∴ω-u2≥1,当且仅当a+1=时,即a=0时等号成立.
故ω-u2的最小值为1.
【小结】没有给定复数的具体形式时,要注意首先设出其代数形式z=a+bi(a,b∈R),这是解决复数问题时的一般思路,本题将复数与不等式相结合考查,具有一定的综合性.
1.(2012年·全国新课标卷)下面关于复数z=的四个命题:
p1:
|z|=2;p2:
z2=2i;p3:
z的共轭复数为1+i;p4:
z的虚部为-1.
其中的真命题为( ).
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4
【解析】由题意得z===-1-i,则=,z2=(-1-i)2=2i,=-1+i,z的虚部为-1,所以p2,p4是正确的.
【答案】C
2.(2013年·全国Ⅱ卷)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( ).
A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i
【解析】z===i(1+i)=-1+i.
【答案】A
3.(2013年·安徽卷)设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为( ).
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】a-=a-=a-=a-(3+i)=(a-3)-i,
所以a=3.
【答案】D
一、选择题
1.复数的虚部是( ).
A.-1 B.1 C.i D.-i
【解析】==-1+i.
【答案】B
2.i为虚数单位,复平面内表示复数z=的点在( ).
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为z====--i,所以其在复平面上对应的点为(-,-),在第三象限.
【答案】C
3.已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=( ).
A.-3+4iB.-3-4i
C.3+4iD.3-4i
【解析】(法一)由(3+4i)z=25,得z===3-4i.
(法二)设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)(a+bi)=25,即3a-4b+(4a+3b)i=25,所以解得故z=3-4i.
【答案】D
4.已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=( ).
A.-2i B.2i C.-4i D.4i
【解析】∵M∩N={4},∴4∈M,∴zi=4,∴z==-4i.
【答案】C
5.已知复数z满足(1-i)z=2,则||为( ).
A.1+iB.1-iC.D.2
【解析】z====1+i,=1-i,所以||=|1-i|=.
【答案】C
6.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为( ).
A.2B.4C.-6D.6
【解析】==,根据已知条件a=-6.
【答案】C
7.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于( ).
A.±2B.-2
C.±2iD.-2i
【解析】z2+2=0⇒z=±i⇒z3=±2i.
【答案】C
8.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于( ).
A.-1B.1C.2D.3
【解析】由已知条件a+2i=-1+bi,
则a=-1,b=2,a+b=1.
【答案】B
9.若纯虚数z满足(2-i)z=4+bi,则实数b等于( ).
A.-2B.2C.-8D.8
【解析】(法一)设z=ai(a∈R且a≠0),则ai(2-i)=4+bi,
即2ai-ai2=4+bi,∴a+2ai=4+bi,
即∴b=8.
(法二)由(2-i)z=4+bi,
得z====+i,则=0,∴b=8,选D.
【答案】D
10.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在( ).
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【解析】由题意得z(1+i)-(1-i)(1+2i)=0,即z=====2-i,
所以=2+i,对应点(2,1)在第一象限,选A.
【答案】A
二、填空题
11.复数= .
【解析】==-2i.
【答案】-2i
12.复数(i为虚数单位)的实部等于 .
【解析】∵==-3-i,∴-3-i的实部等于-3.
【答案】-3
13.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z= .
【解析】由(z-2i)(2-i)=5,得z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.
【答案】2+3i
14.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则x= .
【解析】由题意,得x+i====2+i,
所以x=2.
【解析】2
15.若z=,则z100+z50+1= .
【解析】z==,z100+z50+1=()100+()50+1=()50+()25+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.
【答案】i
三、解答题
16.已知z1=5+10i,z2=3-4i,=+,求z.
【解析】=+=,则z=
===
=5-i.
17.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.
【解析】∵(z1-2)(1+i)=1-i,
∴z1=2-i.
设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
∵z1·z2∈R,∴a=4,
∴z2=4+2i.
18.已知复数z=(3+bi)(1+3i)(b∈R)是纯虚数.
(1)求b的值;
(2)若w=,求复数w的模|w|.
【解析】
(1)z=(3+bi)(1+3i)=(3-3b)+(9+b)i.
∵z是纯虚数,
∴3-3b=0,且9+b≠0,
∴b=1.
(2)w====-i,
∴|w|==.
19.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).
(1)把复数z的共轭复数记作,若·z1=4+3i,求复数z1;
(2)已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
【解析】
(1)由题意得=1+2i,
所以z1===2-i.
(2)由题意知2(1-2i)2+p(1-2i)+q=0,
化简得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0.
根据复数相等的条件,有-6+p+q=0且-8-2p=0,
解得p=-4,q=10.
20.已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ci)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数c的取值范围.
【解析】
(1)设复数z=a+bi(a,b∈R),
由题意知,z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i∈R,
∴b+2=0,即b=-2.
又==+i∈R,
∴2b+a=0,即a=-2b=4.
∴z=4-2i.
(2)由
(1)可知z=4-2i,
∴(z+ci)2=(4-2i+ci)2=[4+(c-2)i]2
=16-(c-2)2+8(c-2)i,
其对应的点在复平面的第一象限,
∴解得2即c的取值范围为(2,6).
21.已知动点P在复平面上对应的复数为z=t+3+3i,其中t是使为纯虚数的复数,求点P的轨迹方程.
【解析】设t=x1+y1i(x1,y1∈R),则
===为纯虚数,得+=9.
设z=x+yi(x,y∈R),
则t=z-3-3i,x1+y1i=x+yi-3-3i,
代入+=9,得(x-3)2+(y-3)2=9.
选修1-2模块测试评估卷
一、选择题
1.下列两变量中具有相关关系的是( ).
A.球的体积与半径
B.匀速行驶车辆的行驶距离与时间
C.正方体外接球的表面积与正方体的棱长
D.日照时间与棉花的产量
【解析】A、B、C项都是具有确定性的函数关系.本题只有D项才具有相关关系.
【答案】D
2.i为虚数单位,()2=( ).
A.-1 B.1 C.-i D.i
【解析】()2===-1.
【答案】A
3.某药厂生产某产品的工艺过程如下:
从上图可以看出药品生产过程需要检验( ).
A.1次B.2次C.3次D.4次
【答案】C
4.把正整数按下图所示的规律排序,则从2003到2005的箭头方向依次为( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】B
5.设f(z)=,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于( ).
A.1-3iB.-2+11i
C.-2+iD.5-5i
【答案】D
6.已知回归直线斜率的估计值为1.23,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的方程为( ).
A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5
C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x+1.23
【解析】回归直线必过点(4,5),故其方程为y-5=1.23(x-4),即y=1.23x+0.08.
【答案】C
7.下列有关回归的说法,正确的是( ).
①相关关系的两个变量不一定是因果关系;
②散点图能直观地反映数据的相关程度;
③回归直线能代表线性相关的两个变量之间的关系;
④任何一组数据都有回归直线方程.
A.①②B.①②③C.②④D.①②③④
【答案】B
8.在一次对性别与吃零食是否有关的调查中,得到如下数据:
吃零食
不吃零食
合计
男
6
7
13
女
8
9
17
合计
14
16
30
根据此表,得到如下结论,其中正确的是( ).
A.在此次调查中有90%以上的把握认为吃零食与性别有关
B.在此次调查中有95%的把握认为吃零食与性别有关
C.在此次调查中有99%的把握认为吃零食与性别有关
D.在此次调查中没有充分的数据证明吃零食与性别有关
【解析】χ2=≈0.00242<2.706,选D.
【答案】D
9.在所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性,选项为( ).
A.
B.
C.
D.
【解析】本题考查学生对图形类问题归纳的能力.在第一行中,第一个图叠加第二个图为第三个图,第二行也满足此规律,所以第三行也应满足此规律.又第三行的前两个图叠加为A项,故选A.
【答案】A
10.对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:
①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);
②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);
③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);
④z1*z2=z2*z1.
则真命题的个数是( ).
A.1B.2C.3D.4
【解析】由题意得(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=z1*z3+z2*z3,故①正确;z1*(z2+z3)=z1(+)=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),故②正确;(z1*z2)*z3=(z1)=z1 ,而z1*(z2*z3)=z1z3,故③不正确;z1*z2=z1,而z2*z1=z2,故④不正确.故选B.
【答案】B
二、填空题
11.已知i是虚数单位,实数x,y满足(x+i)i+y=1+i,则x-y的值为 .
【解析】∵(x+i)i+y=1+i,∴y-1+xi=1+i(x,y∈R),
∴∴y=2,x=1,∴x-y=1-2=-1.
【答案】-1
12.已知复数z1=1-i,z1·z2=1+i,则z2= .
【解析】由z1·z2=1+i,
知z2===i.
【答案】i
13.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第n个等式为 .
【答案】n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
14.已知命题“若数列{an}是等比数列,且an>0,则数列bn=(n∈N*)也是等比数列”,类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个性质是 .
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则bn===a1+(n-1),
所以数列{bn}是以an为首项,为公差的等差数列.
【答案】若数列{an}是等差数列,则数列bn=也是等差数列
15.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出S的值为 .
【解析】根据程序框图阅读判断并求解,注意程序终止的条件.
由题意,程序运行如下:
k=1<9,S=21+1=3,k=2<9;S=3+22+2=9,k=3<9;
S=9+23+3=20,k=4<9;S=20+24+4=40,k=5<9;
S=40+25+5=77,k=6<9;S=77+26+6=147,k=7<9;
S=147+27+7=282,k=8<9;S=282+28+8=546,k=9≤9;
S=546+29+9=1067,k=10>9,输出S=1067,程序结束.
【答案】1067
三、解答题
16.为了研究性格与血型的关系,抽取80名被试验者,他们的血型与性格汇总如下,试判断性格与血型是否相关.
血型性格
O型或A型
B型或AB型
总计
Ⅰ型
18
16
34
Ⅱ型
17
29
46
总计
35
45
80
【解析】由列联表中的数据得到:
χ2=≈2.030<2.706.
故没有充分的证据显示“血型与性格有关系”.
17.对于直线l:
y=kx+1,是否存在这样的实数k,使得l与双曲线C:
3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【解析】假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1)、B(x2,y2).
则
由⇒(3-k2)x2-2kx-2=0, ④
由②③有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2, ⑤
由④知x1+x2=,
代入⑤整理得:
ak=3与①矛盾.
故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.
18.已知点P(x0,y0)和直线l:
Ax+By+C=0,求点P(x0,y0)到直线l的距离d,写出其算法并画出算法框图.
【解析】算法如下:
第一步,输入P点的坐标(x0,y0)及直线方程的系数A,B,C;
第二步,计算z1=Ax0+By0+C;
第三步,计算z2=A2+B2;
第四步,计算d=;
第五步,输出d.
程序框图如图所示.
19.已知w=-+i.
(1)求w2及w2+w+1的值;
(2)若等比数列{an}的首项为a1=1,公比q=w,求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】
(1)w2=(-+i)2=-i-=--i.
w2+w+1=(--i)+(-+i)+1=0.
(2)由于w2+w+1=0,
wk+2+wk+1+wk=wk(w2+w+1)=0,k∈Z.
∴Sn=1+w+w2+…+wn-1=
∴Sn=
20.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年 份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用
(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
b=,a=-b.
【解析】
(1)由所给数据计算得=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
b===0.5,
a=-b=4.3-0.5×4=2.3,
所求回归方程为y=0.5t+2.3.
(2)由
(1)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入
(1)中的回归方程,得
y=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
21.已知函数f(x)=(ax-a-x),其中a>0,且a≠1.
(1)判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)判断f
(2)-2与f
(1)-1,f(3)-3与f
(2)-2的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明.
【解析】
(1)由已知得f'(x)=(ax+a-x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
(2)f
(2)-2>f
(1)-1,f(3)-3>f
(2)-2.
一般的结论:
f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*).
证明如下:
上述不等式等价于f(n+1)-f(n)>1,即>1,
化简得(an+1-1)(an-1)>0,
在a>0且a≠1的条件下,(an+1-1)(an-1)>0显然成立,
故f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*)成立.