高中双曲线解题方法.docx
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高中双曲线解题方法
高中双曲线解题方法
【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一,也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容,因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类:
椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰,解题方法的规律性比较强,但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒等变形能力,数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1.一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何问题一般涉及的变量多,计算量大,解决问题的思路分析出来以后,往往因为运算不过关导致半途而废,因此要寻求合理的运算方案,探究简化运算的基本途径与方法,并在克服困难的过程中,增强解决复杂问题的信心,提高运算能力.
3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:
一是根据已知条件求曲线方程,其中待定系数法是重要方法,二是通过方程研究圆锥曲线的性质,往往通过数形结合来体现,应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程
第1课 椭圆A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
【基础练习】
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是
2.椭圆的离心率为
3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是
4.已知椭圆的离心率,则的值为
【范例导析】
例1.
(1)求经过点,且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,点P(3,0)在该椭圆上,求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:
①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上;②定量,即根据条件列出基本量a、b、c的方程组,解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解:
(1)∵椭圆焦点在轴上,故设椭圆的标准方程为(),
由椭圆的定义知,
,
∴,又∵,∴,
所以,椭圆的标准方程为。
(2)方法一:
①若焦点在x轴上,设方程为,
∵点P(3,0)在该椭圆上∴即又,∴∴椭圆的方程为.
②若焦点在y轴上,设方程为,
∵点P(3,0)在该椭圆上∴即又,∴∴椭圆的方程为
方法二:
设椭圆方程为.∵点P(3,0)在该椭圆上∴9A=1,即,又∴,∴椭圆的方程为或.
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在x轴上,设方程为,若焦点在y轴上,设方程为,有时为了运算方便,也可设为,其中
.
例2.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,。
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要注意椭圆上点坐标的范围.
解:
(1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)
设点P(,),则=(+6, ),=(-4, ),由已知可得
则2+9-18=0, =或=-6.
由于>0,只能=,于是=.∴点P的坐标是(,)
(2)直线AP的方程是- +6=0.设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又-6≤≤6,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于-6≤≤6,∴当=时,d取得最小值
点拨:
本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题,通常转化为二次函数值域问题.
【反馈练习】
1.如果表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(0,1)
2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是
3.椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的7倍
4.若椭圆的离心率,则的值为
5..椭圆的右焦点到直线的距离为
6.与椭圆具有相同的离心率且过点(2,-)的椭圆的标准方程是或
7.椭圆上的点到直线的最大距离是
8.已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
分析:
讨论椭圆方程的类型,根据题设求出和(或和)的值.从而求得椭圆方程.
解:
设两焦点为、,且,.
从椭圆定义知.即.
从知垂直焦点所在的对称轴,所以在中,,
可求出,,从而.
∴所求椭圆方程为或.
第2课 椭圆B
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;
2. 能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
1.曲线与曲线的(D)
A 焦点相同 B离心率相等 C准线相同 D 焦距相等
2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别是
3 离心率,一条准线为的椭圆的标准方程是
【范例导析】
例1.椭圆(a>b>0)的二个焦点F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上一点,且。
求离心率e的取值范围.
分析:
离心率与椭圆的基本量a、b、c有关,所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标,再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式,从而确定离心率的范围.
解:
设点M的坐标为(x,y),则,。
由,得x2-c2+y2=0,即x2-c2=-y2。
①
又由点M在椭圆上,得y2=b2,代入①,得x2-c2,即。
∵0≤≤,∴0≤ ≤,即0≤≤1,0≤≤1,解得≤≤1。
又∵0<<1,∵≤≤1.
例2.如图,已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:
|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程;
(2)求弦AC中点的横坐标.
分析:
第一问直接可有第一定义得出基本量a,从而写出方程;第二问涉及到焦半径问题,可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式,结合等差数列的定义解决.
解:
(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为,根据椭圆定义,有|F2A|=(-x1),|F2C|=(-x2),
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得(-x1)+(-x2)=2×,由此得出:
x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.
【反馈练习】
1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为
2.已知F1、F2为椭圆的两个焦点,过F1作倾斜角为的弦AB,则△F2AB的面积为
3.已知正方形,则以为焦点,且过两点的椭圆的离心率为
4.椭圆上的点P到它的左准线的距离是10,那么点P到它的右焦点的距离是 12
5.椭圆上不同三点,,与焦点的距离成等差数列.
求证:
;
证明:
由椭圆方程知,,.
由圆锥曲线的统一定义知:
,∴ .
同理 .
∵ ,且,
∴ ,即 .
第3课 双曲线
【考点导读】
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质
2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
【基础练习】
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则
2.方程表示双曲线,则的范围是
3.已知中心在原点,焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为,则此双曲线的离心率为
4.已知焦点,双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于,则双曲线的标准方程为
【范例导析】
例1.
(1)已知双曲线的焦点在轴上,并且双曲线上两点坐标分别为,求双曲线的标准方程;
(2)求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率.
分析:
由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是:
①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上;②定量,即根据条件列出基本量a、b、c的方程组,解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解:
(1)因为双曲线的焦点在轴上,所以设所求双曲线的标准方程为①;
∵点在双曲线上,∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中,得方程组:
将和看着整体,解得,
∴即双曲线的标准方程为。
点评:
本题只要解得即可得到双曲线的方程,没有必要求出的值;在求解的过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。
(2)解法一:
双曲线的渐近线方程为:
当焦点在x轴时,设所求双曲线方程为
∵,∴ ①
∵在双曲线上
∴ ②
由①-②,得方程组无解
当焦点在y轴时,设双曲线方程为
∵,∴ ③
∵在双曲线上,∴ ④
由③④得,
∴所求双曲线方程为:
且离心率
解法二:
设与双曲线共渐近线的双曲线方程为:
∵点在双曲线上,∴
∴所求双曲线方程为:
,即.
点评:
一般地,在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数.
例2.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:
正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:
相关各点均在同一平面上)
解:
如图:
以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)
设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得a=680,c=1020,
用y=-x代入上式,得,∵|PB|>|PA|,
答:
巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
例3.双曲线的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
解:
直线的方程为,即
由点到直线的距离公式,且,得到点(1,0)到直线的距离,
同理得到点(-1,0)到直线的距离
由 即
于是得
解不等式,得 由于所以的取值范围是
点拨:
本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.
【反馈练习】
1.双曲线的渐近线方程为
2.已知双曲线的离心率为,焦点是,,则双曲线方程为
3.已知双曲线的两个焦点为,,P是此双曲线上的一点,且,,则该双曲线的方程是
4.设P是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,、分别是双曲线左右焦点,若=3,则=7
5.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程
6.
(1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程.
(2)求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为12的双曲线的标准方程.
解:
(1)设所求双曲线方程为:
,则,
∴,∴,∴所求双曲线方程为
(2)∵,∴或,∴渐近线方程为
当焦点在轴上时,由且,得.
∴所求双曲线方程为
当焦点在轴上时,由,且,得.
∴所求双曲线方程为
7.设双曲线 的半焦距为,直线过、两点,且原点到直线的距离为,求双曲线的离心率.
分析:
由两点式得直线的方程,再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式,从而解出的值.
解:
由过两点,,得的方程为.
由点到的距离为,得.
将代入,平方后整理,得.
令,则.解得或.
而,有.故或.
因,故,
所以应舍去.故所求离心率.
说明:
此题易得出错误答案:
或.其原因是未注意到题设条件,从而离心率.而,故应舍去.
8.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.
(1)求双曲线方程;
(2)若点在双曲线上,求证:
;
(3)对于
(2)中的点,求的面积.
解:
(1)由题意,可设双曲线方程为,又双曲线过点,解得
∴双曲线方程为;
(2)由
(1)可知,,, ∴ ,
∴ ,,∴ ,
又点在双曲线上,∴ ,
∴ ,即;
(3) ∴的面积为6.
第4课 抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
【基础练习】
1.焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为
3.抛物线的焦点坐标是__(a,0)_
4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是
5.点是抛物线上一动点,则点到点的距离与到直线的距离和的最小值
【范例导析】
例1.给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.
解:
设P(x0,y0)(x0≥0),则y02=2x0,
∴d=|PA|=
==.
∵a>0,x0≥0,
∴
(1)当0<a<1时,1-a>0,
此时有x0=0时,dmin==a.
(2)当a≥1时,1-a≤0,
此时有x0=a-1时,dmin=.
例2.如图所示,直线和相交于点M,⊥,点,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形,,,且,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
分析:
因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程.
解:
以为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系.
由题意,曲线段C是N为焦点,以为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段的两端点.
∴设曲线段C满足的抛物线方程为:
其中、为A、B的横坐标
令则,
∴由两点间的距离公式,得方程组:
解得或
∵△AMN为锐角三角形,∴,则,
又B在曲线段C上,
则曲线段C的方程为
【反馈练习】
1.抛物线的准线方程是
2.抛物线的焦点到其准线的距离是
3.设O为坐标原点,F为抛物线的焦点,A为抛物线上的一点,若,则点A的坐标为
4.抛物线上的点到直线距离的最小值是
5.若直线l过抛物线(a>0)的焦点,并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a=
6.某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.
解:
以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系,
如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B坐标分别为(-10,-4)、(10,-4)
设抛物线方程为x2=-2py,将A点坐标代入,得100=-2p×(-4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x2=-25y.
由题意知E点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为2,将2代入得y=-0.16,从而|EE′|=
(-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
7.已知抛物线的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴,且过点P(2,2),过F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线l是抛物线的准线,求证:
以AB为直径的圆与直线l相切.
分析:
可设抛物线方程为.用待定系数法求得方程,对于第二问的证明只须证明,则以AB为直径的圆,必与抛物线准线相切.
解:
(1)设抛物线的方程,将(2,2)代入得∴所求抛物线方程为
(2)证明:
作于于.M为AB中点,作于,则由抛物线的定义可知:
在直角梯形中:
,故以AB为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
点拨:
类似有:
以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.
第5课 圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
1. 了解圆锥曲线的第二定义.
2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
1.抛物线的焦点的坐标是,准线方程是
2..如果双曲线的两个焦点分别为、,一条渐近线方程为,那么它的两条准线间的距离是2
3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的,则=
4.点M与点F的距离比它到直线:
的距离小1,则点的轨迹方程是
【范例导析】
例1.已知双曲线的渐近线方程为,两条准线间的距离为,求双曲线标准方程.
分析:
(可根据双曲线方程与渐近线方程的关系,设出双曲线方程,进而求出双曲线标准方程.
解:
∵双曲线渐近线方程为,∴设双曲线方程为
①若,则,
∴准线方程为:
,∴,∴
②若,则,
∴准线方程为:
,∴,∴
∴所求双曲线方程为:
或
点拨:
求圆锥曲线方程时,一般先由条件设出所求方程,然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.
例2.已知点,,在双曲线上求一点,使的值最小.
解:
∵,,∴,∴
设点到与焦点相应准线的距离为则
∴,∴
至此,将问题转化成在双曲线上求一点,
使到定点的距离与到准线距离和最小.
即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时,
解之得,点.
点拨:
灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中,将会带给我们意想不到的方便和简单.教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力.
【反馈练习】
1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的,则
2.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为
3.已知双曲线的一条准线为,则该双曲线的离心率为
4 双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P点到左准线的距离为 8
第6课 圆锥曲线综合
【考点导读】
1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.
2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.
3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.
【基础练习】
1.给出下列四个结论:
①当a为任意实数时,直线恒过定点P,则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是;
②已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为,则双曲线的标准方程是;
③抛物线;
④已知双曲线,其离心率,则m的取值范围是(-12,0)。
其中所有正确结论的个数是4
2.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为
3.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是
【范例导析】
例1.已知抛物线的焦点为F,A、B是热线上的两动点,且过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。
(I)证明为定值;
(II)设的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值。
解:
(1)F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为
由可得
因此
过A点的切线方程为
(1)
过B点的切线方程为
(2)
解
(1)
(2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值
(2)=0可得三角形面积
所以
当且仅当时取等号
点拨:
本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点
涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大
【反馈练习】
1.已知双曲线的中心在原点,离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是
2.设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上,且,则
3.设P是椭圆上一点,、 是椭圆的两个焦点,则的最小值是
4.已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为
5.双曲线C与椭圆的焦点相同,离心率互为倒数,则双曲线C的渐近线的方程是
6.已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,则点到椭圆右焦点的距离等于__2_
7.如图,点A是椭圆C:
的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线交椭圆于B点,点P在y轴上,且BP∥x轴,=9,若点P的坐标为(0,1),求椭圆C的方程.
8.在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点.椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.求圆的方程.
解:
设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则
=2
即=4 ①
又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(
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