单元综合测试三第三章.docx
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单元综合测试三第三章
单元综合测试三(第三章)
时间:
120分钟 分值:
150分
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知下列四个函数图象,其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
解析:
由二分法的定义易知选A.
答案:
A
2.函数y=(x-1)(x2-2x-3)的零点为( )
A.1,2,3B.1,-1,3
C.1,-1,-3D.1,-1,2
解析:
由(x-1)(x2-2x-3)=(x-1)(x+1)(x-3)=0得x=-1,或x=1,或x=3.
答案:
B
3.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f
·f
<0,则方程f(x)=0在[-1,1]内( )
A.可能有3个实根B.可能有2个实根
C.有唯一实根D.没有实根
解析:
由于f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,
且f
·f
<0,
所以f(x)在
上有唯一零点,
即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一实根.故选C.
答案:
C
4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
解析:
显然f(x)在R上是增函数,
又f(-2)<0,f(-1)<0,f(0)>0,f
(1)>0,f
(2)>0,
∴f(-1)·f(0)<0,
所以函数f(x)在(-1,0)上有零点,故选B.
答案:
B
5.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·f
(1)的值( )
A.大于0B.小于0
C.无法判断D.等于零
解析:
由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.
答案:
C
6.若函数f(x)唯一的变号零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),(1,
)内,则与f(0)符号相同的是( )
A.f(4)B.f
(2)
C.f
(1)D.f(
)
解析:
由函数零点的判断方法可知,f
(2),f(4)与f(0)符号相反,f
(1)与f
(2)符号相反,故f
(1)与f(0)符号相同,故选C.
答案:
C
7.如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型B.二次函数模型
C.指数函数模型D.对数函数模型
解析:
画出散点图,如图.
由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型.
答案:
A
8.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往长城旅游,他先前进了akm,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了bkm(b 解析: 根据某同学先前进了akm后休息了一段时间,可知A不合题意;根据休息后沿原路返回骑了bkm(b 答案: C 9.设a,b,k是实数,二次函数f(x)=x2+ax+b满足: f(k-1) 与f(k)异号,f(k+1)与f(k)异号.在以下关于f(x)的零点的说法中,正确的是( ) A.该二次函数的零点都小于k B.该二次函数的零点都大于k C.该二次函数的两个零点之差一定大于2 D.该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内 解析: 由题意得f(k-1)·f(k)<0,f(k)·f(k+1)<0,由零点的存在性定理可知,在区间(k-1,k),(k,k+1)内各有一个零点,零点可能是区间内的任何一个值,故D正确. 答案: D 10.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: (1)如一次购物不超过200元,不予以折扣; (2)如一次购物超过200元但不超过500元,按标价予以九折优惠;(3)如一次购物超过500元,其中500元给予九折优惠,超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款( ) A.608元B.574.1元 C.582.6元D.456.8元 解析: 本题实际上是一个分段函数的问题,购物付款432元,实际商品价值为432× =480(元);则一次购买标价为176+480=656(元)的商品应付款500×0.9+156×0.85=582.6(元),故选C. 答案: C 11. 一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案,他分别以A,B,C,D为圆心,b(0 )为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形,如图所示,则这些图形中实线部分总长度的最小值为( ) A.πB.2π C.3πD.4π 解析: 由题意知实线部分的总长度为l=4(3-2b)+2πb=(2π-8)b+12,l是关于b的一次函数,一次项系数2π-8<0,故l关于b的函数单调递减,因此,当b取最大值时,l取得最小值,结合图形知,b的最大值为 ,代入上式得lmin=(2π-8)× +12=3π. 答案: C 12.函数f(x)=|x2-6x+8|-k只有两个零点,则( ) A.k=0B.k>1 C.0≤k<1D.k>1,或k=0 解析: 令y1=|x2-6x+8|,y2=k,由题意即要求两函数图象有两交点,利用数形结合思想,作出两函数图象可得选D. 答案: D 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是__________. 解析: 设f(x)=x3-2x-5,则f (2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f (2)f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3). 答案: (2,3) 14.方程ex-x=2在实数范围内的解有________个. 解析: 可转化为判断函数y=ex与函数y=x+2的图象的交点个数. 答案: 2 15.某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位: 小时,y表示病毒个数),则k=________.经过5小时,1个病毒能繁殖为________个. 解析: 当t=0.5时,y=2,∴2=e k, ∴k=2ln2,∴y=c2tln2. 当t=5时,y=c10ln2=210=1024. 答案: 2ln2 1024 16.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是________. 解析: 令f(x)=2ax2-x-1,则f(0)·f (1)<0,即-1×(2a-2)<0,所以a>1. 答案: (1,+∞) 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)按照给出的参考数据,用二分法求2x+x=4在(1,2)内的近似解(精确度为0.2),参考数据如表: x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解: 令f(x)=2x+x-4, 则f (1)=2+1-4<0, f (2)=22+2-4>0, 用二分法计算,列表如下: 区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.33 (1,1.5) 1.25 -0.37 (1.25,1.5) 1.375 -0.035 (1.375,1.5) ∵|1.375-1.5|=0.125<0.2, ∴2x+x=4在(1,2)内的近似解为1.375. 18.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+ + .证明: 存在x0∈(0, ),使f(x0)=x0. 证明: 令g(x)=f(x)-x. ∵g(0)= ,g( )=f( )- =- , ∴g(0)·g( )<0. 又函数g(x)在[0, ]上的图象连续不断, ∴存在x0∈(0, ),使g(x0)=0,即f(x0)=x0. 19.(12分)已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1, (1)m为何值时,函数的图象与x轴有两个交点? (2)如果函数的一个零点在原点,求m的值. 解: (1)∵函数的图象与x轴有两个交点, ∴ 即 整理得 即当m<1,且m≠-1时, 函数的图象与x轴有两个交点. (2)∵函数的一个零点在原点,即点(0,0)在函数f(x)的图象上, ∴f(0)=0,即2(m+1)·02+4m·0+2m-1=0. ∴m= . 20.(12分)设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2. (1)求f(x); (2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域. 解: (1)∵f(x)的两个零点是-3和2, ∴函数图象过点(-3,0)、(2,0). ∴9a-3(b-8)-a-ab=0,① 4a+2(b-8)-a-ab=0.② ①-②,得b=a+8.③ ③代入②,得4a+2a-a-a(a+8)=0, 即a2+3a=0. ∵a≠0,a=-3, ∴b=a+8=5. ∴f(x)=-3x2-3x+18. (2)由 (1)得f(x)=-3x2-3x+18 =-3(x+ )2+ +18, 图象的对称轴方程是x=- ,且0≤x≤1, ∴f(x)min=f (1)=12,f(x)max=f(0)=18. ∴函数f(x)的值域是[12,18]. 21.(12分) 如图所示,A、B两城相距100km,某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气.已知D地距A城xkm,为保证城市安全,天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天然气站D距A城的距离为40km时,建设费用为1300万元.(供气距离指天然气站到城市的距离) (1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数,并求定义域; (2)天然气供气站建在距A城多远,才能使建设供气费用最小,最小费用是多少? 解: (1)由题意知D地距B地(100-x)km, 则 ∴10≤x≤90. 设比例系数为k,则y=k[x2+(100-x)2](10≤x≤90). 又x=40,y=1300, 所以1300=k(402+602),即k= , 所以y= [x2+(100-x)2] = (x2-100x+5000)(10≤x≤90). (2)由于y= (x2-100x+5000)= (x-50)2+1250, 所以当x=50时,y有最小值为1250万元. 所以当供气站建在距A城50km,能使建设费用最小,最小费用是1250万元. 22.(12分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)是二次函数,其图象与x轴交于A(1,0)、B(3,0),与y轴交于C(0,6). (1)求y=f(x),(x∈R)的解析式; (2)若方程f(x)-2a+2=0有四个不同的实数根,试求a的取值范围. 解: (1)依题意可设,当x≥0时,f(x)=a(x-1)(x-3). 由f(0)=6得3a=6, ∴a=2, 此时f(x)=2(x-1)(x-3)=2x2-8x+6(x≥0). 当x<0时,-x>0, 则f(-x)=2x2+8x+6. 又∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=2x2+8x+6(x<0). ∴f(x)= (2)依题意f(x)=2a-2有四个不同实数根,即y=f(x)与y=2a-2在同一坐标系中的图象有四个不同的交点. 如图可知只需满足条件-2<2a-2<6,∴0 即实数a的取值范围是(0,4).
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- 单元 综合测试 第三