高考数学抛物线复习教案.docx
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高考数学抛物线复习教案
高考数学抛物线复习教案
1抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
2抛物线的图形和性质:
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距:
③通径:
过焦点垂直于轴的弦长为。
④顶点平分焦点到准线的垂线段:
。
⑤焦半径为半径的圆:
以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆:
以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆:
以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式:
4抛物线的图像和性质:
①焦点坐标是:
,
②准线方程是:
。
③焦半径公式:
若点是抛物线上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:
,
④焦点弦长公式:
过焦点弦长
⑤抛物线上的动点可设为P或或P
一般情况归纳:
方程图象焦点准线定义特征
2=x>0时开口向右(/4,0)x=─/4到焦点(/4,0)的距离等于到准线x=─/4的距离
<0时开口向左
x2=>0时开口向上(0,/4)=─/4到焦点(0,/4)的距离等于到准线=─/4的距离
<0时开口向下
抛物线的定义:
例1:
点与点F(-4,0)的距离比它到直线l:
x-6=0的距离42,求点的轨迹方程.
分析:
点到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定义.
答案:
2=-16x
例2:
斜率为1的直线l经过抛物线2=4x的焦点,与抛物线相交于点A、B,求线段A、B的长.
分析:
这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:
把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.
解:
如图8-3-1,2=4x的焦点为F(1,0),则l的方程为=x-1.
由消去得x2-6x+1=0.
设A(x1,1),B(x2,2)则x1+x2=6.
又A、B两点到准线的距离为,,则点评:
抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。
例3:
(1)已知抛物线的标准方程是2=10x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点是F(0,3)求它的标准方程;
(3)已知抛物线方程为=-x2(>0)求它的焦点坐标和准线方程;
(4)求经过P(-4,-2)点的抛物线的标准方程;
分析:
这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p>0).特别是(3)题,要先化为标准形式:
,则.(4)题满足条的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解.
答案:
(1),.
(2)x2=12(3),;(4)2=-x或x2=-8.
例4求满足下列条的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2-4=0上
分析:
从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条,否则,应展开相应的讨论
解:
(1)设所求的抛物线方程为2=-2px或x2=2p(p>0),
∵过点(-3,2),
∴4=-2p(-3)或9=2p•2
∴p=或p=
∴所求的抛物线方程为2=-x或x2=,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是=-
(2)令x=0得=-2,令=0得x=4,
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)
当焦点为(4,0)时,=4,
∴p=8,此时抛物线方程2=16x;
焦点为(0,-2)时,=2,
∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8
∴所求的抛物线的方程为2=16x或x2=-8,
对应的准线方程分别是x=-4,=2
常用结论
①过抛物线2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A(x1,),1B(x2,2)是抛物线2=2px上的两点,则AB过F的充要条是12=-p2
③设A,B是抛物线2=2px上的两点,为原点,则A⊥B的充要条是直线AB恒过定点(2p,0)
例:
过抛物线2=2px(p>0)的顶点作弦A⊥B,与抛物线分别交于A(x1,1),B(x2,2)两点,求证:
12=-4p2.
分析:
由A⊥B,得到A、B斜率之积等于-1,从而得到x1、x2,1、2之间的关系.又A、B是抛物线上的点,故(x1,1)、(x2,2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到1、2的值.
证:
由A⊥B,得,即12=-x1x2,又,,所以:
,即.而12≠0.所以12=-4p2.
弦的问题
例1A,B是抛物线2=2px(p>0)上的两点,满足A៶B(为坐标原点)求证:
(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;
(2)直线AB经过一个定点
(3)作៶AB于,求点的轨迹方程
解:
(1)设A(x1,1),B(x2,2),则12=2px1,22=2px2,
∴1222=4p2x1x2,
∵A៶B,∴x1x2+12=0,
由此即可解得:
x1x2=4p2,12=─4p2(定值)
(2)直线AB的斜率===,
∴直线AB的方程为─1=(x─),
即(1+2)─12=2px,由
(1)可得=(x─2p),
直线AB过定点(2p,0)
(3)解法1:
设(x,),由
(2)知=(x─2p)(i),
又AB៶,故两直线的斜率之积为─1,即•=─1(ii)
由(i),(ii)得x2─2px+2=0(x᠒0)
解法2:
由៶AB知点的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)立即可求出
例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线2=x上移动,AB的中点为,求点到轴的最短距离,并求此时点的坐标
解:
如图,设A(x1,1),B(x2,2),(x,),则x=,=,
又设点A,B,在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,/,/与轴的交点为N,
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为=(x─)
由得162x2─8(2+2)x+2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴2=1/2,此时x=(x1+x2)==
∴=±即(,),N(,─)
例3设一动直线过定点A(2,0)且与抛物线相交于B、两点,点B、在轴上的射影分别为,P是线段B上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
解析:
设,
由得
①
又代入①式得②
由得代入②式得:
由得或,又由①式知关于是减函数且
且
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
(且)
例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)
①求抛物线方程;②求面积的最大值
解:
①设,AB中点
由得
又得
所以依题意,
抛物线方程为
②由及,
令得
又由和得:
例定长为3的线段AB的两个端点在抛物线2=x上移动,AB的中点为,求点到轴的最短距离,并求此时点的坐标
解:
如图,设A(x1,1),B(x2,2),(x,),则x=,=,
又设点A,B,在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,/,/与轴的交点为N,
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为=(x─)
由得162x2─8(2+2)x+2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴2=1/2,此时x=(x1+x2)==
∴=±即(,),N(,─)
综合类(几何)
例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点,如何证明直线Q平行于抛物线的对称轴?
解:
思路一:
求出、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则Q//x轴,为此,将方程联立,解出
直线P的方程为即
令,得点纵坐标得证.
由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.
思路二:
利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为、,那么”证.
设、、,并从及中消去x,得到,则有结论,即.
又直线P的方程为,,得.
因为在抛物线上,所以.
从而.
这一证法运算较小.
思路三:
直线Q的方程为的充要条是.
将直线的方程和直线QF的方程联立,它的解(x,)就是点P的坐标,消去的充要条是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条进行逆向思维,运算量也较小.
说明:
本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.
例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.
分析:
求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以为三角形的底,只要确定高的最大值即可.
解:
设AB所在的直线方程为.
将其代入抛物线方程,消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为.代入抛物线方程得
由得,这时.它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为.
例3直线过点,与抛物线交于、两点,P是线段的中点,直线过P和抛物线的焦点F,设直线的斜率为.
(1)将直线的斜率与直线的斜率之比表示为的函数;
(2)求出的定义域及单调区间.
分析:
过点P及F,利用两点的斜率公式,可将的斜率用表示出,从而写出,由函数的特点求得其定义域及单调区间.
解:
(1)设的方程为:
,将它代入方程,得设,则
将代入得:
,即P点坐标为.
由,知焦点,∴直线的斜率
∴函数.
(2)∵与抛物线有两上交点,∴且
解得或
∴函数的定义域为
当时,为增函数.
例4如图所示:
直线l过抛物线的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:
对于这抛物线的任何给定的一条弦D,直线l不是D的垂直平分线.
分析:
本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到、D距离相等得矛盾结论.
证法一:
假设直线l是抛物线的弦D的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线D的斜率存在,且不为0.
设、D的坐标分别为与.则
∴l的方程为
∵直线l平分弦D
∴D的中点在直线l上,
即,化简得:
由知得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦D的垂直平分线.
证法二:
假设直线l是弦D的垂直平分线
∵焦点F在直线l上,∴
由抛物线定义,到抛物线的准线的距离相等.
∵,
∴D的垂直平分线l:
与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.
例设过抛物线的顶点的两弦A、B互相垂直,求抛物线顶点在AB上射影N的轨迹方程.
分析:
求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点;待求得的关系后再用动点坐标表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.
解法一:
设
则:
,
,即,①
把N点看作定点,则AB所在的直线方程为:
显然
代入化简整理得:
,②
由①、②得:
,化简得
用x、分别表示得:
解法二:
点N在以A、B为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设,则以A为直径的圆方程为:
①
设,A⊥B,则
在求以B为直径的圆方程时以代,可得
②
由①+②得:
例6如图所示,直线和相交于点,⊥,点,以A、B为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点N的距离相等,若△AN为锐角三角形,,,且,建立适当的坐标系,求曲线段的方程.
分析:
因为曲线段上的任一点是以点N为焦点,以为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定所满足的抛物线方程.
解:
以为x轴,N的中点为坐标原点,建立直角坐标系.
由题意,曲线段是N为焦点,以为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段的两端点.
∴设曲线段满足的抛物线方程为:
其中、为A、B的横坐标
令则,
∴由两点间的距离公式,得方程组:
解得或
∵△AN为锐角三角形,∴,则,
又B在曲线段上,
则曲线段的方程为
例7如图所示,设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B,与圆在x由上方的交点为、D,P为AB中点,Q为D的中点.
(1)求.
(2)求△ABQ面积的最大值.
分析:
由于P、Q均为弦AB、D的中点,故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标,由两点距离公式即可求出.
解:
(1)设
由得:
,
由得,
同类似,
则,
(2),∴当时,取最大值.
例8 已知直线过原点,抛物线的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,且点和点关于直线的对称点都在上,求直线和抛物线的方程.
分析:
设出直线和抛物线的方程,由点、关于直线对称,求出对称点的坐标,分别代入抛物线方程.或设,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一:
设抛物线的方程为,直线的方程为,
则有点,点关于直线的对称点为、,
则有解得
解得
如图,、在抛物线上∴
两式相除,消去,整理,得,故,
由,,得.把代入,得.
∴直线的方程为,抛物线的方程为.
解法二:
设点、关于的对称点为、,
又设,依题意,有,.
故,.
由,知.
∴,.
又,,故为第一象限的角.
∴、.
将、的坐标代入抛物线方程,得
∴,即从而,,
∴,得抛物线的方程为.
又直线平分,得的倾斜角为.
∴.
∴直线的方程为.
说明:
(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质解,它的技巧性较强,一时难于想到.
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要重点掌握.
例9 如图,正方形的边在直线上,、两点在抛物线上,求正方形的面积.分析:
本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力.
解:
∵直线,,∴设的方程为,且、.
由方程组,消去,得,于是
,,∴(其中)
∴.
由已知,为正方形,,
∴可视为平行直线与间的距离,则有
,于是得.
两边平方后,整理得,,∴或.
当时,正方形的面积.
当时,正方形的面积.
∴正方形的面积为18或0.
说明:
运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条.
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为,求这彗星与地球的最短距离.
分析:
利用抛物线有关性质求解.
解:
如图,设彗星轨道方程为,,焦点为,
彗星位于点处.直线的方程为.解方程组得,
故.
.
故,得.
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为,所以彗星与地球的最短距离为或,(点在点的左边与右边时,所求距离取不同的值).
说明:
(1)此题结论有两个,不要漏解;
(2)本题用到抛物线一个重要结论:
顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:
设为抛物线上一点,焦点为,准线方程为,依抛物线定义,有,当时,最小,故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例11 如图,抛物线顶点在原点,圆的圆心是抛物线的焦点,直线过抛物线的焦点,且斜率为2,直线交抛物线与圆依次为、、、四点,求的值.分析:
本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解:
由圆的方程,即可知,圆心为,半径为2,又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为,设抛物线方程为,∵为已知圆的直径,∴,则.
设、,∵,而、在抛物线上,
由已知可知,直线方程为,于是,由方程组
消去,得,∴.
∴,因此,.
说明:
本题如果分别求与则很麻烦,因此把转化成是关键所在,在求时,又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.
11已知抛物线2=2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点
(1)求证:
|AB|=;
(2)求|AB|的最小值
(1)证明:
如右图,焦点F的坐标为F(,0)设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为=tanθ•(x-),与抛物线方程联立,消去并整理,得
tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+=0
此方程的两根应为交点A、B的横坐标,根据韦达定理,有x1+x2=
设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|,根据抛物线的定义,有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=
(2)解析:
因|AB|=的定义域是0<θ<π,又sin2θ≤1,
所以,当θ=时,|AB|有最小值2p
12已知抛物线2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成、n两部分,求证:
为定值,本题若推广到椭圆、双曲线,你能得到什么结论?
解析:
(1)当AB⊥x轴时,=n=p,
∴=
(2)当AB不垂直于x轴时,设AB:
=(x-),
A(x1,1),B(x2,2),|AF|=,|BF|=n,
∴=+x1,n=+x2
将AB方程代入抛物线方程,得
2x2-(2p+2p)x+=0,
∴
∴=
=
本题若推广到椭圆,则有=(e是椭圆的离心率);若推广到双曲线,则要求弦AB与双曲线交于同一支,此时,同样有=(e为双曲线的离心率)
13如右图,是抛物线2=x上的一点,动弦E、F分别交x轴于A、B两点,且|A|=|B|
(1)若为定点,证明:
直线EF的斜率为定值;
(2)若为动点,且∠EF=90°,求△EF的重心G的轨迹方程
(1)证明:
设(02,0),直线E的斜率为(>0),则直线F的斜率为-,
直线E的方程为-0=(x-02)
由得
2-+0(1-0)=0
解得0•E=,
∴E=,∴xE=
同理可得F=,∴xF=
∴EF=(定值)
(2)解析:
当∠EF=90°时,∠AB=4°,所以=1,由
(1)得E((1-0)2,(1-0))F((1+0)2,-(1+0))
设重心G(x,),则有消去参数0,得2=(x>0)
14在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点(1,-3)、N(,1),若点满足=t+(1-t)(t∈R),点的轨迹与抛物线2=4x交于A、B两点
(1)求证:
⊥;
(2)在x轴上是否存在一点P(,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的圆都过原点若存在,请求出的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由
(1)证明:
由=t+(1-t)(t∈R)知点的轨迹是、N两点所在的直线,故点的轨迹方程是:
+3=•(x-1),即=x-4
由(x-4)2=4xx2-12x+16=0
∴x1x2=16,x1+x2=12,
∴12=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16
∴x1x2+12=0故⊥
(2)解析:
存在点P(4,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点
由题意知:
弦所在的直线的斜率不为零,
故设弦所在的直线方程为:
x=+4,代入2=x,得2-4-16=0,
∴1+2=4,12=-16
A•B==-1
∴A⊥B,故以AB为直径的圆都过原点
设弦AB的中点为(x,),
则x=(x1+x2),=(1+2)
x1+x2=1+4+2+4=(1+2)+8=•(4)+8=42+8
∴弦AB的中点的轨迹方程为:
消去,得2=2x-8
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