线段和最小及差最大问题.docx
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线段和最小及差最大问题
1当两点A和B在直线I同侧时,若求直线I上点P.使PA+PB最小值作点B关于直线I的对称点B',连结AB'交直线I于点P,此时
PA+PB=PA+PB=AB
取除此之外的任意一点P',根据三角形两边之和大于第三边,
P'A+PB=PA+PB'>AB,所以点P满足PA+PB最小值
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2当两点A和B在直线I异侧时,作直线AB与直线I的交点为点P
3当两点A和B在直线I同侧时,作直线AB与直线I的交点为点M
此时|AM-BM|是最大值
取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边,|NA-NB| 4当两点A和B在直线I异侧时,作点B关于直线I的对称点B',连结AB交直线I于点M,此时,|AM-BM|是最大值 送你几道题 (2012福建莆田4分)点A、E均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平 面直角坐标系如图所示•若P是x轴上使得PAPB的值最大的点,Q是y轴上使得 QA十QB的值最小的点,则OPOQ=▲ 【答案】5。 【考点】轴对称(最短路线问题),坐标与图形性质,三角形三边关系,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】连接AB并延长交x轴于点P,作A点关于y轴的对称点A'连接A'B交y轴于点 Q求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论: 连接AB并延长交x轴于点P, 由三角形的三边关系可知,点P即为x轴上使得|PA—PB|的值最大的点。 •••点B是正方形ADPC勺中点, •••P(3,0)即OP=3 值。 •••A'(-1,2),B(2,1), 设过A'B的直线为: y=kx+b, ,k 1 则 2 kb— ,解得 3 O' 5 •Q(0, 5 ),即OQ#o 1 2kb 5 3 3 b 3 •OP? OQ丸5=5。 3 (2012四川攀枝花4分)如图,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC 上一动点,则PE+PB的最小值为▲. D c / J A 【答案】25。 【分析】连接DE,交BD于点P,连接BD •••点B与点D关于AC对称,•DE的长即为PE+PB的最小值。 •/AB=4E是BC的中点,•••CE=2 在Rt△CDE中,DE=CD2+CE242+2225。 例5.(2012广西贵港2分)如图,MN为OO的直径,AB是0上的两点,过A作ACLMN 于点C, 过B作BDLMN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,贝UPA+PB的最 小值是 【答案】142。 【考点】轴对称(最短路线问题),勾股定理,垂径定理。 【分析】•/MN=20,「.OO的半径=10。 连接OA0B 在Rt△OBD中,0B=10,BD=6, •0D=OB—BD=102—62=8。 同理,在Rt△AOC中,0A=10,AC=8, •0C=OA—AC=102—82=6。 •CD=8+6=14。 作点B关于MN的对称点B',连接AB,贝UAB即为PA+PB的最小值,B'D= BD=6,过点B' 作AC的垂线,交AC的延长线于点E。 在Rt△AB'E中,TAE=AC+CE=8+6=14,B'E=CD=14, •AB=AE2+B'E2=142+142=142。 例6.(2012湖北十堰6分)阅读材料: 例: 说明代数式x21.(x3)2+4的几何意义,并求它的最小值. 解: x21.厂3厂4.厂0厂12_厂3厂22,如图,建立平面直角坐标系, 点P(x,0)是x轴上一点,贝V「~0^~12可以看成点P与点A(0,1)的距离,/(x~3厂22可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和, 它的最小值就是PA+PB的最小值. 设点A关于x轴的对称点为A',则PA=PA,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA+PB的最小值,而点A'、B间的直线段距离最短,所以PA+PB的最小值为线段A'B的长度.为此,构造直角三角形ACB因为AC=3CB=3所以AB=3©,即原式的最小值为3.2。 根据以上阅读材料,解答下列问题: (1)代数式、.(x1)21(x2)29的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点 A(1,1)、点B的距离之和.(填写点B的坐标) (2)代数式、/49x212x37的最小值为. 【答案】解: (1)(2,3)。 (2)10。 【考点】坐标与图形性质,轴对称(最短路线问题) 【分析】 (1)•• •原式化为(x1)212(x 22 2)232的形式, 9的值可以看成平面直角坐标系中点P(x, •代数式(x1)21 (x2)2 0)与点A (1,1)、点B (2,3、的距离之和。 (2) •••原式化为(x0)2 72(x 22 6)1的形式, •-ABAC2BC26282=10。 例7.(2012四川凉山8分)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题。 如图 (1),要在燃气管道I上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气•泵站修在管 道的什么地方,可使所用的输气管线最短 你可以在I上找几个点试一试,能发现什么规律你可以在|上找几个点试一试,能 发现什么规律 聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道I看成一条直线 (图 (2)),问题就转化为,要在直线I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这 样的: 1作点B关于直线I的对称点B'. 2连接AB交直线I于点P,则点P为所求. BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点巳使厶PDE得周长最小. (1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法) (2)请直接写出△PDE周长的最小值: 【答案】解: (1)作D点关于BC的对称点D',连接DE,与BC交于点P,P点即为所求。 (2)8. 【考点】轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形中位线定理,勾股定理。 【分析】 (1)根据提供材料DE不变,只要求出DP+PE的最小值即可,作D点关于BC的对称点D',连接D'E,与BC交于点P,P点即为所求。 (2)利用中位线性质以及勾股定理得出D'E的值,即可得出答案: •••点DE分别是ABAC边的中点,•••DEABC中位线。 •/BC=6BC边上的高为4,二DE=3DD=4。 •-DEDE2DD232425。 •△PDE周长的最小值为: DE+DE=3+5=8。 练习题: 1.(2011黑龙江大庆3分)如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点,则 △ABP的周长的 最小值为▲. ・■厂 1aa£ 1|| 1hii 旧; 匕2卫 J丄*LEx III" i-4-b- 111 1*11—°1*一L—| 2.(2011辽宁营口3分)如图,在平面直角坐标系中,有A(1,2),B(3,3)两点,现另 取一点C(a,1),当a=▲时,AC+BC的值最小. 3 A ■ 2 • 1 0 1 234' 3.(2011山东济宁8分)去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗 旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水。 经实地勘查后, 工程人员设计图纸时,以河道上的大桥0为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐 标系(如图)。 两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7)。 (1)若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥0多远的地方可使所用输水管道最短 (2)水泵站建在距离大桥0多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等 4.(2011辽宁本溪3分)如图,正方形ABCD的边长是4,/DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,贝UDQ+PQ勺最小值【】 A、2B、4C、2/2D、4「2 5.(2011辽宁阜新3分)如图,在矩形ABCC中,AB=6,BC=8,点E是BC中点,点F是 边CD上的 任意一点,当△AEF的周长最小时,则DF的长为【】 6.(2011贵州六盘水3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8点E、F分别是边 ABBC的 中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是【】 AB=6,对角线AC PE+PB的最小值是 A.3B.4C.5D.6 7.(2011甘肃天水4分)如图,在梯形ABCD中,AB//CD/BAD=90, 平分/BAD点E在AB上,且AE=2(AEvAD),点P是AC上的动点,则 AEB
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