第一章集合与函数.docx
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第一章集合与函数
第一章集合与函数
1.1.1集合的含义与表示
一、课时学习目标
1、知识与技能:
了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;知道常用数集及其专用记号;了解集合中元素的确定性、互异性、无序性;
2、过程与方法:
观察关于集合的几组实例,并通过自己举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义。
通过实例,初步体会元素与集合的"属于"关系,正确地理解集合。
通过集合学习,体会类比思想的运用。
3、情感:
态度与价值观。
在学习运用集合语言的过程中,增强学生认识事物的能力,初步培养学生实事求是,扎实严谨的科学态度。
二、课时预习导学请同学们阅读教材第2-5页有关内容,然后完成下列问题
1、结合在小学和初中所接触的一些集合,观察第2页例子1-8,尝试概括8个例子的共同特征:
一般地,我们把研究对象统称为________,把一些元素组成的总体叫______。
思考题:
"给定的集合,它的元素必须是确定的",你是如何理解的?
【例1】:
下列各组对象能构成一个集合吗?
请判断并说明理由。
1、中国古代的四大发明。
2、方程在实数范围内的解。
3、所有很大的实数。
4、好心的人。
5、2010年上海世博会中所有的参展项目。
【例2】判断下列说法是否正确,并说明理由。
1、这些数组成的集合有5个元素。
2、由a.b.c组成的集合与b.a.c组成的集合是同一个集合。
【自我感悟】
⑴、集合中的元素应具有:
_______,_______,________.
⑵、通常集合用_________表示。
集合中元素用________表示。
元素a与集合A的关系有________或________;用符号_______表示a属于集合A;用符号_______表示a不属于集合A;
做教材P5练习1
⑶、特定集合的表示:
数集名称
表示符号
包含元素
非负整数集(或自然数集)
正整数集整数集有理数集实数集2、我们可以用自然语言描述一个集合,除此之外,还可以用_______和_____表示集合。
表示方法定义表达形式
适用对象
表现重点
练习:
教材P5第2题
【梳理整合】
三、课内学习巩固:
1、判断下列语句是否正确
⑴、有1.2.2.4.2.1构成一个集合时,这个集合共有6个元素。
⑵、所有的等腰三角形构成一个集合。
⑶、世界著名的艺术家们构成一个集合。
⑷、倒数等于他自身的实数构成一个集合。
⑸、质数的全体构成一个集合。
2、下列关系正确的个数是
①、,②、,③、,④、,⑤、
A、1个B、2个C、3个D、4个
3、用另一种方法表示下列集合
⑴、{绝对值不大于2的整数}
⑵、{能被3整除且小于10的正数}⑶、⑷、
⑸、{-3.-1.1.3.5}
4、作业P11习题1-4
四、课后拓展延伸
1、由实数构成三元素集合,求实数X的值。
2.、下面三个集合:
A=
1.它们是不是相同的集合?
2.它们各自的含义是什么?
1.1.2集合的基本关系
一、课时学习目标
1、知识与技能:
⑴、理解集合之间包含与相等的含义。
⑵、能识别给定集合的子集。
⑶、能用Venn图表示集合之间的关系。
⑷、理解真子集,空集的概念。
2、过程与方法:
⑴、通过对照实数的相等与不相等的关系,类比出集合之间的包含和相等的关系。
⑵、体验集合语言使用,发展运用数学语言进行交流的能力。
3、情感态度与价值观:
⑴、了解集合的包含,相等关系的含义,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。
⑵、探索直观图示(Venn图)对理解抽象概念的作用。
⑶、通过某类事物已有的性质,类比、联想另一类相似事物的性质,培养我们的逻辑思维能力。
二、课时预习导学请同学们阅读教材6-7页内容,通过自主探索,合作交流完成以下问题:
1、实数之间存在着相等与不等,元素与集合之间存在属于与不属于的关系,请同学们观察教材第6页的例子1-3,自主探索两个集合之间有什么关系?
⑴、集合A为集合B的子集的定义是:
_________________________________________记作:
读作:
用Venn图表示为:
⑵、集合A与集合B相等的定义是:
______________________________________________记作:
⑶、真子集的定义是:
_________________________________________________________记作:
⑷、空集的定义是:
____________________________________________________________并规定:
空集是:
_______________________________________________________________
2、自主探究:
⑴、如何正确使用符号:
;练习:
P7练习1
⑵、任何一个集合是_________________的子集,即_______________________________
⑶、空集是________________________的子集,是______________________的真子集。
⑷、空集有无子集?
有无真子集?
若有,分别是什么?
⑸、对于集合A、B、C,如果且,那么__________________
⑹、认真分析解答例3,做P7的练习1,从中感悟,如何快速写出一个集合的所有子集,真子集,及非空真子集。
三、课内学习巩固:
1、练习:
教材P7练习3
2、下列命题:
⑴、空集没有子集;⑵、任何集合至少有两个子集;⑶、空集是任何集合的真子集;⑷、若,则;其中正确命题的个数有
A.0个B.1个C.2个D.3个
【梳理整合】
作业:
:
P125
四、课后拓展延伸:
已知:
A={}B={},且,求实数a的集合C。
1.1.3集合的基本运算(第一课时)
一、课时学习目标
1、知识与技能:
理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。
2、过程与方法:
体验通过实例分析和阅读自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自学.阅读能力和自主探究能力。
3、情感:
态度与价值观。
通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算,让学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题的意义,学习用数学的思维方式去认识世界,解决问题的能力,同时培养学生的语言转换能力。
二、课时预习导学:
请同学们阅读课本P8-10内容完成下类问题:
1、一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的_____,记作_____,读作_____即A∪B={x︱}
思考:
设,求
提示:
⑴、在求解并集时应注意什么?
同时思考以下关系:
⑵、生活用语中的"或""或此""或彼"只取其一,并不兼存,而并集中的"或"则是"或此""或彼""或彼此"可兼用""包含三种情形:
________________
2如何用Venn图表示集合A∪B。
3一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的______,记作_____,读作______,即A∩B={X|________}
思考1、:
设平面内直线1上点的集合为L1,直线2上的点的集合为L2,试用集合的运算表示1.2的位置关系;
提示:
A∩B实际上是由集合A与集合B的公共元素所组成的集合,并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而应该是A∩B=______
思考2:
设A={4.5.6.8.9},B={4.6.7.10},C={1.2.6}求A∩B,B∩C
并回答以下问题:
A∩B______B∩A,(A∩B)∩C____A∩(B∩C),
4如何用Vnne图表示集合A∩B。
三、课内学习巩固:
1、完成教材P8-9,例5、例6;
2、设集合A={-3,0,1},B={t2-t+1},若A∪B=A则t=____
3、设集合A={},B={},若A∩B={-3}求a的值。
四、课后拓展延伸
1、通过以上学习思考一下问题
⑴、A∩A=_____A∩=_______
⑵、若则A∪B=___ A∩B=___
2、习题1.1A组5-8,
B组1-33、已知
⑴、若A∩B=A∪B, 求a的值;⑵、若,求a的值
1.1.3集合的基本运算(第二课时)
一、课时学习目标
1、知识与技能:
理解在给定的集合中一个集合的补集的含义,会求给定集合的补集;
2、过程与方法:
能使用Venn表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用;
3、情感:
态度与价值观。
通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系及运算,让学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义,学习用数学的思维方式去认识世界,解决问题的能力,同时培养学生的语言转换能力。
二、课时预习导学请同学们阅读课本P10-11内容完成下类问题
1、一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为__________通常记作____________
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的_______简称为集合A的______记作________即:
2、预习思考:
⑴、已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2x3},集合B={x|-3x≤3}
⑵如何用venn图表示A在U中的补集。
【温馨提示】1、通常也把给定的集合作为全集;2、符号有三层意思:
⑴、A是U的一个子集,即AU;⑵、表示一个集合且U;⑶、是由U中不属于A的所有元素组成的集合。
三、课内学习巩固:
1、完成课本P11,例8、例9;思考一下关系:
2、已知集合,求
四、课后拓展延伸
1、已知全集,求
由此题思考下列关系:
2、设集合:
求
3、已知集合{不大于20的质数},M、N是U的两个子集,且满足
,求M、N
作业:
:
P12习题1.1A组9,B组4
集合小结
考试内容及要求
(1)集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的"属于"关系.
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
②在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
知识网络
高考真题自测:
(2010高考)
1、(全国卷Ⅱ文1)设全集,集合A={1,3},B={3,5}则
(A){1,4}(B){1,5}(C){2,4}(D){2,5}
2、(陕西文1)集合A={x-1≤x≤2},B={xx<1},则A∩B=
(A){xx<1}(B){x-1≤x≤2}(C){x-1≤x≤1}(D){x-1≤x<1}
3、(辽宁文1)已知集合,,则
(A)(B)(C)(D)
4、(辽宁理1)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},B∩A={9},则A=
(A){1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}
5、(安徽文1)若A=,B=,则=
(A)(-1,+∞)(B)(-∞,3)(C)(-1,3)(D)(1,3)
6、(广东理1)若集合A={-2<<1},B={0<<2}则集合A∩B=()
A.{-1<<1}B.{-2<<1}C.{-2<<2}D.{0<<1}
7、(广东文1)若集合,则集合
A.B.C.D.
8、(福建文1)若集合,,则等于()
A.B.C.D.
9、(全国卷1文2)设全集,集合,,则
A.B.C.D.
10、(四川文1)设集合A={3,5,6,8},集合B={4,5,7,8},则A∩B等于
(A){3,4,5,6,7,8}(B){3,6}(C){4,7}(D){5,8}
11、(湖北文1)设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数},则M∩N=
A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D{1,2,8}
12、(湖南理1)已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则
A.B.C.D.
13、(上海文1)已知集合,,则。
14、(湖南文9)已知集合A={1,2,3,},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=
15、(重庆文11)设,则=____________.
16、(江苏卷1)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=_____
1.2.1函数的概念
一、课时学习目标
1、知识与技能:
了解函数的定义;能用集合与对应的语言来刻画函数;了解构成函数的要素;掌握区间表示;理解与函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念;掌握两个函数是同一函数的条件;会求简单函数的定义域和值域。
2、过程与方法:
通过实例,体会对应关系在刻画函数的概念中的作用;通过对函数概念的学习,初步探索客观世界中各种运动与数量间的相互依赖关系;掌握求函数式的值的方法,明确f(a)与f(x)的区别与联系;逐步培养并提高批判思维能力,自我调控能力.交流与合作能力.
3、情感:
态度与价值观:
通过实力,感知并体会函数在实际生活中的应用:
懂得一切事物都是在不断变化,相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点:
学会全面地观察问题.分析问题.研究问题.
二、课时预习导学请同学们阅读课本P15-19内容完成以下问题
1设A、B是__________的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个数X,在集合B中都有_______的数f(x)和它对应,那么就称_________为从集合A到集合B的一个函数,记作__________,其中_________叫做自变量,X的取值范围A叫做函数的_________,与X值相对应的Y叫做________,函数值的集合{f(x)|X∈A}叫做函数的_______
思考:
⑴、判断下列对应是否从集合A到集合B的函数。
①、
②、
③、
⑵、判断一个对应关系是否是函数应注意什么?
⑶、如图,可表示函数y=f(x)的图像的只可能是()
注意:
⑴正确理解函数的概念,要紧紧抓住函数定义中的关键字词:
非空数集A、B,A中的任意一个数X,,B中都有唯一确定的数f(x).
⑵函数符号"y=f(x)"是数学中抽象符号之一,"y=f(x)"仅为Y是X的函数的数字表示,不表示Y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图表或图象。
2区间与无穷大:
设a.b是两个实数,而且ab,规定:
(1)满足不等式的实数X的集合叫做________区间,表示为________.
(2)满足不等式的实数X的集合叫做________区间,表示为_________.
(3)满足不等式或的实数X的集合叫做_________区间,分别表示为__________.___________.
(4)实数集R用区间可表示为__________,"∞"读作"______________","-∞"读作"_________","+∞"读作"___________",不等式的实数X的集合分别表示为_______,________,_________,__________.
思考:
⑴已知区间[-2a,3a+5],则a的取值范围是____________.
⑵用区间表示集合为_____________.
注意:
无穷大∞是一个符号,而不是一个数,因而它不具备数的一些性质和运算法则,用"∞"作为区间的端点时,要用开区间的符号。
3函数的定义域及函数求值
例:
已知函数:
1、求函数的定义域;
2、求的值;
3、当a0时,求f(a)、f(a-1)的值.
通过以上的练习回答以下问题"
⑴函数的三要素是____________________
⑵求函数定义域的一般原则为:
A若f(x)是整式,其定义域为__________
B若f(x)是分式其定义域为___________
C若f(x)是偶次方根,其定义域为______
D若f(x)是以上几个部份的数学式子构成的,其定义域为_________________
Ef(x)=x0的定义域为__________
F若是实际问题,除应考虑解析式本身有的意义外,还应考虑_____________
4函数相等
如果两个函数定义域___________,并且对应法则________,我们就称这两个函数相等。
练习:
⑴下列函数中哪个与函数y=x相等
⑵下列各组中的两个函数是同一函数的是()
A、与B、与
C、与D、与
三、课后拓展延伸
1、已知函数,求⑴、f(3);⑵、g[f(3)]⑶、f[g(x)]
2、求函数的值域
⑴、⑵、
3、若函数f(x)的定义域为[1,4],求函数f(x+2)的定义域;
若函数的定义域为[0,3],求函数f(x)的定义域;
【梳理整合】
作业:
:
课本P24A组1-65
1.2.2函数的表示法(第一课时)
一、课时学习目标
1、知识与技能:
掌握函数的三种表示方法:
列表法,图像法,解析法,体会三种表示方法的特点,根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
2、过程与方法:
(1)能根据实际问题情境选择恰当的方法,表示一个函数有用的信息,培养学生的灵活运用知识的能力。
(2)初步体会运用函数知识解决实际问题的方法。
(3)体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用,在图形的变化中感受数学的直观美。
3、情感:
态度与价值观:
培养学生重视数学的思想方法--数形结合思想与分类讨论思想方法,激发学生学习的热情,情感,态度与价值观;培养学生重视数学思想方法--数形结合思想与分类讨论思想,激发学生学习的热情。
二、课时预习导学请同学们阅读课本P19-21内容完成以下问题
1、初中学习的函数的表示方法有_________,_____________,_____________.
2、独立完成P19例3,探讨下列问题
⑴、比较函数的三种表示法的优缺点,完成下列表格名称优点
缺点解析法列表法图像法⑵、解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?
⑶、总结画函数图像的一般步骤____________,_____________,___________.
⑷、函数图像既可以是连续的__________,也可以是__________,_________,________等,那么判断一个图形是不是函数图像的依据是____________________.
三、课内学习巩固:
1、直线x=1与函数y=f(x)的交点个数是
A、1B、2C、0D、0或1
2、某班连续进行了5次数学测试,其中,王明的数学成绩如下表所示:
次数12345分数7684918890
从这张表中看出这个函数的定义域是_________,值域是________;
3、已知函数f(x)=的图像如图所示,则f(-1),f
(1),f(3)的大小关系为____________.
4、作出下列函数的图像⑴、⑵、⑶、四、课后拓展延伸
1、函数的图像是32、设A={x∣0≤x≤2},B={y∣1≤x≤2}在下图中能表示从集合A到集合B的函数的是y21012x
ABCD
1.2.2函数的表示法(第二课时)
一、课时学习目标
1、知识与技能:
⑴通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力.⑵会用描点法画一些简单函数的图像,培养学生应用函数的图像解决问题的能力;⑶了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断"对应关系"是否是映射。
2、过程与方法:
通过实例,总结体会分段函数的概念,并了解分段函数在解决实际问题中的应用,形成数学来源于实践又服务于实践的意识或观念。
增强学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3、情感:
态度与价值观:
培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想,增强学习数学的兴趣。
认识到事物间是有联系的,了解对应、映射是事物间的一种联系。
二、课时预习导学请同学们阅读课本P19-23内容完成以下问题
1、函数与函数的解析式有什么区别?
2、在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的___________,这样的函数通常叫做__________,其定义域是各段定义域的__________,其值域是各段值域的_____。
3、当x1时f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数的解析式__________.
4、完成课本P21例5,例6
练习:
已知函数
⑴、求f(-1)、f(3)⑵、若f(x)=3,求x的值;
⑶、求函数的定义域、值域;⑷、画出函数的图像;
规律总结:
⑴、求分段函数的有关函数值,关键是"分段归类",即自变量的取值属于哪一段就用哪一段的解析式;
⑵、画分段函数的图像时注意:
①、在同一坐标系中,分别作出各段的图像;
②、在作每一段图像时,先不管定义域的限制,做出其图像再保留定义域内一段图像即可;③、作图像时要特别注意接点处点的虚实,若端点包含在内,则用实点"."表示,若端点不包含在内,则用虚点"。
"表示,保证不充不漏。
④、要把一些关键点标出来,如最高点、最低点与坐标轴的交点等。
4、设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的________,一个元素x,在集合B中都有_______确定元素y与之对应,那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射。
思考:
映射与函数有何关系?
三、课内学习巩固:
1、判断下列对应是否是从A到B的映射。
想一想:
⑴、哪类对应可构成映射?
⑵、请你说明"映射是有方向的"这句话的理解。
2、课本P23练习4
四、课后拓展延伸
1、设f:
A→B是A到B的一个映射,其中A=B=,求:
⑴、A中元素(-1,2)的对应元素⑵、B中元素(-1,2)的对应元素
2、设集合,试问从A到B的映射共有多少个?
作业:
P24,第10题;
1.3.1函数的单调性
一、课时学习目标
1、知识与技能:
通过对初中已学过的函数(特别是二次函数)图像的观察,分析逐步理解函数的单调性及其几何意义;能给局图像的升降特征,划分函数的单调区间;理解增(减)函数的定义,会证明函数在指定区间上的单调性.
2、过程与方法:
从观察具体函数的图像特征入手,结合相应问题,引导用数学语言形式化的建立增(减)函数的概念.
3、情感:
态度与价值观:
理解运用由特殊到一般,由具体到抽象,由自然语言到符号语言,提升数学思维能力,学会科学地思考问题,科学地解决问题,加强判断能力,推理能力和划归转化能力.
二、课时预习导学请同学们阅读课本P27-29内容,完成以下问题
1、观察下列四个图形
回答下列问题:
①、上述这四个图像是怎样变化的,它们有怎样的升降规律?
②、怎样用x与f(x)数值的变化来一一分析
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- 第一章 集合 函数