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质点动力学
第七章质点动力学
静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。
运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律,但没有涉及运动和作用力之间的关系。
静力学和运动学所研究的内容相互独立,只是物体机械运动的一种特殊情况。
动力学则对物体的机械运动进行全面地分析,研究作用于物体的力与物体运动之间的关系,建立物体机械运动的普遍规律。
动力学以牛顿定律为基础,属于经典力学。
实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制,一是研究的物体运动的速度远小于光速(3x105km/s),二是研究的运动对象不能太小,系
统作用量(能量时间)远大于普朗克常数(6.62610-34Js)。
在通常的工程问题中,遇到的物体大都是宏观物体,而且其运动的速度也远小于光速。
有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。
动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。
质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略,则物体应抽象为质点系。
有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。
它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学,而前者是后者的基础。
本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型,然后分析和求解一个质点的动力学问题,最后讨论在非惯性系中质点的运动。
§7.1质点运动的动力学建模
1动力学基本定律
质点动力学的基础是牛顿三定律,这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。
这三个定律描述了动力学的最基本的规律,是经典力学的核心。
第一定律:
不受力作用的质点,将保持静止或匀速直线运动。
这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性,物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性,而匀速直线运动也称为惯性运动。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件,所以又成为惯性定律。
第二定律:
质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的力的大小,加速度的方向与力的方向相同,即
ma=F(7.1.1)
上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系,称为质点动力学的基
本方程。
若质点受到多个力作用时,则力F应为此汇交力系的合力。
第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系,同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量,而且加速度的大小与质点的质量成正比。
这说明支点的质量越大,其运动状态越不容易改变,也就是质点的惯性越大。
因此,质量是质点惯性的度量。
在地球表面,任何物体都受到重力的作用。
在重力的作用下,物体的加速度用g表示,
(7.1.2)
应该注意,虽然物体的质量和重量存在着上述关系,但是它们的意义却有本质的区别。
在经典力学中,作为物体惯性的度量,质量是常量,而重量是物体所受重力的大小,由于地球表面各处的重力加速度的数值略有不同,因此物体的重量在地面各处也有所不同,在工程实际计算中,一般取g=9.80m/s2。
在国际单位制(SI)中,长度、质量和时间的单位是基本单位,分别取为m(米)、kg(千
克)和s(秒);力的单位是导出单位。
质量为1kg的质点,获得1m/s2的加速度时,作用于
2该质点的力为1N(牛顿),即卩1N=1kgX1m/s。
第三定律:
两个物体间的作用力和反作用力大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律在静力学中曾作为公里叙述过,它不仅适用于平衡的物体,而且也适用于任何运动的物体。
在动力学中,第三定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。
必须指出,质点动力学的三个基本定律是人们在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的,并且被实践证明在一定的范围内适用。
第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系,这就是惯性参考系。
有了第一定律作为基础,才能进一步谈及第二定律。
我们在讲述运动学时,可以选择任意的参考系,完全取决于求解问题的方便。
但是在动力学中,因为要用到牛顿定律,必须严格区分惯性参考系和非惯性参考系。
只有对于惯性参考系,式(7.1.1)才成立。
对于非惯性系,不能简单的运用方程(7.1.1),详细讨论见本
章§7.3节。
综上所述,惯性参考系就是不受外力作用的质点在其中保持静止或匀速直线运动的参考系。
在一般的实际工程问题中,把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性系,可以得到相当精确的结果。
如果物体运动的尺度很大,所研究的问题精度要就又很高,比如人造卫星的运动轨道,那末地球自转的影响就必须考虑,应该取地心系作为惯性参考系。
在进一步,研究天体的运动时,地心运动的影响也不可忽略,必须取日心系作为惯性参考系。
在本书中,如无特殊说明,我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。
2质点运动微分方程
质点动力学第二定律,建立了质点的加速度与作用力之间关系的方程式,是质点动力学的基本模型。
当质点受到n个力Fi(i=1,2,…,n)作用时,式(7.1.1)应写为
n
(7.1.3)
ma八Fi
i=1
其中r为质点矢径,上标“•”表示对时间的二阶导数,以后将在动力学中使用,不另行说明。
式(7.1.4)是矢量形式的微分方程,也称为质点动力学基本方程。
在分析和计算实际问题时,可根据不同的坐标系将基本方程表示为相应形式的微分方程组,以便应用。
(1)直角坐标形式的质点运动微分方程
设矢径r在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi(i=1,2,…,n)在坐标轴上的投影分别
为Fxi,Fyi,Fzi,则基本方程(7.1.4)在直角坐标轴上的投影形式为
(2)自然坐标形式的质点运动微分方程
如果质点M的运动轨迹已知,则在质点上建立其运动轨迹的局部自然坐标系M.nb,如图
7-1所示。
设s为质点沿已知轨迹的弧坐标,并将基本方程(7.1.4)投影到自然轴系上,得
d2s
n2nn
(7.1.6)
二'Ft,mvFni,0='Fbi
i1■'i1iA
式中F,Fn和Fb分别是作用于质点的各力Fi在切线、主法线和副法线上的投影;二为运动轨
迹在该点处的曲率半径;v是质点的速度。
式(7.1.5)和(7.1.6)是质点运动微分方程两种常用的投影形式。
§7・2质点运动的动力学分析
1质点动力学的两类基本问题
质点动力学问题可分为两类:
一类是已知质点的运动,求作用于质点的力;另一类是已知作用于质点的力,求质点的运动。
这两类问题构成了质点动力学的两类基本问题。
求解质点动力学第一类基本问题比较简单,因为已知质点的运动方程,所以只需求两次导数得到质点的加速度,代入到质点运动方程中,得到一代数方程组,即可求解。
求解质点动力学第二类基本问题相对比较复杂。
因为求解质点的运动,一般包括质点的速度和质点的运动方程。
在数学上归结为求解微分方程的定解问题。
在用积分方法求解微分方程时应注意根据已知的初始条件确定积分常数。
因此,求解第二类基本问题时,除了要知道作用于质点上的力,还应知道运动的初始条件。
此外,有些质点动力学问题是
例7.2-1图
第一类和第二类问题的综合。
一般的解题步骤可归纳如下:
(1)根据题意选取某
质点作为研究对象;
(2)分析作用在质点上的主动力和约束反力;(3)根据质点的运动特征,建立适当的坐标系。
如果需要建立运动微分方程,应对质点的一般位置做出运动分析;(4)利用动力学关系进行求解。
例7.2-1:
质点M在固定平面Oxy内运动,如图所示。
已知质点的质量为m,运动方程为
x=acoskt,y=bsinkt
式中a,b,k均为常量。
求作用于质点M的力F。
解:
本例题属于第一类问题。
由运动方程求导可得到质点的加速度在固定坐标轴投影分量,即
x,y上的
…22…22ax=x--kacoskt--kx,ay=y--kbsinkt--ky
(a)
代入到方程(7.1.5)中得
22
Fx=-mkx,Fy=-mky
(b)
于疋力可表示成
22
F=FxiFyj二-mk(xiyj)=—mkr
(c)
可见作用力F与质点M的矢径r方向相反,恒指向固定点0。
这种作用线恒通过固定点的力称为有心力,这个固定点称为力心。
例7.2-2:
质量为m的质点在有阻尼的介质(如空气、水或油等)中无初速地自由下落。
已知阻力R的大小与质点下落的速度成正比,比例系数为c,求质点的运动规律。
解:
本例题属于第二类问题。
质点受到重力mg和阻力R的作用。
由于质点做一维运动,
可建立一维坐标Ox,坐标原点取为质点的下落点,x轴竖直向下,那末mg=mgi,R=-cxi,
其中负号表示阻力与速度反向。
于是,质点的运动微分方程是
mx=mg-cx
初始条件是
(b)
x(0)=0,x(0)=0
令v=mg/c,将(a)式写成
分离变量x和t,并求积分,得
设x=v *x vIn1_F=_gt IV丿 从上式将x解出得 x=v*1-eM (e) (f) 从式(f)可以看出,质点初始时速度为零,以后越来越大,最后当 t趋于无穷时,速度x趋 于v*,所以v*称为极限速度。 另外,在得出式(e)时我们曾假定x 这个解说明质点在下落的过程中,开始时重力大于阻力,因此质点是加速的,随着速度曾大阻力也曾大,加速度就减小了。 因为重力不变,最后阻力实际上与重力相等,质点就不再加速了,几乎以极限速度等速下降。 将关系式(f)进一步进行积分,求得质点的运动方程 (g) 为了便于分析,将式(g)写作量纲一变量的形式 xtt/ (h) (i) -1-e v 其中 * t=v/g=m/c 当t很小(t<<)时,将式(h)右端按变量t/展成幕级数,得到 (j) 略去高阶小量,并注意到式(i),得到 (k) (l) x>gt2/2 式(k)表明质点近似作无阻尼的自由落体运动。 当t很大(t>>)时,式(h)可写成 * X: V(t-.) 式(I)表明质点几乎作匀速直线运动,速度为v*。 这和前面讨论的结果完全吻合。 需要指出的是, 由式(i)定义的称为特征时间。 通过这个例子可以看出,要解决一个力学问题,必须在解题的全过程中结合物理意义及时分析和讨论。 本例所涉及的无量纲化方法和幕级数近似展开方法等都是解决实际力学问题的常用基本方法。 例7.2-3图 有的问题既需要求质点的运动规律,又需要求未知力,是第一类基本问题与第二类基本问题结合在一起的动力学问题。 下面举例说明这类问题的求解方法。 例7.2-3: —圆锥摆,如图所示。 质量为m的小球系于长I的绳上,绳的另一端系在固定点0。 如小球在水平面内作匀速 圆周运动,绳与铅垂线成谕。 求小球的速度v和绳的拉力F的大小。 解: 一小球为研究的质点,作用于质点上的有重力mg和绳的拉力F。 建立自然坐标,运动微分方程在自然轴上的投影式为 mFsinv,0=Fcosv-mg 因JIsin乙于是解得 八six,lg,―匹(b) \cos日cos6 例7.2-4: 曲柄连杆机构如图a所示。 曲柄OA在铅垂面内绕固定轴O以匀角速度•,转动,连杆AB分别与曲柄OA和滑块B铰接。 设OA=R,AB=L,滑块的质量为m,忽略摩擦以及曲柄和连杆的质量。 试求作用于滑块B上的力随角度油勺变化规律。 解: 选取滑块为研究对象,可视为质点。 由于连杆的质量不计,所以AB为二力杆,滑块 B的受力图如图(b所示。 F为杆AB作用在滑块B上的拉力,FN为滑道作用于滑块上的约束力。 选取直角坐标系Oxy,由式(7.1.5)并注意到y=0,可得 mxFcos: m0二Fsin「FN-mg 其中二=-t。 式(d)对时间t求二阶导数,得 将式(c)和式(e)代入到式(a),可求得 R2cos IUl2-R2Sin= 2222.242.2.2. R«(L-RSin日)cos20+RwsinBcos日I+772~~_2.2fl.2 (L-Rsin日) 点运动微分方程(7.1.5)可写出mx=mg-k•x)。 因为「st=mg/k,所以mg-kr.st=0。 最 后,运动微分方程和初始条件仍然与式(7.2.1)和(7.2.2)的形式一样。 但要注意的是在两种情况 中虽然坐标的原点都取在质点的平衡位置,然而在平衡位置时弹簧的状态却不一样。 现在我们求解初值问题(7.2.1)和(7.2.2)。 根据二阶常系数线性常微分方程的理论,可解出 (7.2.3) 其中 方程(a)是一个二阶非线性常微分方程,其解为一椭圆积分,反映了角度「随时间t的变化 规律,比较复杂。 如果单摆摆动的幅度很小,那末可将sin「按幕级数展开,略去二阶以上高 阶小量,得sin「一,带入到方程(a)中,得出单摆小幅振动时的运动微分方程为 (b) 上述这个例子中并不存在弹簧,但是重力的切线方向分量也具有恢复力的性质,所以得 出(b)与方程(7.2.1)完全相似,只是现在的变量「是一个角度,不再是位移。 对照式(7.2.4)可知 微幅摆动的频率为 当「很小时,将sin「用「来代替,从而将运动微分方程近似地化为线性微分方程,这种方法可定义为线性化方法。 线性化方法是解决工程实际数学问题中的经常用到的一种近似方法。 经线性化以后的近似数学模型称为线性系统,线性系统的数学问题相对要简单得多。 当然它反映的解与真实情况是有差别的,但在平衡位置附近(即=0附近)相差不大。 (2)单自由度系统的有阻尼自由振动 自由振动不受阻力的作用,根据式(724),振动的振幅不随时间改变,振动过程将无限地进行下去。 但实际中观察到的自由振动却随时间不断地减小,直到最后停止。 这种现象说明在振动过程中,系统除受恢复力的作用外,还存在着某种影响振动的阻力,这种阻力不断消耗着系统振动的能量,使振幅逐渐减小。 振动过程中的阻力通常称为阻尼。 当振动速度不大 时,由于介质粘性引起的阻力大小与速度v的大小成正比,这样的阻尼称为粘性阻尼。 粘性阻 Fc-CV 尼的阻力Fc可以表示为 (725) 其中比例常数c称为粘性阻尼系数,简称为阻尼系数,负号表示阻力与速度的方向相反。 例7.2-6: 带有阻尼元件的弹簧质量系统如图a所示。 设质点的质量为m,弹簧的刚度为k,阻尼元件的阻尼系数为c,分析质点的运动规律。 解: 与无阻尼情况下的弹簧质量系统分析方法相同,仍以平衡位置为原点建立坐标系Ox。 本例中作用在质点上的外力增加了阻力 Fc--cxi,运动微分方程(721)改变成 特征方程(b)的根有以下三种情况 (i)当n<;.-;n时,‘1=-ni\—n,‘2=-n-in_■n_,其中i为虚数单位。 式中;•-: s-•'n-n? ,而A,讦是由初始条件确定的积分常数。 式(C)是小阻尼情形下的质点自由振动的运动规律,这种振动振幅随时间不断减小,所以又称为衰减振动。 衰减振动的运动曲线如图b所示。 41LTT Aent & 匸 匕 --“’ 图b 在小阻尼自由振动的过程中,运动并不周期性地重复,但是质点经过平衡位置的时间间隔是相同的。 我们把这一相同的时间间隔称为准周期,用T表示准周期,显然有 2二22 上式说明准周期比无阻尼自由振动的周期要大一些。 第二种情况是在阻尼系数比较大时发生的,称为大阻尼情形。 方程 其中积分常数Cl和C2由初始条件确定。 根据不同的初始位移X0和初始速度Vo,质点的三种 Vo较大 第三种情况是是一种非常特殊的情形,称为临界阻尼情形。 方程 (a)解的一般形式是 x=e(CiC2t) (e) 式中积分常数Ci和C2由初始条件确定。 上式表明,质点的运动随时间的增长趋向平衡位置,其运动特征与第二种情形相同,不再具有振动的特点。 对于单自由度系统的自由振动,我们可以从物理上作这样的解释,当无阻尼时,质点以周期T作等幅振动。 有了阻尼后,由于阻力的作用使周期,即准周期「增大,使振幅衰减。 随着阻尼增大,当达到n》•中时,运动特征发生了质的变化,即振动特征消失了。 (3)单自由度系统的有阻尼受迫振动 由于阻尼的存在,自由振动都会逐渐衰减直至完全停止。 要使系统持续振动,应在系统 上施加激振力或激振位移等外界激励。 这类在外界激励作用下产生的振动称为受迫振动。 系 统在简谐激振力作用下的振动是最简单、最基本的受迫振动。 例7.2-7: 作用有简谐激振力F,并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图a所示。 设质点的质量为m,弹簧的刚度为k,简谐激振力的大 小F=Hsin・.t,阻尼元件的阻尼系数为c,分析质点的运动规律。 解: 选取平衡位置0为坐标原点,x轴铅直向下,则恢复力Fk= -kxi,粘性阻尼力Fc二-Cxi,简谐激振力F=Hsinti,根据式(7.1.5), 在直角坐标系中的质点运动微分方程为 mxcxkx二Hsint 将上式两端除以m,并令 Fk< O F c r m 1 rF x kI巴c 例7.2-7图a 整理后得 2 x2nx=hsin 这是有阻尼受迫振动微分方程的标准形式,是二阶线性常系数齐次常微分方程,其解由两部分组成: X=X1(t)X2(t) 式中X1对应于方程(a)的齐次方程的通解,即有阻尼自由振动情形的解。 的情形下,有 %=Ae"tsin(.2_n2t: ) 在小阻尼(n<-'n) (b) 式中x2为方程(a)由于激振力的作用产生的特解,设它有如下形式解: x2二bsin(1-<: ) (c) 22 -b-sin(,t-v)2nb,cos(,t-v)亠cnbsin(,t-v)=hsin,t(d) 上式右端可改写为如下形式: hsin=hsin(,t-v)v)-hcosin(t-v)hsinvcos(,t-v) 式(d)可整理为 b({-2)-hcosvkin(.t-v)2nb•-hsinvlcos(・t-v)=0 上式对任意时刻t成立,必须 22 b(■n-■)-hCOSJ-0 2nb■-hsinv-0 将上述两方程建立,可解出 (e) (f) 式中b为受迫振动的振幅,而7为受迫振动相位滞后激振力的相位角。 最后的方程(a)的通解为 x二AeJltsin(..*-n2tJbsin(t-R(g) 其中积分常数A和: 由运动的初始条件确定。 由式(g)可知,有阻尼的受迫振动由两部分组成。 第一部分是衰减振动(图b(a)),第二部 分是受迫振动(图b(b))。 合成结果如图b(c)所示。 例7.2-7图b 对单自由度系统的有阻尼受迫振动解的表达式,我们作进一步的分析和讨论。 由于阻尼的存在,解表达式(g)中第一项随时间的增加逐渐地衰减了,衰减振动对系统有明显影响的这段过程称为瞬态过程。 当衰减振动停止后,系统则按式(g)中第二项受迫振动的规律进行振动,其 中b表示受迫振动的振幅,而7表示受迫振动的相位落后于激振力的相位角。 瞬态过程以后的 这段过程称为稳态过程。 在研究受迫振动的问题中,分析和讨论的重点都集中在这一部分上。 由受迫振动的运动方程(c)可知,受迫振动的振动频率••等于激振力的频率,其振幅由式(e) 给出,可以看受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关,还与激振力的频率以及振动系统的参数m,k和阻尼系数c有关。 在工程实际问题中,通常最关心问题是稳态振动的振幅b。 在有的问题中希望b不超过某个许可值,以避免引起过大的噪声或造成破坏;在另一些问题中则希望b要大,即希望系统 能振动起来,达到预期的要求。 为了讨论方便,将(e)式写为量纲一比值的形式 bo 其中bo=H/k。 比值b/bo表示放大倍数,物理意义为弹簧上端的振幅被放大了多少倍而成为质点的振幅。 放大倍数与=■■A'n和.=n/,n的关系图称为响应曲线,如图c所示。 例7.2-7图C 从响应曲线可以分析出受迫振动的一些重要性质。 如果激振力频率比固有频率低得多,即■ /'n<<1,则b/bo1。 这说明在低频激振力的作用下,输出振幅(质点的振幅)与输入振幅(弹 簧上端的振幅)几乎相同。 如果激振力频率比固有频率高得多,即■■A'n>>1,则b/bo: 0。 在 高频激振力的作用下,输出振幅几乎等于零。 当激振力频率与固有频率很接近时,即,/「n,1, 则输出振幅有较大的数值。 另一方面,从响应曲线还可以看到,阻尼的大小对放大倍数有很大的影响。 如果阻尼非 图7-3质点相对非惯性系运动 (7.3.2) (7.3.3) 常小,而激振力频率••又非常接近固有频率「n,在这种条件下,受迫振动的振幅较大,系统将发生强烈的振动。 特别在极端的条件下,即无阻尼n,0,且.,=..n,稳态振动的振幅将成为无 限大,这种现象称为共振。 在工程实际问题中,一般地要避免出现共振,解决的方法有两个,一是加大阻尼系数,二是使激振力频率••和固有频率*相互分离。 §7.3非惯性系中的质点运动 1非惯性系中概述 牛顿定律只适用于惯性坐标系。 在解决实际的大多数问题中都是把地球作为一个惯性参考系,在这个惯性系中运用牛顿定律,所得的结果与实际符合得很好。 然而在严格的意义下,地球并不是惯性参考系。 地球的公转角速度(1.99x10-7rad/s)很小,一般可以忽略不计。 但 是地球自转角速度(7.29x10-5rad/s)所产生的一些现象,如南北走向的铁路轨道的则压力问题,自由落体相对于铅垂线的偏离问题,洲际弹道导弹轨道的修正问题等,就必须把地球作为一个非惯性系考虑。 研究非惯性系中的质点动力学问题,一般有两种方法。 一种是先用牛顿定律确定质点相对于惯性坐标系的运动,然后利用运动学的方法进行坐标变换,求得质点相对于非惯性系的运动。 另一种方法是直接导出质点相对于非惯性参考系的相对运动微分方程,再进行求解。 本节介绍后一种方法。 1非惯性系中质点相对运动动力学方程 设质量为m的质点M相对于一非惯性参系 O'x'y'z'运动,而此坐标系又相对于一贯性参考 系Oxyz运动,如图7-3所示。 质点在两个参考系中的加速度分别是相对加速度ar和绝对加速度 aa,F表示作用在质点上的力,它与参考系的选取无关。 在惯性参考系中牛顿定律成立,即有 ma=F(7.3
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