九年级数学上册232解直角三角形及其应用第4课时名师教案新版沪科版.docx
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九年级数学上册232解直角三角形及其应用第4课时名师教案新版沪科版.docx
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九年级数学上册232解直角三角形及其应用第4课时名师教案新版沪科版
第4课时 解直角三角形的应用
教学目标
1.了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题,能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
2.能够把实际问题转化为解直角三角形问题,从而把实际问题转化为数学问题来解决.
3.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识.
教学重难点
理解坡度的有关术语,解决有关坡度的实际问题.
教学过程
导入新课
长江三峡水利枢纽,是当今世界上最大的水利枢纽工程.放眼世界,从大海深处到茫茫太空,人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作.三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列.它不仅将为我国带来巨大的经济效益,还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献.
这节我们将学习水库大坝的有关问题.
推进新课
一、合作探究
【问题1】同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:
如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i′=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
通过前面的学习,学生已了解了坡度与坡角的概念,也基本了解了解实际应用题的方法,会将实际问题抽象为几何问题加以解决.
引导学生分析例题,图中ABCD是梯形,若BE⊥AD,CF⊥AD,梯形就被分割成Rt△ABE,矩形BEFC和Rt△CFD,AD=AE+EF+FD,AE,DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出,EF=BC=6m,从而求出AD.
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成,以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐,因此教师一定要做好示范,并严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,以培养学生的运算能力.
解:
作BE⊥AD,CF⊥AD,
在Rt△ABE和Rt△CDF中,
=
,
=
,
∴AE=3BE=3×23=69(m),
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
∵斜坡AB的坡度i=tanα=
≈0.3333,查表得α≈18°26′.
AB=BE÷sinα=72.7(m).
答:
斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5m,斜坡AB的长约为72.7m.
在求AB时,也可由
=
及勾股定理得出BE∶AB=1∶
,∴AB=23
≈72.7(m).
【问题2】利用上面的方法,你能解决下面的问题吗?
一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)
给学生充分的时间,以便让学生思考,写出解答过程.让一名学生上台板演.
二、巩固提高
利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影部分是挖去部分),已知渠道内坡度为1∶0.5,渠道底面宽BC为1米,求:
(1)横断面(等腰梯形)ABCD的面积;
(2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数.
分析:
(1)引导学生将实际问题转化为数学问题.
(2)要求等腰梯形ABCD的面积,首先要求出AD,如何利用条件求AD?
(3)土方数=等腰梯形ABCD的面积×100.
解:
(1)∵渠道内坡度为1∶0.5,渠深BE为0.6米,
∴AE=0.5×0.6=0.3(米).
∵等腰梯形ABCD,
∴FD=AE=0.3(米).
∴AD=2×0.3+1=1.6(米).
∴等腰梯形ABCD的面积为×(1.6+1)×0.6=0.78(米2).
(2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米3).
答:
横断面ABCD面积为0.78平方米,修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米.
三、达标训练
1.一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角α和坝底宽AD.(单位:
米,结果保留根号)
2.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?
(精确到0.01海里)
分析:
因为△APB不是一个直角三角形,所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形:
△ACP与△PCB.PC是东西走向的一条直线,AB是南北走向的一条直线,所以AB与PC是相互垂直的,即∠ACP与∠BCP均为直角.再通过65°角与∠APC互余的关系求∠APC;通过34°角与∠BPC互余的关系求∠BPC.
3.一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被拆除后,换成供轮椅行走的斜坡.根据这个城市的规定,轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最短的水平距离该是多少?
(精确到0.1米)
本课小结
1.在解决实际问题时,我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题,要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系,这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解.
2.利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤:
(1)审题.按题意画出正确的平面或截面示意图,并通过图形弄清已知和未知.
(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.如果没有现成的直角三角形可供使用,可通过作辅助线产生直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形中.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
1.解直角三角形的依据
在Rt△ABC中,∠C=90°,其边角关系如下:
(1)三边关系:
a2+b2=c2(勾股定理).
(2)三角关系:
∠A+∠B=∠C=90°.
(3)边角关系:
tanA=
,sinA=
,cosA=
.
2.常见解直角三角形的类型及解法
(1)已知斜边和一个锐角(如c,∠A)解直角三角形:
∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA.
(2)已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A)解直角三角形:
∠B=90°-∠A,c=
,b=
.
(3)已知两直角边(a,b)解直角三角形:
c=
,tanA=
,∠B=90°-∠A.
(4)已知斜边和一直角边(如a,c)解直角三角形:
b=
,sinA=
,∠B=90°-∠A.
3.用三角函数表示的三角形面积公式
如图,∵S△ABC=·CD=·CD,
又∵sinA=,
∴CD=b·sinA.
∴S△ABC=·CD=·b·sinA=·sinA.
由此可得三角形面积公式为S△ABC=·sinA,
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.
4.利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤
(1)审题,通过图形(如果题目没有图形,要画出图形),弄清已知和未知.
(2)找出有关的直角三角形,或通过作辅助线产生有关的直角三角形,把问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形,其中找出有关的直角三角形是关键.
注意正确理解有关角的含义:
(1)坡角;
(2)仰角、俯角;(3)方位角;(4)方向角.
5.解直角三角形常作的几种辅助线
解直角三角形解决问题时,有时没有直接能解的三角形,这时需要添加辅助线,构造直角三角形,现介绍几种常用的方法.
(1)梯形作高法
若梯形的内角中有特殊角时,一般过较短的底作梯形的高,可构造出含特殊角的直角三角形.
【例1】如图,塔AB和楼CD的水平距离为80m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°,试求塔高和楼高.
分析:
在直角梯形ABDC中,有特殊角∠BAC,过较短底CD的端点C作梯形的高CE,可构造出含特殊角的Rt△AEC.解Rt△ABD和Rt△AEC,得AB,AE,从而获得塔高AB和楼高CD.
解:
作CE⊥AB于E,已知∠ACE=45°,∠ADB=60°,BD=CE=80m.
分别解Rt△ABD和Rt△AEC,得AB=m,AE=80m.
∴CD=BE=AB-AE=80(
-1)m.
故塔高为80
m,楼高为80(
-1)m.
(2)延长四边形不相邻的两边使之相交法
有一对角均为直角,或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时,可延长不相邻的两边使之相交,构造含特殊角的直角三角形.
【例2】如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=1,∠BAD=30°,∠ABC=60°,四边形ABCD的面积为5
,求AD的长.
分析:
显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA,且它们互余,延长AD,BC相交于E,可得Rt△AEB.
解:
延长AD,BC相交于E,则∠E=180°-(30°+60°)=90°.
在Rt△AEB中,sin30°=,cos30°=,
可得BE=4,AE=.
S四边形ABCD=S△ABE-S△CED=×4×-×3DE=.
∴DE=,AD=AE-DE=.
奥赛链接
1.高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯.若每转(每层楼的楼梯分两转,楼梯转台不计)楼梯高度为2m,坡角为30°(如图所示),求至少共要地毯长多少米?
解:
在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,
∴AC=2tan30°=
.
∴AC+BC=
+2,
即每转楼梯要地毯
m.
从一楼到三楼共要地毯4×
=
m.
2.我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水,要铺设引水管线.如图,已知MN为引水工程某段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向有一村庄A,以A为圆心,500m为半径的圆形区域为村民居住的范围.取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400m,通过计算回答:
如果不改变方向,引水路线是否穿过该村庄?
解:
如图,过A作AD⊥MN于D.
∵∠1=30°,∠AMC=60°,
∴∠AMD=30°.
又∵∠2=∠1=30°,
∴∠ABD=75°-30°=45°.
在Rt△ABD中,BD=AD.
在Rt△AMD中,设AD为x,则AM=2x.
∴(400+x)2+x2=(2x)2,
解得x1=200(1+
),x2=200(1-
)(不合题意,舍去).
∵x=200(1+
)>500,
∴引水路线不会穿过村庄.
中国书法艺术说课教案
今天我要说课的题目是中国书法艺术,下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析:
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握,让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术,在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰,是中国人民勤劳智慧的结晶,是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪,书法从文字产生到形成文字的书写体系,几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标:
使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况,通过分析代表作品,获得如何欣赏书法作品的知识,并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点:
(一)教学重点
了解中国书法的基础知识,掌握其基本特点,进行大量的书法练习。
(二)教学难点:
如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备:
粉笔,钢笔,书写纸等。
4、课时:
一课时
二、教学方法:
要让学生在教学过程中有所收获,并达到一定的教学目标,在本节课的教学中,我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
(1) 欣赏法:
通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品,使学生对书法产生浓厚的兴趣。
(2) 讲授法:
讲解书法文字的发展简史,和形式特征,让学生对书法作进一步的了解和认识,通过对书法理论的了解,更深刻的认识书法,从而为以后的书法练习作重要铺垫!
(3) 练习法:
为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧,请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程:
(一)组织教学
让学生准备好上课用的工具,如钢笔,书与纸等;做好上课准备,以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
(二)引入新课,
通过对上节课所学知识的总结,让学生认识到学习书法的意义和重要性!
(三)讲授新课
1、在讲授新课之前,通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品,使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征,让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解,更深刻的认识书法,从而为以后的书法练习作重要铺垫!
A书法文字发展简史:
①古文字系统
甲古文——钟鼎文——篆书
早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”;到了夏商周时期,由于生产力的发展,人们掌握了金属的治炼技术,便在金属器皿上铸上当时的一些天文,历法等情况,这就是“钟鼎文”(又名金文);秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流,便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”,为了有别于以前的大篆又称小篆。
(请学生讨论这几种字体的特点?
)古文字是一种以象形为主的字体。
②今文字系统
隶书——草书——行书——楷书
到了秦末、汉初这一时期,各地交流日见繁多而小篆书写较慢,不能满足需要,隶书便在这种情况下产生了,隶书另一层意思是平民使用,同时还出现了一种草写的章草(独草),这时笔墨纸都已出现,对书法的独立创作起到了积极的推动作用。
狂草在魏晋出现,唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰;行书出现于晋,是一种介于楷、行之间的字体;楷书也是魏晋出现,唐朝达到顶峰,著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。
(请学生谈一下对今文字是怎样理解的?
),教师进行归纳:
它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。
B主要书体的形式特征
①古文字:
甲骨文,由于它处于文明的萌芽时期,故字形错落有致辞,纯古可爱,目前发现的总共有3000多字,可认识的约1800字。
金文,处在文明的发展初期,线条朴实质感饱满而丰腴,因它多附在金属器皿上,所以保存完整。
石鼓文是战国时期秦的文字,记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年,秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体,艺术价值很小。
②今文字:
隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体,课本图例《张迁碑》结构方正,四周平稳,刚劲沉着,是汉碑方笔的典范,章草是在隶书基础上更艺术化,实用化的字体,索靖《急就章》便是这种字体的代表作,字字独立,高古凝重,楷书有两大部分构成:
魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。
《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表,前者气势纵横,雄浑深厚,劲健绝逸是圆笔的典型;唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强,浑穆古拙、浑厚刚健,《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严,以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。
《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰,前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界,后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。
他们都是不拘泥于传统的章法和技能,对后世学书者产生了深远的影响;明代文征明的书法文雅自如,现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。
3、欣赏要点:
先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么?
[或如何来欣赏一幅书法作品?
]学生谈完后,对他们的观点进行归纳总结。
然后自己要谈一下自己的观点:
书法艺术的欣赏活动,有着不同于其它艺术门类的特征,欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益,也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容,去探讨言词语汇上的优劣。
进而得出:
书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式,从客观物象各种美的体态,安致这些独有的特性中,使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受(结合讲授出示古代书法名作的图片,并与一般的书法作品进行比较,让学生在比较中得出什么是格调节器高雅,什么是粗庸平常)。
书法可以说是无声的音乐,抽象的绘画,线条流动的诗歌。
四、课堂评价:
根据本节课所学的内容结合板书。
让学生体会到祖国书法艺术的博大精深,着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。
让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式,从客观物象各种美的体态,安致这些独有的特性中,使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。
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