43平方差公式 省优 一等奖教案.docx
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43平方差公式省优一等奖教案
4.3 公式法
第1课时 平方差公式
1.理解平方差公式,弄清平方差公式的形式和特点;(重点)
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法,能正确运用平方差公式把多项式分解因式.(难点)
一、情境导入
1.同学们,你能很快知道992-1是100的倍数吗?
你是怎么想出来的?
请与大家交流.
2.你能将a2-b2分解因式吗?
你是如何思考的?
二、合作探究
探究点一:
用平方差公式因式分解
【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+(-b)2B.5m2-20mn
C.-x2-y2D.-x2+9
解析:
A中a2+(-b)2符号相同,不能用平方差公式分解因式,错误;B中5m2-20mn两项都不是平方项,不能用平方差公式分解因式,错误;C中-x2-y2符号相同,不能用平方差公式分解因式,错误;D中-x2+9=-x2+32,两项符号相反,能用平方差公式分解因式,正确.故选D.
方法总结:
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反.
【类型二】利用平方差公式分解因式
分解因式:
(1)a4-
b4;
(2)x3y2-xy4.
解析:
(1)a4-
b4可以写成(a2)2-(
b2)2的形式,这样可以用平方差公式进行分解因式,而其中有一个因式a2-
b2仍可以继续用平方差公式分解因式;
(2)x3y2-xy4有公因式xy2,应先提公因式再进一步分解因式.
解:
(1)原式=(a2+
b2)(a2-
b2)=(a2+
b2)(a-
b)(a+
b);
(2)原式=xy2(x2-y2)=xy2(x+y)(x-y).
方法总结:
分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式,再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
【类型三】利用因式分解整体代换求值
已知x2-y2=-1,x+y=
,求x-y的值.
解析:
已知第一个等式左边利用平方差公式化简,将x+y的值代入计算即可求出x-y的值.
解:
∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-1,x+y=
,∴x-y=-2.
方法总结:
有时给出的条件不是字母的具体值,就需要先进行化简,求出字母的值,但有时很难或者根本就求不出字母的值,根据题目特点,将一个代数式的值整体代入可使运算简便.
探究点二:
用平方差公式因式分解的应用
【类型一】利用因式分解解决整除问题
248-1可以被60和70之间某两个自然数整除,求这两个数.
解析:
先利用平方差公式分解因式,再找出范围内的解即可.
解:
248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26=64,∴26-1=63,26+1=65,∴这两个数是65和63.
方法总结:
解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析被哪些数或式子整除.
【类型二】利用平方差公式进行简便运算
利用因式分解计算:
(1)1012-992;
(2)5722×
-4282×
.
解析:
(1)根据平方差公式进行计算即可;
(2)先提取公因式,再根据平方差公式进行计算即可.
解:
(1)1012-992=(101+99)(101-99)=400;
(2)5722×
-4282×
=(5722-4282)×
=(572+428)(572-428)×
=1000×144×
=36000.
方法总结:
一些比较复杂的计算,如果通过变形转化为平方差公式的形式,则可以使运算简便.
【类型三】因式分解的实际应用
如图,100个正方形由小到大套在一起,从外向里相间画上阴影,最里面一个小正方形没有画阴影,最外面一层画阴影,最外面的正方形的边长为100cm,向里依次为99cm,98cm,…,1cm,那么在这个图形中,所有画阴影部分的面积和是多少?
解析:
相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积,而正方形的面积是边长的平方,所以能用平方差公式进行因式分解.
解:
每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差,而正方形的面积是其边长的平方,这样就可以逆用平方差公式计算了.则S阴影=(1002-992)+(982-972)+…+(32-22)+1=100+99+98+97+…+2+1=5050(cm2).
答:
所有阴影部分的面积和是5050cm2.
方法总结:
首先应找出图形中哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题.
三、板书设计
1.平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);
2.平方差公式的特点:
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反.
运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:
一是每个因式要化简,二是分解因式时,每个因式都要分解彻底.
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1.理解并掌握平移的定义及性质;(重点)
2.能够根据平移的性质进行简单的平移作图.
一、情境导入
观察下列图片,你能发现图中描绘的运动的共同点吗?
二、合作探究
探究点一:
平移的定义
下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,故选C.
方法总结:
本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
探究点二:
平移的性质
【类型一】利用平移的性质进行计算
如图,将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3
,△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1等于( )
A.1B.
C.
D.2
解析:
设B1C=2x,根据等腰直角三角形和平移的性质可知,重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x,∴
×x×2x=2,解得x=2(舍去负值),∴B1C=2
,∴BB1=BC-B1C=
.故选B.
方法总结:
本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质.关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程,求重叠部分的长.
【类型二】平移性质的综合应用
如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离,就得到此图形,下列结论正确的有( )
①AC∥DF;②HE=5;③CF=5;④阴影部分面积为
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等,对应角相等,对应线段平行且相等,阴影部分和三角形面积之间的关系,结合图形与所给的结论即可得出答案.①对应线段平行可得AC∥DF,正确;②对应线段相等可得AB=DE=8,则HE=DE-DH=8-3=5,正确;③平移的距离CF=BE=5,正确;④S四边形HDFC=S梯形ABEH=
(AB+EH)·BE=
×(8+5)×5=
,错误.故选C.
方法总结:
本题考查平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.本题关键要找到平移的对应点.
探究点三:
简单的平移作图
将如图方格中的图形向右平移4格,再向上平移2格,在方格中画出平移后的图形.
解析:
按照题目要求:
向右平移4格,再向上平移2格,先作各个关键点的对应点,再连接即可.
解:
方法总结:
作平移图形时,找关键点的对应点是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
三、板书设计
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,学生经历将实际问题抽象成图形问题,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.
第2课时 一元一次不等式的应用
1.会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解;
2.能够列一元一次不等式解决实际问题.(重点,难点)
一、情境导入
如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品,应该去哪家商店更优惠?
二、合作探究
探究点:
一元一次不等式的应用
【类型一】商品销售问题
某商品的进价是120元,标价为180元,但销量较小.为了促销,商场决定打折销售,为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品?
解析:
由题意可知,利润率为20%时,获得的利润为120×20%=24元;若打x折该商品获得的利润=该商品的标价×
-进价,即该商品获得的利润=180×
-120,列出不等式,解得x的值即可.
解:
设可以打x折出售此商品,由题意得:
180×
-120≥120×20%,
解得x≥8.
答:
最多可以打8折出售此商品.
方法总结:
商品销售问题的基本关系是:
售价-进价=利润.读懂题意列出不等式求解是解题关键.
【类型二】竞赛积分问题
某次知识竞赛共有25道题,答对一道得4分,答错或不答都扣2分.小明得分要超过80分,他至少要答对多少道题?
解析:
设小明答对x道题,则答错或不答的题目为(25-x)道,根据得分要超过80分,列出不等关系求解即可.
解:
设小明答对x道题,则他答错或不答的题目为(25-x)道.根据他的得分要超过80分,得:
4x-2(25-x)>80,
解得x>21
.
因为x应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.
答:
小明至少要答对22道题.
方法总结:
竞赛积分问题的基本关系是:
得分-扣分=最后得分.本题涉及到不等式的整数解,取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等.
【类型三】安全问题
采石场爆破时,点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域.导火线燃烧速度是每秒1厘米,工人转移的速度是每秒5米,导火线至少要多少米?
解析:
根据时间列不等式,导火线燃烧时间>工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间.
解:
设导火线的长度需要x米,1厘米/秒=0.01米/秒,由题意得
>
,解得x>0.8.
答:
导火线至少要0.8米.
【类型四】分段计费问题
小明家每月水费都不少于15元,自来水公司的收费标准如下:
若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1.8元;若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收费2元,小明家每月用水量至少是多少?
解析:
当每月用水5立方米时,花费5×1.8=9元,则可知小明家每月用水超过5立方米.设每月用水x立方米,则超出(x-5)立方米,根据题意超出部分每立方米收费2元,列一元一次不等式求解即可.
解:
设小明家每月用水x立方米.
∵5×1.8=9<15,
∴小明家每月用水超过5立方米.
则超出(x-5)立方米,按每立方米2元收费,
列出不等式为5×1.8+(x-5)×2≥15,
解不等式得x≥8.
答:
小明家每月用水量至少是8立方米.
方法总结:
分段计费问题中的费用一般包括两个部分:
基本部分的费用和超出部分的费用.根据费用之间的关系建立不等式求解即可.
【类型五】调配问题
有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排多少人种甲种蔬菜?
解析:
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.甲种蔬菜有3x亩,乙种蔬菜有2(10-x)亩.再列出不等式求解即可.
解:
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.
根据题意得0.5×3x+0.8×2(10-x)≥15.6,
解得x≤4.
答:
最多只能安排4人种甲种蔬菜.
方法总结:
调配问题中,各项工作的人数之和等于总人数.
【类型六】方案决策问题
为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
1
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案.
解析:
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台,列出不等式求解即可,x的值取整数;
(2)如图表列出不等式求解,再根据x的值选出最佳方案.
解:
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台.
12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5,∵x取非负整数,∴x可取0,1,2,
有三种购买方案:
购A型0台,B型10台;A型1台,B型9台;A型2台,B型8台;
(2)240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1,
∴x为1或2.
当x=1时,购买资金为12×1+10×9=102(万元);
当x=2时,购买资金为12×2+10×8=104(万元).
答:
为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.
方法总结:
此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来,属于最优化问题,在确定最优方案时,应把几种情况进行比较.
三、板书设计
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
―→
―→
本节课通过实例引入,激发学生的学习兴趣,让学生积极参与,讲练结合,引导学生找不等关系列不等式.在教学过程中,可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习,让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1.理解并掌握平移的定义及性质;(重点)
2.能够根据平移的性质进行简单的平移作图.
一、情境导入
观察下列图片,你能发现图中描绘的运动的共同点吗?
二、合作探究
探究点一:
平移的定义
下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,故选C.
方法总结:
本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
探究点二:
平移的性质
【类型一】利用平移的性质进行计算
如图,将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3
,△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1等于( )
A.1B.
C.
D.2
解析:
设B1C=2x,根据等腰直角三角形和平移的性质可知,重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x,∴
×x×2x=2,解得x=2(舍去负值),∴B1C=2
,∴BB1=BC-B1C=
.故选B.
方法总结:
本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质.关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程,求重叠部分的长.
【类型二】平移性质的综合应用
如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离,就得到此图形,下列结论正确的有( )
①AC∥DF;②HE=5;③CF=5;④阴影部分面积为
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等,对应角相等,对应线段平行且相等,阴影部分和三角形面积之间的关系,结合图形与所给的结论即可得出答案.①对应线段平行可得AC∥DF,正确;②对应线段相等可得AB=DE=8,则HE=DE-DH=8-3=5,正确;③平移的距离CF=BE=5,正确;④S四边形HDFC=S梯形ABEH=
(AB+EH)·BE=
×(8+5)×5=
,错误.故选C.
方法总结:
本题考查平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.本题关键要找到平移的对应点.
探究点三:
简单的平移作图
将如图方格中的图形向右平移4格,再向上平移2格,在方格中画出平移后的图形.
解析:
按照题目要求:
向右平移4格,再向上平移2格,先作各个关键点的对应点,再连接即可.
解:
方法总结:
作平移图形时,找关键点的对应点是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
三、板书设计
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,学生经历将实际问题抽象成图形问题,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.
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