体分割为两个同高的棱柱,高都是体积比等于底面积之比,即3∶1.
B组 能力提升练
1.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;
②若a∥b,a∥α,则b∥α;
③若a∥α,b∥α,则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,在空间中,以上三个命题都是假命题.
答案:
A
2.已知直线a,b异面,给出以下命题;
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;
②一定存在平行于a的平面α使b∥α;
③一定存在平行于a的平面α使b⊂α;
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点.
则其中正确的是( )
A.①④B.②③
C.①②③D.②③④
解析:
对于①,若存在平面α使得b⊥α,则有b⊥a,而直线a,b未必垂直,因此①不正确;对于②,注意到过直线a,b外一点M分别引直线a,b的平行线a1,b1,显然由直线a1,b1可确定平面α,此时平面α与直线a,b均平行,因此②正确;对于③,注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面α,此时平面α与直线a平行,且b⊂α,因此③正确;对于④,在直线b上取一定点N,过点N作直线c与直线a平行,经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行,且与直线b相交于一定点N,而N在b上的位置任意,因此④正确.综上所述,②③④正确.
答案:
D
3.(2018·温州十校联考)如图,点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,则下列三种说法中正确的个数是( )
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC;
②平面SBC内存在直线与SA平行;
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行.
A.0 B.1
C.2D.3
解析:
由题图,得SA⊥SE,若存在点E使得直线SA⊥平面SBC,则SA⊥SB,SA⊥SC,则SC,SB,SE三线共面,则点E与点C重合,与题设矛盾,故①错误;因为SA与平面SBC相交,所以在平面SBC内不存在直线与SA平行,故②错误;显然,在平面ABCE内,存在直线与AE平行,由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行,故③正确.故选B.
答案:
B
4.下列命题中,错误的是( )
A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交
B.平行于同一平面的两个不同平面平行
C.如果平面α不垂直平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D.若直线l不平行平面α,则在平面α内不存在与l平行的直线
解析:
A中,如果假定直线与另一个平面不相交,则有两种情形:
在平面内或与平面平行,不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,故A正确;B是两个平面平行的一种判定定理,B正确;C中,如果平面α内有一条直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理),故C正确;D是错误的,事实上,直线l不平行平面α,可能有l⊂α,则α内有无数条直线与l平行.
答案:
D
5.(2018·唐山统一考试)在三棱锥PABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB和AC,则截面的周长为________.
解析:
过点G作EF∥AC,分别交PA、PC于点E、F,过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB,分别交AB、BC于点N、M,连接MN(图略),则四边形EFMN是平行四边形,所以
=
,即EF=MN=2,
=
=
,即FM=EN=2,所以截面的周长为2×4=8.
答案:
8
6.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1cm,过AC作平行于体对角线BD1的截面,则截面面积为________cm2.
解析:
如图所示,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,∴E为DD1的中点,∴S△ACE=
×
×
=
(cm2).
答案:
7.如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体NBCM的体积.
解析:
(1)证明:
由已知得AM=
AD=2,
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,
TN=
BC=2.
又AD∥BC,故TN綊AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为
PA.
取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=
=
.
由AM∥BC得M到BC的距离为
,
故S△BCM=
×4×
=2
.
所以四面体NBCM的体积VNBCM=
·S△BCM·
=
.
8.如图,四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2
.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:
GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
解析:
(1)证明:
因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.
(2)如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.
又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF,
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2,得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=
DB=
OB,即K为OB的中点.
由PO∥GK得GK=
PO,
即G是PB的中点,且GH=
BC=4.
由已知可得OB=4
,
PO=
=
=6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=
·GK=
×3=18.
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- 届高考数学一轮复习文创新思维训练第7章 第4节 空间中的平行关系 高考 数学 一轮 复习 创新 思维 训练 空间 中的 平行 关系