三角形的中位线案例.docx
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三角形的中位线案例.docx
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三角形的中位线案例
《三角形的中位线》教学案例
教学内容:
人教版八年级数学下册第十八章第1节第2部分《平行四边形的判定》第三课时——三角形的中位线。
教材分析:
本课是人教版八年级数学下册第十八章第1节平行四边形的判定第二部分内容——三角形的中位线。
主要包括三角形中位线的概念、性质定理及其证明方法和定理的应用。
本课是在已经学完平行四边形的性质和判定之后的一节新课,它是以平行四边形的有关性质和判定为依据来研究的,是对平行四边形的性质和判定的综合运用。
它不但是学习梯形中位线定理的基础,同时也是证明一些四边形问题和中点问题的重要依据。
所以本节内容放在四边形知识体系中,既承上启下,又能使研究四边形的方法更灵活多变。
学情分析:
1.学生已经学习了全等三角形的性质与判定和平行四边形的性质与判定等有关知识和方法,为本节课的学习奠定了基础。
2.学生基础相对较好,他们善于观察、操作、猜想,但演绎推理、归纳和运用数学知识解决问题的能力比较薄弱,思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺。
再加上近几年来自社会、家长和老师的压力较大,学生学的非常被动,几乎不重视学习方法,不注意归纳总结,不善于思考,无法体验学习的乐趣。
所以我想通过本节课引导学生学会学习,学会思考,从而使其感受到学习的快乐。
3.通过合理运用现代化教育辅助手段,调动学生思维的积极性,尽可能多的给他们活动时间,激发学生内在的思维潜力,提高学习的兴趣,培养学生自主探究和合作学习的能力。
教学目标:
知识与技能目标:
1.通过画图,亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理。
2.通过三角形中位线性质的探索、证明、应用,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力。
3.通过进行三角形中位线定理有关的论证和计算,培养学生观察问题、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力。
过程与方法目标:
1.通过设置问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系,进而用推理论证的方法证明猜想是否正确,经历探索、猜想、论证的过程,进一步发展推理论证的能力。
2.通过设置恰当的活动空间,使学生有充分参与、思考、操作的机会,以便提高学生的合情推理和演绎推理能力。
情感、态度与价值观目标:
1.通过自主探究、猜想、验证,获得亲自参与研究的情感体验,增强学习热情,进一步培养学生的探究精神和学习兴趣。
2.通过小组讨论、交流等课堂活动,培养学生主动参与、自主学习、合作交流的意识和习惯,培养良好的学习态度和学习习惯。
3.结合新课引入和定理证明,对学生进行事物之间可相互转化的辨证思维观点教育,体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。
教学重点:
三角形的中位线定理及定理的证明和运用。
教学难点:
三角形中位线定理的证明及其灵活运用。
教学方法:
创设情境法、类比教学法、启发引导法。
以学生为中心,通过创设问题情境,采取建构教学模式,启发、引导、比较、探索相结合的教学方法,让学生经历观察、猜想、证明、运用,引导学生积极思考,勇于探索,激发学生的主动性、积极性和创新精神。
学法指导:
操作演示、观察探究、探索比较、联想猜测、类比归纳。
教学手段:
多媒体课件
教学策略
1.课堂组织策略:
先组织学生复习旧知识,再联系实际,创设问题情景,逐层展开,传授新知识,并精心设计例题、练习,达到巩固旧知识,掌握新知识的目的。
2.学生学习策略:
明确学习目标,了解所需掌握的知识,在教师的组织、引导、点拨下,通过观察、猜想、验证、归纳等手段,获取知识。
3.辅助策略:
借助“Powerpoint”平台,向学生展示动感几何,化抽象为形象,帮助学生解决学习过程中所遇难题,提高学习效率。
教学准备:
教师准备三角板、直尺、三角形纸片、多媒体课件;学生准备三角形纸片、剪刀等。
教与学互动设计:
一、创设情境,导入新课
1.复习提问:
师问:
平行四边形有哪些性质?
如何判定一个四边形是平行四边形?
生口答:
(引导学生从边、角、对角线三个方面回答)
师问:
平行四边形的性质和判定之间有什么联系?
这些性质和判定是用什么方法总结出来的?
生口答:
(把四边形问题转化成三角形研究总结的)
师总结并评价学生的复习情况。
2.创设情境:
如图,有一块三角形的蛋糕,准备平均分给四个小朋友,要求四人所分的形状大小相同,请设计合理的解决方案。
借由该情境引入本节课课题。
3.提出猜想:
师设问:
我们在研究平行四边形时,经常采用把平行四边形转化为三角形的问题,能否用平行四边形来研究三角形呢?
生思考片刻,进行下一环节。
4.动手操作:
师设问:
怎样将一个三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?
生:
拿出课前准备好的小三角形,开始动手操作,在操作过程不断地互相交流。
师巡回指导并提示:
用平行于三角形一边的直线截三角形,可以把三角形分成一个梯形和一个较小的三角形。
生动手操作,三分钟后大部分学生完成操作,得出结论。
师设问:
如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形,剪痕的位置有什么要求?
生:
折痕平行于三角形的一边。
师:
任意一条平行于三角形一边的直线截得的梯形和小三角形都能拼成平行四边形吗?
学生:
不是。
直线必须过三角形两边的中点。
师:
要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形,可将其中的三角形做怎样的图形变换
?
生:
动手操作后回答,可绕着其中一个截点旋转180度。
师用多媒体演示操作过程(动画),让学生初步体会转化思想,激起学习好奇心和学习兴趣。
。
二、合作交流,解读探究
多媒体展示:
学习目标,学生齐读并明确目标。
师:
引导学生总结三角形中位线的定义并板书。
定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
师设问:
一个三角形有几条中位线,你能画出来吗?
试一试!
生:
画出△ABC的三条中位线。
师:
三角形的中位线与中线有区别吗?
生比较讨论三角形的中位线与中线的区别与联系。
生先独立思考,后小组交流,再全班展示:
(1)相同之处:
都和边的中点有关;都3条;
(2)不同之处:
三角形中位线的两个端点都是边的中点;三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的顶点。
探究活动:
如图,在△ABC中,D、E分别是△ABC边AB、AC中点,连接DE。
师:
同学们猜一猜,在△ABC中,中位线DE和边BC有怎样的位置关系?
同学们可以通过测量角来验证你的猜想结论。
生:
先独立思考,大胆猜想,测量验证。
教师给予学生充分的时间去交流和探索。
师:
谁来给大家展示一下猜想结果和验证方法?
生:
用量角器量一量∠ADC和∠ABC的度数,由∠ADC=∠ABC判断出中位线DE和边BC的关系——平行。
师:
同学们猜一猜,在△ABC中,中位线DE和边BC有怎样的大小关系?
同学们也可以通过测量线段来验证你的猜想结论。
生:
用刻度尺量一量DE和BC的长度,由DE=
BC判断出中位线DE和边BC的大小关系——倍半。
师:
你能用几何语言将猜想的命题表示出来吗?
生思考后回答:
如图,在△ABC中,D、E分别是△ABC边AB、AC中点,连接DE。
求证:
DE∥BC,DE=BC
教师适当提示引导书写命题,并强调书写中注意的问题。
师设疑:
如何证明这个命题呢?
生思考并交流探讨。
师引导:
所证明的结论既有平行的位置关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形。
生:
讨论探究辅助线做法,小组内交流,全班展示。
师:
适时引导并强调“转化思想”和“一题多解”(四种方法)。
师:
大屏幕展示四种辅助线的做法,并引导学生总结梳理证明方法。
(这个定理的证明方法很多,关键在于对平行四边形的判定方法的掌握程度。
可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维,开阔学生思路,从而提高分析问题和解决问题的能力.但也应指出,当一个命题有多种证明方法时,要选用比较简捷的方法证明。
)
生:
口述证明过程。
(其他同学订正是否正确)
师:
根据学生口答内容,板书证明过程。
(强调书写过程中应该注意的问题)
师总结:
“转化思想”。
师:
经过前面几种方法分别证明,我们知道,上面这个命题是一个真命题,那么谁来把这个真命题用语言文字表述出来呢?
生:
思考,讨论并展示。
(总结定理)
师:
引导总结并板书。
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.
师:
谁能用几何语言将定理的内容表述出来呢?
生:
思考后展示。
用几何语言证明:
∵DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC,DE=BC
三、应用迁移,巩固提高
师:
三角形中位线有哪些应用呢?
我们一起来看看下面这个例题。
大屏幕展示例题。
例:
已知在四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。
求证:
四边形EFGH是平行四边形。
师:
谁来读一下这个题目?
生:
举手读题。
师:
该问题中的条件是什么,这些条件可否直接应用?
(可提问中上学生,为有困难学生提供适当台阶,面向全体。
)
生:
已知在四边形四边的中点,如果连结对角线就可以把四边形转化为三角形,就会有三角形中位线,这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH是平行四边形。
师:
分析的非常好!
请同学们沿着这个思路,证明该问题。
生先独立思考,然后小组内交流探究。
师叫一学生在白板上板演证明过程,其他同学在练习本上完成证明过程。
然后师生共同订正。
在学生解答过程中教师巡回检查了解情况,有针对性地辅导学困生并积极发现其微小进步及时表扬。
对带有普遍性的问题进行讲评。
通过例题解答了解学生对所学定理掌握情况,以便及时调整课堂教学。
师:
如何用语言文字表述例题的结论?
生讨论并展示:
顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形。
活动:
讨论探究
师:
在上面例题中,若四边形ABCD是平行四边形时,四边形EFGH是什么特殊四边形?
若四边形ABCD为矩形和菱形呢?
生思考、讨论、交流并展示。
生:
顺次连结平行四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形;顺次连结矩形四条边的中点,所得的四边形是菱形;顺次连结菱形四条边的中点,所得的四边形是矩形。
师:
得到的四边形是哪种特殊的四边形,跟什么有关系?
师提示:
主要利用平行四边形有关定理与三角形中位线来解答。
生思考、讨论、交流。
师在学生讨论探究的基础上,再用多媒体课件演示原四边形对角线与连结该四边形各边中点产生的新四边形之间的关系,让学生通过观察并总结。
学生小组内讨论交流,全班展示,教师引导总结。
生展示:
顺次连结四边形的各边中点,得怎样的平行四边形,取决于原四边形对角线的关系。
(1)当对角线相等,得菱形;
(2)当对角线互相垂直,得矩形;
(3)当对角线互相垂直且相等,得正方形;
(4)当对角线不等,得平行四边形。
四、学案练习,拓展延伸
在完成前面例题和探究内容的基础上,教师出示下面这组训练题,由学生根据刚刚得到的定理逐一回答得到结论,学会定理的简单应用。
大屏幕逐一展示下面练习。
学生分组练习,然后各组展示自己的成果。
1.解决课前分蛋糕的问题。
师:
如何解决课前分蛋糕的问题?
(大屏幕展示课前的情境问题,并解决,首尾呼应,感受成功的喜
悦)
生可作图设计,在小组内分别展示并评价,然后全班展示。
2.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=10m,那么A、B两点的距离m,理由是.
师:
认真读题并思考,然后举手回答!
生:
A、B两点的距离20m,理由是:
(略)
2.已知:
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,求连结各边中点所成三角形的周长.
师:
解答这个题之前先应该干什么?
生:
根据题意画出图形。
师:
同学们在练习本上画出图形并思考如何解答?
试着做一做。
生在练习本上画图解答,师巡回指导。
生先在小组内交流展示,然后在全班展示。
师引导学生订正并评价。
3.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点。
(1)若EF=5cm,则AB=cm;若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜
想。
师:
认真读题并思考,然后口答第一问!
要说明原因。
看谁思考的又快又正确!
学生陆续举手,师叫一学生口答。
生:
AB=10m,理由是:
(略);DE=4.5m,理由是:
(略)
师:
中线AF与中位线DE有什么特殊的关系?
先猜想一下!
生先在小组内讨论交流,然后在全班展示。
生:
AF与DE互相平分,因为四边形AEFD是平行四边形。
师:
如何证明你的结论呢?
生先在小组内交流展示,然后在全班展示。
师引导学生订正并评价。
师要求部分学有余力的学生在限时内完成;并由学生进行板演。
老师对所存在问题进行点评。
五、总结反思,归纳梳理
师:
通过本节课的学习,你有哪些收获?
先让学生谈,然后教师补充总结。
1.三角形中位线定义;三角形中位线定理;
2.定理的主要用途:
(1)证明平行。
(2)证明一条线段是另一条线段的2倍或一半。
(3)可用于解决实际生活当中不方便直接进行测量的问题。
3.方法小结:
(1)转化思想;
(2)常用辅助线做法:
①有中点连线而无三角形,要作辅助线构造三角形;
②有三角形和中点而无中位线,要连结两边中点得中位线。
六、作业设计
P49,练习1、3;P50习题5。
七、板书设计:
1.定义:
连接三角形两边中点的线段角做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
几何语言:
∵EF为∆ABC的中位线
∴EF∥BC且EF=BC
八、教学反思:
1.成功之处:
(1)本节课我把数学教学活动建立在了学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上,以“问题情境—建立模型—猜想验证—巩固提高—拓展延伸”的模式展开,引导学生从已有的知识和生活经验出发,提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法,让学生经历知识的形成与应用的过程,充分体现了学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。
(2)以学生为主体,采用启发式教学,鼓励学生大胆猜想,用观察、测量等方法来突破重点、化解难点,调动学生的积极性。
(3)在课堂上,充分运用小组学习模式,先由学生独立思考,组内同学畅所欲言,各抒己见,然后全班展示。
老师自始至终充当引导者,由浅入深、层层递进,以此发展学生思维能力的独立性与创造性,使学生真正成为学习的主体。
(4)让学生通过多媒体课件进行探究活动,使他们直观、具体、形象地感知知识,领悟研究数学问题的方法,有利于发展学生的创新意识与能力,增强学好数学的愿望和信心。
2.不足之处:
(1)时间分配不够合理,导入部分时间安排较多,以至于在定理证明时时间仓促,留给学生的思考时间和探究时间较少,没能充分发挥部分学生思维的积极性。
(2)在证明三角形中位线定理时辅助线添加上引导总结不够,对学生这方面的思维能力训练不够。
在今后的教学中要加大对学生分析问题、观察问题、研究问题能力的培养和规律的总结。
(3)对学生学习方法指导不够,尤其是学困生思维滞后,活动参与不深入,在以后教学中要加强学法指导和课后辅导。
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