解析几何重要公式和结论.docx

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解析几何重要公式和结论

解析几何重要公式和结论

　　篇一：

平面解析几何的公式与结论

　　平面解析几何的公式与结论

　　1.直线的五种方程

（1）点斜式y?

y1?

k（x?

x1）（直线l过点P1（x1,y1），且斜率为k）．

（2）斜截式y?

kx?

b（b为直线l在y轴上的截距）.（3）两点式（4）截距式

　　y?

y1y2?

y1x?

y

　　?

　　x?

x1x2?

x1

　　（y1?

y2）（P1（x1,y1）、P2（x2,y2）（x1?

x2））.

　　?

1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?

0）ab

　　（5）一般式Ax?

By?

C?

0（其中A、B不同时为0）.

　　2.两条直线的平行和垂直

（1）若l1:

y?

k1x?

b1，l2:

y?

k2x?

b2①l1||l2?

k1?

k2,b1?

b2;②l1?

l2?

k1k2?

?

1.

（2）若l1:

A1x?

B1y?

C1?

0,l2:

A2x?

B2y?

C2?

0,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2?

　　A1A2

　　?

B1B2

　　?

C1C2

　　；

　　②l1?

l2?

A1A2?

B1B2?

0；3．四种常用直线系方程

（1）定点直线系方程：

经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为y?

y0?

k（x?

x0）（除直线x?

x0）,其中k是待定的系数;经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为A（x?

x0）?

B（y?

y0）?

0,其中A,B是待定的系数．

（2）共点直线系方程：

经过两直线l1:

A1x?

B1y?

C1?

0,l2:

A2x?

B2y?

C2?

0的交点的直线系方程为

　　（A1x?

B1y?

C1）?

?

（A2x?

B2y?

C2）?

0（除l2），其中λ是待定的系数．

　　（3）平行直线系方程：

直线y?

kx?

b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线

　　Ax?

By?

C?

0平行的直线系方程是Ax?

By0（?

?

0），λ是参变量．

　　（4）垂直直线系方程：

与直线Ax?

By?

C?

0（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是Bx?

Ay0,λ是参变量．

　　4.点到直线的距离

　　d?

　　|Ax?

By?

C|

　　结论：

若直线Ax?

By?

C?

0穿过线段AB（其中A（X1,Y1）B（X2,Y2））则直线分AB的比值为

　　（点P（x0,y0）,直线l：

Ax?

By?

C?

0）.

　　λ=-

　　Ax1?

By1?

CAx2?

By2?

C

　　5.Ax?

By?

C?

0或?

0所表示的平面区域

　　设直线l:

Ax?

By?

C?

0，则Ax?

By?

C?

0或?

0所表示的平面区域是：

　　若B?

0，当B与Ax?

By?

C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?

By?

C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

　　若B?

0，当A与Ax?

By?

C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?

By?

C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

　　6.圆的四种方程

（1）圆的标准方程（x?

a）?

（y?

b）?

r.

（2）圆的一般方程x?

y?

Dx?

Ey?

F?

0（D?

E?

4F＞0）.

　　2

　　22

　　2

　　2

　　22

　　（3）圆的参数方程?

　　?

x?

a?

rcos?

?

y?

b?

rsin?

　　.

　　（4）圆的直径式方程（x?

x1）（x?

x2）?

（y?

y1）（y?

y2）?

0（圆的直径的端点是A（x1,y1）、B（x2,y2））.7.圆系方程

（1）过点A（x1,y1）,B（x2,y2）的圆系方程是

　　（x?

x1）（x?

x2）?

（y?

y1）（y?

y2）?

?

[（x?

x1）（y1?

y2）?

（y?

y1）（x1?

x2）]?

0

　　?

（x?

x1）（x?

x2）?

（y?

y1）（y?

y2）?

?

（ax?

by?

c）?

0,其中ax?

by?

c?

0是直线AB的方程,λ是待定的系

　　数．

（2）过直线l:

Ax?

By?

C?

0与圆C:

x2?

y2?

Dx?

Ey?

F?

0的交点的圆系方程是

　　x?

y?

Dx?

Ey?

F?

?

（Ax?

By?

C）?

0,λ是待定的系数．

　　2

　　2

　　（3）过圆C1:

x2?

y2?

D1x?

E1y?

F1?

0与圆C2:

x2?

y2?

D2x?

E2y?

F2?

0的交点的圆系方程是

　　x?

y?

D1x?

E1y?

F1?

?

（x?

y?

D2x?

E2y?

F2）?

0,λ是待定的系数．

　　2

　　2

　　2

　　2

　　8.点与圆的位置关系

　　点P（x0,y0）与圆（x?

a）?

（y?

b）?

r的位置关系有三种

　　若d?

　　2

　　2

　　2

　　d?

r?

点P在圆外;d?

r?

点P在圆上;d?

r?

点P在圆内.9.直线与圆的位置关系

　　直线Ax?

By?

C?

0与圆（x?

a）2?

（y?

b）2?

r2的位置关系有三种:

d?

r?

相离0;d?

r?

相切0;d?

r?

相交0.

　　Aa?

Bb?

CA?

B

　　2

　　2

　　其中d?

.

　　10.两圆位置关系的判定方法

　　设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?

dd?

r1?

r2?

外离?

4条公切线;d?

r1?

r2?

外切?

3条公切线;

　　r1?

r2?

d?

r1?

r2?

相交?

2条公切线;d?

r1?

r2?

内切?

1条公切线;0?

d?

r1?

r2?

内含?

无公切线.

　　11.圆的切线方程

（1）已知圆x?

y?

Dx?

Ey?

F?

0．

　　①若已知切点（x0,y0）在圆上，则切线只有一条，其方程是x0x?

y0y?

　　D（x0?

x）

　　2

　　?

　　E（y0?

y）

　　2

　　?

F?

0.

　　?

　　E（y0?

y）

　　2

　　?

F?

0表示过两个切点的切点弦方程．

　　2

　　2

　　当（x0,y0）圆外时,x0x?

y0y?

　　D（x0?

x）

　　2

　　②过圆外一点的切线方程可设为y?

y0?

k（x?

x0），再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

　　③斜率为k的切线方程可设为y?

kx?

b，再利用相切条件求b，必有两条切线．

（2）已知圆x?

y?

r．

　　2

　　2

　　2

　　①过圆上的P0（x0,y0）点的切线方程为x0x?

y0y?

r;②斜率为k

　　的圆的切线方程为y?

kx?

2

　　第一讲直线与圆

　　一、选择题

　　1．已知直线l1的方向向量a＝（1,3），直线l2的方向向量b＝（－1，k）．若直线l2经过点（0,5）且l1⊥l2，则直线l2的方程为（）A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0

　　C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0解析：

∵l1⊥l2，∴a·b＝0.

　　11

　　－1，.∴－1＋3k＝0，∴k＝，∴b＝?

3?

31

　　∴l2方程为yx＋5，

　　3即x＋3y－15＝0.答案：

B

　　xy

　　2．若直线＝1通过点M（cosα，sinα），则（）

　　abA．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1abab

　　xy

　　解析：

直线＋1通过点M（cosα，sinα），我们知道点M在单位圆上，此问题可

　　abxy

　　转化为直线＋1和圆x2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为（0,0），由点到直线的距离

　　ab公式有

　　|－1|11

　　1?

＋≥1，故选D.

　　abab

　　答案：

D

　　3．（2010·福建）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0

　　解析：

∵抛物线y2＝4x的焦点为（1,0），∴满足题意的圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0，故选D.答案：

D

　　4．（2010·江西）直线y＝kx＋3与圆（x－3）2＋（y－2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥3，则k的取值范围是（）33

　　－，0?

B.?

∪[0，＋∞）A.?

4?

4?

?

　　|3k＋1|k＋1

　　解析：

圆心（3,2）到直线的距离d＝

　　则|MN|＝2

　　4－?

　　?

|3k＋1|2

　　?

k＋1?

　　＝－5k－6k＋33

　　23，解得－k≤0，故选A.4k＋1

　　答案：

A

　　5．（2010·湖北）若直线y＝x＋b与曲线y＝34x－x有公共点，则b的取值范围是（）A．[1－22，1＋22]B．[12，3]C．[－1,1＋2]

　　D．[1－2，3]

　　解析：

y＝34x－x变形为（x－2）2＋（y－3）2＝4（0≤x≤4，1≤y≤3），表示以（2,3）为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．

　　若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间（包括图中两条直线），y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即

　　|2－3＋b|

　　2，解得b＝1－22或b＝1＋22（舍去），∴b的取值范围为1－22

　　≤b≤3.故选D.答案：

D二、填空题

　　6．（2009·全国Ⅰ）若直线m被两平行线l1：

x－y＋1＝0与l2：

x－y＋3＝0所截得的线段

　　的长为22，则m的倾斜角可以是：

①15°②30°③45°④60°⑤75°

　　其中正确答案的序号是________．（写出所有正确答案的序号）．解析：

两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为

　　|3－1|

　　＝2，又动直线l1与l22

　　所截的线段长为22，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：

①⑤

　　7．（2009·四川理）若⊙O：

x2＋y2＝5与⊙O1：

（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：

　　高而基培训中心内部资料

　　如图所示，在Rt△OAO1中，OA5，O1A＝5，∴OO1＝5，∴AC5×25

　　＝2，5

　　∴AB＝4.答案：

4

　　8．（2010·课标全国）过点A（4,1）的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B（2,1），则圆C的方程为________．

　　解析：

由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0，②

　　?

?

x＝3，联立①②解得?

　　?

y＝0，?

　　所以圆心坐标为（3,0），

　　半径r＝?

4－3?

＋?

1－0?

2，

　　所以圆C的方程为（x－3）2＋y2＝2.答案：

（x－3）2＋y2＝2

　　9．（2010·山东）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：

y＝x－1被圆C所截得的弦长为2

　　2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为

　　______________________________________________________________________．

　　解析：

设圆心A（x0,0），x0>0，r＝|AC|＝x0－1，|BC|2，由直线l方程可知∠BCA＝45°，所以r＝2，x0＝3，∵l⊥AB，∴kAB＝－1，AB方程为y＝－1（x－3），即x＋y－3＝0.

　　答案：

x＋y－3＝0三、解答题

　　10．已知m∈R，直线l：

mx－（m2＋1）y＝4m和圆C：

x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.

（1）求直线l斜率的取值范围；

　　篇二：

%A6+解析几何部分公式、方法、技巧荟萃

　　解析几何部分公式、方法、技巧荟萃

（1）①与直线Ax?

By?

C?

0平行的直线方程为：

Ax?

By?

m?

0（m?

C）与直线y?

kx?

b平行的直线为：

y?

kx?

m（m?

b）②与直线Ax?

By?

C?

0垂直的直线方程为：

Bx?

Ay?

m?

0与直线y?

kx?

b（k?

0）垂直的直线为：

y?

?

　　1kx?

m

　　（2

　　（3（4）l1l1（5AB?

　　2?

x1?

（此即弦长公式）

　　注该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦

　　半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。

　　（6）①点P（x0,y0）到直线Ax?

By?

C?

　　0的距离d?

　　②两平行直线l1:

Ax?

By?

C1?

0与l2:

Ax?

By?

C2?

0的距离：

　　d?

　　（注意：

应用该公式时一定要使得l1与l2的A，B一致）

　　（7）①求曲线C1:

f（x,y）?

0关于点（x0,y0）对称的曲线C2：

　　在曲线C2上任取一点（x,y）关于（x0,y0）对称的点为（2x0?

x,2y0?

y）代入曲线

　　（8?

22

　　（9）①二元二次方程Ax?

Bxy?

Cy?

Dx?

Ey?

F?

0表示圆?

?

B?

0

　　?

22

　　?

D?

E?

4AF?

0

　　②二元二次方程x?

y?

Dx?

Ey?

F?

0表示圆?

D?

E?

4F?

0

　　2222

　　其中圆心为（?

　　D2

　　,?

　　E2

　　），半径为r?

　　2

　　（10）已知点P（x0,y0）在圆x2?

y2?

Dx?

Ey?

F?

0的外部，过P作圆的切线，切点分

　　别为A,B

　　，则切线长PA?

PB?

　　（11）若直线Ax?

By?

C?

0与圆（x?

a）2?

（y?

b）2?

r2有公共点，

　　则（即圆心到直线的距离小于或等于半径！

）

　　（12）给定点P（x0,y0）和圆（x?

a）2?

（y?

b）2?

r2，则：

　　?

r

　　（13①②（14推广过两曲线C1:

f（x,y）?

0与C2:

g（x,y）?

0的曲线系方程为：

f（x,y）g（x,y）?

0（不含曲线C2）

　　2222

　　（15）过两圆C1:

x?

y?

D1x?

E1y?

F1?

0与C2:

x?

y?

D2x?

E2y?

F2?

0的交点

　　的直线（公共弦）的方程为：

（D1?

D2）x?

（E1?

E2）y?

（F1?

F2）?

0

（1）椭圆的一般式方程：

mx2?

ny2?

1（m?

0,n?

0,m?

n）

（2）椭圆的面积公式S?

?

ab

　　（3）①椭圆的第一定义：

PF1?

PF2?

常数（即2a）?

定点距离（即2c）

　　（其中F1,F2称为焦点，a为长半轴长，c为半焦距，P为椭圆上任一点）

　　②

　　（3a（4（5（6）（7）?

?

（0?

P?

FQ

　　2

　　）（只需证明P?

F?

Q?

F?

0即可！

）

　　2

　　（8）已知P为椭圆上任一点，?

F1PF2?

?

则S?

FPF?

btan

　　1

　　2

　　?

　　2

　　（其中b为短半轴长）

　　注关于?

F1PF2,很多资料书称之为焦点三角形，试题经常给定该三角形的一些条

　　件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：

因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。

　　（9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是（?

c,?

　　b

　　2

　　a

　　）

（1）双曲线的一般式方程：

mx2?

ny2?

1（mn?

0）

　　xa

　　22

（2）①双曲线?

　　yb

　　22

　　?

?

（?

?

0）与双曲线

　　xa

　　22

　　?

　　yb

　　22

　　?

1共渐近线为：

　　xa

　　?

　　yb

　　?

0

　　（3（3（4）双曲线焦半径公式：

F1为左焦点（下焦点）F2为右焦点（上焦点）PF1?

a?

ex0（或a?

ey0）PF2?

a?

ex0（或a?

ey0）

　　篇三：

（手打）平面解析几何所有公式

　　（适合高一）平面解析几何（直线与圆）所有公式1.两点间距离公式：

两点A?

x1,y1?

B?

x2,y2?

.

　　AB?

　　x

　　2

　　?

x1?

y2?

y1

　　2

　　2

　　2.点到直线距离公式：

P?

x0,y0?

，直线Ax?

By?

C?

0.

　　Ax0?

By0?

C

　　d?

22

　　A?

B

　　x1?

y1x2?

y2?

?

　　3.中点坐标：

A（x,y）和B?

x,y?

的中点坐标为?

?

　　2?

?

2

　　（x?

x）4.斜率公式:

①已知两点A?

x1,y1?

，B?

x2,y2?

，

　　1

　　1

　　2

　　2

　　1

　　2

　　y2?

y1

　　则k?

　　x2?

x1

　　②已知倾斜角?

，则k

　　?

tan?

　　5.斜率的取值范围：

k,6.倾斜角范围：

?

?

　　?

0，180?

　　?

　　?

　　7.直线方程的五种形式：

（1）点斜式方程：

点A?

x0,y0?

，斜率?

y0?

k?

x?

x0?

（2）斜截式方程：

斜率k，截距b.[或给点?

0,b?

].※截距b是坐标，有+,有-,有0。

y?

kx?

b

　　（3）两点式方程:

A（x1,y1）,B?

x2,y2?

（x1?

x2且y1?

y2）

　　y?

y1x?

x1则（x?

x,且y?

y）?

　　y2?

y1x2?

x1

　　1

　　2

　　1

　　2

　　（4）截距式方程.横截距a，纵截距b[或给点?

a,0?

，?

0,b?

]

　　xy

　　则?

?

1（a?

0且b?

0）ab

　　（5）一般式方程：

适合与所有条件，最后统一写成方程形式

　　Ax?

By?

C?

0（A2?

B2?

0）

　　8.两条直线的位置关系

（1）相交?

（一般式）A1B2?

A2B1?

0

　　A1B1

　　?

（一般式）?

（A2B2?

0）

　　A2B2

　　?

（斜截式）k1?

k2

（2）平行?

（一般式）A1B2?

A2B1?

0且B1C2?

C1B2?

0或A2C1?

A1C2?

0

　　A1B1C1

　　?

（一般式）?

?

（A2B2C2?

0）

　　A2B2C2

　　?

（斜截式）k1?

k2且b1?

b2

　　（3）重合?

（一般式）A1?

?

A2,B1?

?

B2,C1?

?

C2（?

?

0）

　　A1B1C1

　　?

（一般式）?

?

　　A2B2C2

　　?

（一般式）A1B2?

A2B1?

0且B1C2?

C1B2?

0或A2C1?

A1C2?

0?

（斜截式）k1?

k2且b1?

b2（4）垂直?

（一般式）A1A2?

B1B2?

0?

（斜截式）k1k2?

?

1

　　9.一般式方程Ax?

By?

C?

0（B?

0，保证斜率k存在）与斜截

　　AC

　　式方程y?

kx?

b关系：

k?

?

b?

?

　　BB

　　10.常用结论

（1）与Ax?

By?

C?

0平行的直线方程为

　　Ax?

By?

D?

0（D?

C）※必须写Bx?

Ay?

D?

0

（2）与Ax?

By?

C?

0垂直的直线方程为

　　（3）两条平行直线Ax?

By?

C1?

0与Ax?

By?

C2?

0之间的

　　C1?

C2

　　距离d?

22

　　A?

B

　　11.圆的方程

（1）标准方程：

?

x?

ay?

b?

?

r。

适用于给圆心?

a,b?

，

　　2

　　2

　　2

　　半径r的情况

（2）一般方程：

x

　　2

　　?

y2?

Dx?

Ey?

F?

0。

适用于过三点的情

　　2

　　?

DE?

　　况。

是圆前提：

D?

E?

4F?

0.圆心坐标?

?

?

?

.半径

　　?

22?

　　D2?

E2?

4F

　　r?

　　2

　　222

　　12.点与圆的位置关系：

点?

x,y?

.圆?

x?

ay?

b?

?

r

　　2

（1）点在圆上?

?

x

　　2

　　a?

y?

b?

r00

　　2

　　2

（2）点在圆内?

?

x0（3）点在圆外?

?

x0

　　13.直线与圆的位置关系

　　?

ay0?

b?

?

r2

　　2

　　2

　　?

ay0?

b?

?

r2

　　2

　　2

　　由直线l与圆C的方程联立方程组我们有如下结论：

　　其中d为圆心到直线的距离.14.圆与圆的位置关系

　　其中d为两圆圆心的距离.一、方法总结1.直线与圆的位置关系

　　直线与圆的位置关系的判定方法主要有两种.判别式法：

联立直线与圆的方程，根据方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系.

　　几何法:

计算圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小，根据两者的大小关系判断直线与圆的位置关系.

　　2.圆与圆的位置关系

　　判断圆与圆的位置关系一般用几何法，具体如下：

（1）把圆的方程化为标准方程，得到两圆的圆心和半径；

（2）计算两圆的圆心距；

　　（3）根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系.3.圆的切线

（1）求过圆C外一点P?

x0,y0?

的切线方程的方法：

　　设切线为y?

y0?

k?

x?

x0?

，由圆心C到切线的距离等于圆的半径

　　r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若有一个解，则另一条为

　　x?

x0

　　代数法：

设切线为y?

y0?

k?

x?

x0?

，与圆的方程联立，消元，由

　　?

?

0求出k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为

　　x?

x0.

（2）求过圆C上的一点P?

x0,y0?

的切线方程的方法：

圆心C?

a,b?

，

　　1

　　k?

?

，则切线方程为y?

y?

k?

x?

x?

.特别的，如果直线PC

　　kPC

　　的斜率不存在，则切线方程为y?

y0，如果直线PC的斜率为0，则切线方程为x?

x0.4.圆的弦长

　　求直线被圆所截得弦长的方法：

（1）代数法：

对于容易求出直线与圆的两个交点坐标的题目，我们可以先求出这两个交点的坐标，再求这两点间的距离.

（2）几何法：

求出弦心距d和圆的半径r，利用勾股定理来求弦长