初中几何辅助线大全 最全汇总.docx
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初中几何辅助线大全最全汇总
三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形:
BC
求证:
AD=BC⊥BD于B,AC例如:
如图7-1:
已知=BD,AD⊥AC于A,与△BC的三角形全等,有几种方案:
△ADCAD=BC,先证分别含有AD,分析:
欲证
,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,ABD与△BACBCD,△AOD与△BOC,△
因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。
EE点,:
分别延长DA,CB,它们的延长交于证明(已知)BD∵AD⊥ACBC⊥
(垂直的定义)DBE=90°∴∠CAE=∠BA中与△CAEDBE在△O)公共角?
?
E(?
E?
?
∵)已证CAE(?
DBE?
?
?
DC?
)已知?
BDAC(1?
图7?
(AAS)DBE∴△≌△CAE
EA(全等三角形对应边相等)∴ED=ECEB=EB-∴ED-EA=EC即:
AD=BC。
(当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。
)
、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。
二
三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
。
的延长于ECE2,⊥BD1BAC△9-1:
在RtABC中,AB=AC,∠=90°,∠=∠例如:
如图求证:
BD=2CE
F,同时,想到要构造线段2CE2CE分析:
要证BD=
EAD1
12BC1?
9图
的平分线垂直,想到要将其延长。
CE与∠ABC
F。
证明:
分别延长BA,CE交于点CF(已知)∵BE⊥(垂直的定义)BEC=90°BEF∴∠=∠BEC中,在△BEF与△)(已知1?
?
2?
?
?
∵)公共边BEBE?
(?
?
)已证?
?
BEC(?
BEF?
1)∴CE=FE=(全等三角形对应边相等)CF∴△BEF≌△BEC(ASA
2(已知)°BE⊥CF∵∠BAC=90°BFC=90+∠BDA=90°∠1+∠∴∠BAC=∠CAF=90°∠1BFC
=∠∴∠BDA与△ACF中在△ABD)CAF(已证?
BAC?
?
?
?
)BFC(已证?
BDA?
?
?
?
)AC(已知AB=?
2CEBD==CF(全等三角形对应边相等)∴∴△ABD≌△ACF(AAS)∴BD
四、取线段中点构造全等三有形。
。
求证:
∠ABC=∠DCB=∠11-1:
AB=DC,∠AD例如:
如图公理有△SAS,NC,再由,想到如取=∠DAD的中点N,连接NB分析:
由AB=DC,∠A
的中点NCB,再取BCABN=∠DCN。
下面只需证∠NBC=∠BNABN≌△DCN,故=CN,∠
。
问题得证。
=∠NCBNBM≌△NCM,所以∠,连接MMN,则由NBCSSS公理有△
DCN和△BM=CM,在△ABN,NB,NM,NC。
则AN=DN,连接的中点证明:
取AD,BCN、MNDA)?
ANDN(辅助线的作法?
?
∵中)已知D?
A?
?
(?
?
)DCAB?
(已知?
BMC1?
11图2
∴△ABN≌△DCN(SAS)
∴∠ABN=∠DCNNB=NC(全等三角形对应边、角相等)
在△NBM与△NCM中
NB=NC(已证)?
?
∵)辅助线的作法CM(BM=?
?
NM=NM(公共边)?
∴△NMB≌△NCM,(SSS)∴∠NBC=∠NCB(全等三角形对应角相等)∴∠NBC+∠ABN=∠NCB+∠DCN即∠ABC=∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
求3,=2:
1:
3,AE:
ED如图例1.1,在△ABC中,BD:
DC=。
AF:
FCG于点BF作DG//AC,交解:
过点DBC
:
FC=BD所以DG:
4:
BC=1:
3所以BD:
1因为BD:
DC=4DG
=,FC=:
FC1:
4即DG3:
=2又因为AE:
EDAE因为DG:
AF=DE:
2:
=3所以DG:
AF
6
1:
:
4DG=即所以AF:
FC=
FD
,例2.如图2BC=CD,AF=FCEF:
,求AC=AF:
于点G,则有EF:
GC解:
过点C作CG//DE交AB2
1:
所以AF:
AC=因为AF=FC
,=1:
2GC即EF:
CD
又因为BC=BD因为CG:
DE=BC:
2GC
=:
2即DE12CGBD所以BC:
=1:
:
DE=
EF:
FD所以==EFEDFD因为=-小结:
以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。
请再看两例,让我们感受其中的奥妙!
3
。
:
FD:
3,求AF1:
3,AE:
EB=2例3.如图3,BD:
DC=G。
BG//AD,交CE延长线于点B解:
过点作CB
CD:
DF:
BG=所以4
3:
CD:
CB=:
DC=1:
3所以因为BD
4,=3:
即DF:
BG3
2:
:
EB==AE:
EB又因为AE:
因为AFBG
:
3即:
所以AFBG=2
:
DF=所以AF
FC。
,求AF=FDEF:
如图4,BD:
DC=1:
3,例4.
GAB于点解:
过点D作DG//CE,交AD
AF:
所以EF:
DG=4
图1AD=:
2因为AF=FD所以AF:
2DG=1:
即EF:
4=1:
3,所以BD:
BC:
:
因为DGCE=BD:
BC,又因为BDCD=1:
4DG
CE=:
CE=14,即DG:
=FC=CE-EF因为
7
==1:
:
所以EFFC
练习:
,求AF:
FB。
:
:
=如图1.5,BDDC,AEED=15
AD:
DB=1:
3,AE:
EC=2.如图6,3:
1,求BF:
FC。
4
1:
10;2.9答案:
1、1:
由角平分线想到的辅助线二
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
角平分线具有两条性质:
a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
(一)、截取构全等
例1.如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,A
求证:
BC=AB+CD。
在平分∠BCD,点EAD上,CEDE:
此题中就涉及到角平分线,可以利分析用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分CBF线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段1-2图的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题延长短的线段或在长的线段长截取一中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长要证明但无论延长还是截取都要证明线段的相等,部分使之等于短的线段。
延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。
AC
,∠,已知:
如图.例21-3AB=2ACBAD=,求证DA=DB,∠CADDC⊥5
分析:
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
A
CEB,ADC=2∠ABC已知:
如图1-4,在△中,∠例3.
DAB-AC=CD
,求证:
平分∠BACB1-3图在证明:
此题的条件中还有角的平分线,分析A
此题还是证明线段的中还要用到构造全等三角形,在长的用到的是截取法来证明的,和差倍分问题。
E试试看可否把短的线段上截取短的线段,来证明。
C延长来证明呢?
BD1-4图
(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明过角平分线上一点向角两边作垂线,问题。
A
FAC,CD=BC。
AB>AD,2-1,已知∠BAC=∠例1.如图∠B=180求证:
∠ADC+DADC的两边作垂线。
近而证∠向∠分析:
可由CBADEFBB之和为平角。
与∠C2-1图
CBD∠。
A=90,AB=AC,∠ABD=ABC例2.如图2-2,在△中,∠BC=AB+AD
求证:
A
,则构造出,则AD=DE=CE于作分析:
过DDE⊥BCED此题是证明线段的和差倍分问题,全等三角形,从而得证。
CB从中利用了相当于截取的方法。
E图2-2
6
例3.已知如图2-3,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证:
∠BAC的平分线也经过点P。
A
、P到AB证AP平分∠BAC即可,也就是证分析:
连接AP,AC的距离相等。
NMDFPBC(三):
作角平分线的垂线构造等腰三角形2-3图从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。
例1.已知:
如图3-1,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。
AAB-AC求证:
DH=)(
2分析:
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
CDEHB图示3-1FAAB=AC,,∠BAC=90,AD为∠例2.已知:
如图3-2
A。
BE.求证:
BD=2CE的平分线,BCCE⊥ED给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的:
分析BC垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角3-2图形。
例3.已知:
如图3-3在△ABC中,AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长
A。
于M交AEM。
求证:
AM=MEBDECEABACAE、是∠内外角平分线,可得AD分析:
由FN3-3图,从而有AF⊥,所以想到利用比例线段证相等。
BF//AE7
ADAD交,AD=AB,CM⊥3-44.已知:
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC例1AB+AC。
求证:
AM=)(M延长线于
2AB为轴作对称变换,作△AD分析:
题设中给出了角平分线,自然想到以AD1DM=,然后只需证关于AD,另外的对称△AEDDEC
A2
1E,也可),即2AM=AB+AC由求证的结果AM=(AB+AC
2FDF=C,然后只需证尝试作△ACM关于CM的对称△FCMCnDBF即可。
M3-4图由线段和差想到的辅助线三线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:
、截长:
在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等1于另一条;、补短:
将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线2段等于长线段。
通常会联系到三角形中两线段之和大于第对于证明有关线段和差的不等式,三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。
通常将大角放在某三角形的外利用三角形外角定理证明不等关系时,注意:
角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。
°,求证:
AE=AD+BE。
⊥CEAB,且∠B+∠D=180平分∠例1.如图,ACBAD,D
A
C
E?
?
°,ABCA=108。
BD平分AB=ACABC3例已知:
如图,等腰三角形中,,BBC=AB+DC。
求证:
A
D
8
C
B
AB⊥CAB的平分线,DM△ABC中,∠ACB=90°,AD是∠例4如图,已知Rt1A
2,且AM=MB。
求证:
DBCD=。
于MM
B
D
C
AD=AB+CD,求证:
。
AE∥CD,、DE分别平分∠BAD各∠ADEAB1.如图,C
D
E
BA
C,的一条直线,且BAB=AC°,,AE是过AABC2.如图,△中,∠BAC=90AE的异侧,在
BD=DE+CE
。
求证:
于E⊥于BD⊥AED,CEAE
9
由中点想到的辅助线四
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
(一)、由中点应想到利用三角形的中位线
例2.如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证:
∠BGE=∠CHE。
证明:
连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,
∵ME是ΔBCD的中位线,
MECD,∴∠MEF=∴∠CHE,
∵MF是ΔABD的中位线,
MFAB,∴∠MFE=∠BGE∴,
∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,
从而∠BGE=∠CHE。
10
(二)、由中线应想到延长中线
例3.图4,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。
解:
延长AD到E,使DE=AD,则AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中,
∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD,
∴ΔACD≌ΔEBD,∴AC=BE,
从而BE=AC=3。
22222AE+BE=4+3=25=AB,故∠E=90°,在ΔABE中,因
BC=2BD=2∴=BD=,故=。
例4.如图5,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。
求证:
ΔABC是等腰三角形。
DE=AD,使。
证明:
延长AD到E3可证:
仿例CAD,ΔBED≌Δ2,EB=AC,∠E=∠故2,又∠1=∠E,∴∠1=∠是等腰三角形。
,即ΔABC∴AB=EB,从而AB=AC(三)、直角三角形斜边中线的性质。
,求证:
AC=BD,AD⊥BDBC6例5.如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥ABCΔABDΔ,RtCE、,则DE、CE分别为RtE证明:
取AB的中点,连结DE
。
∠DCE上的中线,故DE=CE=AB,因此∠CDE=斜边AB
,∵AB//DC∠2,1∴∠CDE=∠,∠DCE=,1=∴∠∠2BCE和Δ在ADEΔ中,11
AE=BE,∠2,∵DE=CE,∠1=AC=BD。
,从而梯形ABCD是等腰梯形,因此ADE≌ΔBCE,∴AD=BC∴Δ、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线(四)AC交BD平分∠ABC.如图7,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,例6。
E。
求证:
BD=2CE垂直于BD,交BD的延长线于点于点D,CE中,ΔBECF,在ΔBEF和证明:
延长BA,CE交于点
BEF=∠BEC=90°,2,BE=BE,∠∠∵∠1=。
,从而BEC,∴EF=ECCF=2CE∴ΔBEF≌Δ。
∠F=90°,故∠1=∠3又∠1+∠F=∠3+CAF=∠AB=AC,∠BAD=ΔACF中,∵∠1=∠3,在ΔABD和90°,,∴BD=2CE。
ABD≌ΔACF,∴BD=CF∴ΔCF的中线。
是等腰注:
此例中BEΔBCF的底边(五)中线延长口诀:
三角形中有中线,延长中线等中线。
便可再将端点连结,常延长加倍此线段,题目中如果出现了三角形的中线,得到全等三角形。
AD=2AE。
∠BCA,求证:
为1如图,AB=CD,EBC的中点,∠BAC=
A
D
C
E
B
。
AM⊥DC∠为AD=AE,MBE中点,∠BAC=DAE=90°。
求证:
,如图,3AB=ACA
D
M
CBED
12
DD
D
BF=AC
AE=EF,求证:
5.已知:
如图AD为△ABC的中线,A
E
F
B
C
D
五全等三角形辅助线
(一)、倍长中线(线段)造全等____AD的取值范围是中,AB=5,AC=3,则中线1:
(“希望杯”试题)已知,如图△ABC_____.
A
CDBB是中点,试比较DF,DAC分别在AB、上,DE⊥FABC2:
如图,△中,E、.
的大小与EFE+CFA
E
FBCD
BAE.
AD平分∠DCBD=DC=AC中,,E是的中点,求证:
ABC3:
如图,△ACEDB
中考应用13
AC、ABACE?
ABC?
,Rt例题:
以为腰分别向外作等腰Rt的两边和等腰ABD?
?
?
90BAD?
?
CAE?
DEDEAM、NBC、DE,M的位连接的中点.探究:
分别是与置关系及数量关系.ABC?
DEAM为直角三角形时,1)如图①当的位置关系是与(
,
DEAM;的数量关系是线段与
?
?
?
ABD?
后,绕点A沿逆时针方向旋转2()将图①中的等腰Rt<90)(0<)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.1如图②所示,(
(二)、截长补短BACABC?
?
AC⊥AD=BD,求证:
中,AB=2AC,AD平分如图,1.CD,且A
CB
D
E,求证;AB=,CAB,∠DBACD过点AC+分别平分∠,∥:
如图,2ACBDEA,EBDA
BD
E
BC14
0040C?
?
60?
?
BACABCCA,Q分别在3:
如图,已知在BC内,P,,,
AABC?
BAC?
BQ+AQ分别是,的角平分线。
求证:
上,并且AP,BQ=AB+BP
BQPABC?
求平分BD,中,如图,在四边形ABCDBC>BA,AD=CD,4:
AC
D0180?
?
A?
?
C证:
CB
5
(三)、借助角平分线造全等OE,求证:
OABC中,∠B=60°,△的角平分线AD,CE相交于点ABC1:
如图,已知在△=OD
A
EO
BC15
D.
,,DG⊥BC且平分BC平分∠2:
(06郑州市中考题)如图,△ABC中,ADBACab,AB=AC=,AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果⊥DE⊥AB于E,DF.
的长AE、BE求A
EGCBFD
OPMONOP所在直线为的平分线,请你利用该图形画一对以3.如图①,是∠对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
BACADABCACBBCE、中,∠、是直角,∠)如图②,在△=60°,分别是∠(1FDFECEFBCAAD相交于点。
、请你判断并写出∠之间的数量关系;的平分线,与ACBABC中的其它条件不变,(中,如果∠
(1)2)如图③,在△不是直角,而B中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明请问,你在
(1)BM
理由。
E
E
D
F
F
DPO
C
A
A
N
C
图①图③图②)
23(第题图(四)、旋转.
EAF的度数CDF为上的一点,BE+DF=EF,求∠BCABCD1:
正方形中,E为上的一点,AD
F
CBEABC?
Rt。
于点分别交⊥为等腰:
2D的中点,斜边ABDMDN,DM,DNBC,CAE,F16
MDN?
转动时,求证DE=DF1)当。
绕点D(B
(2)的面积。
若AB=2,求四边形DECFAECMAF
NBDCABC?
?
是等腰三角形,且是边长为如图,3的等边三角形,3.0060120?
?
BDC于AC角,使其两边分别交AB于点M,以D为顶点做一个,交AMN?
;,则的周长为点N,连接MN
A
NBD
BCBC?
CDAB?
ABCD120∠ABC?
AD?
AB,,4.已知四边形中,,,
DC,MBNAD∠60?
∠MBNB(或它们的延长点旋转,它的两边分别交,绕
F,E线)于.CFAE?
∠MBNEFCF?
AE?
B绕)点旋转到,易证.当时(如图1CF?
∠MBNAEB这两种情况下,上述结3当时,在图2绕点旋转到和图CFAE,EF又有怎样的,论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.AAA
MEEMBBB
FCDDDCCFFNNNE
M17)2(图)1(图)3(图
2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使:
PA=P、D两点落在直线5.已知AB.
的两侧;
(1)如图,当∠PD的长求AB及APB=45°时,.及相应∠APB的大小求,且其它条件不变时,PD的最大值,
(2)当∠APB变化
ABC?
ABC外、N为,6.在等边D的两边AB、AC所在直线上分别有两点M
?
?
120BDC?
MDN?
?
60?
AC、,BD=DC.探究:
当M一点,且、N分别在直线,ABABCAMN?
?
L的周长Q与等边NC上移动时,BM、、MN之间的数量关系及的周长的关系.
3
图1图2图之间的数MNNC、上,且DM=DN时,BM、N(I)如图1,当点M、边AB、ACQ?
;此时;量关系是
L
?
)问的两个IDN上,且当AB、ACDM时,猜想(边,点(II)如图2M、N结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;的延长线上时,、CAABM)如图3,当、N分别在边III(xx.LQ=AN=若,则(用、表示)
18
梯形中的辅助线1、平移一腰:
=AB=,AD15,ABCD中,∠A=90°,AB∥DC例1.如图所示,在直角梯形.
的长=17.求CD16,BCCDE.AB于点D解:
过点作DE∥BC交.
BCDE是平行四边形又AB∥CD,所以四边形ABCBE.=17,CD所以DE=BC=Dt中,由勾股定理,得△在RDAE22222264.17==DE--AD,即AE15AE=ABE8.
AE=所以8.-AE=168=-所以BE=AB8.
即CD=的取BC,腰AD=4,求另一腰AB=32例如图,梯形ABCD的上底,下底CD=8值范围。
MCDBM//ADB解:
过点作交于点,19
BM=AD=4,在△BCM中,3=5,DM=CD-AB=8-CM=CD-BC的取值范围是:
所以1 4 2FE、,BC=3,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1例3如图,在梯形ABCD中,EF的长。 的中点,连接EF,求分别是AD、BC ,可得G、HAB、CD的平行线,交BC于点解: 过点E分别作°B+∠C=90∠EGH+∠EHG=∠是直角三角形则△EGH的中点是GHAD、BC的中点,容易证得FE因为、F分别是11)CHBG? ? (EF? BC? GH所以 2211)]? ? DE? (AEBC? AE? DE)? [BC( 22111? ? 1))BC? AD? (3? ( 22 、平移对角线: 3AB,求梯形,AC=4AD=1,BC=4,BD=34例、已知: 梯形ABCD中,AD//BC,的面积.CDE点.AC,交BC的延长线于解: 如图,作DE∥是平行四边形BC∥∴四边形ACED∵ADD A DE=AC=4BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,∴BE=5,DBE中,BD=3,DE=4∵在△∴∠BDE=90°.H
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