1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案.docx
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1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案
1978年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理科考生五,六两题选做一题文科考生五,六两题选做一题,不要求做第七题)
一.(下列各题每题4分,五个题共20分)1.分解因式:
x2-4xy+4y2-4z2.
解:
原式=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)
2.已知正方形的边长为a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积
解:
设底面半径为r,则底面周长2πr=a
则r=
a,体积=πr2⋅a=π⎛
a⎫2a
⎪a.
2π⎝2π⎭4π
3.求函数y=的定义域
解:
∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域
4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值
解:
原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=2
2
-1
5.化简:
⎛1⎫
ç⎪.
41
⎝⎭(0.1)-2(a3b-4)2
41
解:
原式=
b2.
25
二.(本题满分14分)
已知方程kx2+y2=4,其中k为实数对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的内形,并画出显示其数量特征的草图
解:
1)k>0时,方程的图形是椭圆,中心在坐标原点,此时又可分为:
①k>1时,长轴在y轴上,半长轴=2,半短轴=2;
②k=1时,为半径r=2的圆;
③k<1时,长轴在x轴上,半长轴=
2,半短轴=2
YYY
k=1/4
X
如图:
2)k=0时,方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线y=±2
如图-x2+y2=
441
3)k<0时,方程为k
这时图形是双曲线,中心在坐标原点,实轴在y轴上如图:
Y
y=2
OXX
y=-2
三.(本题满分14分)
(如图)AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点,
求证:
1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN
1)证:
连CA,CB,则∠ACB=900
∠ACM=∠ABC∠ACD=∠ABCM
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△
ADCN
∴CM=CD同理CN=CD∴ABD
CD=CM=CN
2)∵CD⊥AB,∠ACD=900
∴CD2=AD·DB
由1)知AM=AD,BN=BD
∴CD2=AM·BN
四.(本题满分12分)
1836
已知log9=a(a≠2),18b=5.求log45.
18
解:
18b=5,∴log5=b.
log45=
log185⋅9=
log185+log189
=a+b.
log1818⋅2log1818+log1822-a
五.(本题满分20分)
已知△ABC的三内角的大小成等差数列,tgAtgC=2+3求角A,B,
C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于43求三角形各边a,b,c
的长(提示:
必要时可验证(1+3)2=4+23)
解:
A+B+C=180︒又2B=A+C.∴B=60︒,A+C=120︒
tgAtgC=2+
(1)
而tgA+tgC=(1-tgAtgC)tg(A+C)=(-1-3)(-
3)=3+
(2)
由
(1)
(2)可知tgA,tgC是x2-(3+3)x+2+=0的两根.解这方程得:
x1=1,x2=2+3
设A ∴A=45︒,C=120︒-45︒=75︒ 又知c上的高等于43,∴a=43 =8; b=43 =46; sin60︒ c=AD+DB=bcos45︒+acos60︒=43+4. sin45︒ 六.(本题满分20分) 已知: α,β为锐角,且 求证: α+2β=π 3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0, 2 由3sin2α+2sin2β=1,得: 3sin2α=cos2β. 由3sin2α-2sin2β=0,得: sin2β=3sin2α=3sinαcosα.. 2 ∴sin22β+cos2=9sin2αcos2α+9sin4α ∴sinα=1(α为锐角)3 ∴9sin2α=1. sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα(3sin2α)+cosα(3sinαcosα) =3sinα(sin2α+cos2α)=3sinα=1 ∴α+β=π 2 七.(本题满分20分,文科考生不要求作此题)已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)1)m是什么数值时,y的极值是0? 2)求证: 不论m是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同 一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论 3)平行于L1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交? 求证: 任 一条平行于L1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等 解: 用配方法得: ⎛2m+1⎫2 4m+54m+5 y=çx+2- ∴y的极小值为-. 44 ⎝⎭ 所以当极值为0时,4m+5=0,m=-5 4 2.函数图象抛物线的顶点坐标为(-2m+1 -4m+5 ), 24 即x=-2m+1=-m-1,y=-4m+5=-m-5, 2244 二式相减得: x-y=3.此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图象是一条4 直线,方程中不含m,因此,不论m是什么值,抛物线的顶点都在这条直线上.当m=-1,0,1时,x,y之间函数关系为 y+1=(x-1)2,y+5=(x+1)2,y+9=(x+3)2 图略. 424242 3.设L: x-y=a为任一条平行于L1的直线 与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解,消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0∴(x+m)2=1-a 因而当1-a≥0即a≤1时,直线L与抛物线相交,而a>1时,直线 L与抛物线不相交 当a≤1时,x=-m±1-a.即直线L与抛物线两交点横坐标为 - m- 1-a, - m+ 1-a. 因直线L的斜率为1,它的倾斜角为45︒ ∴直线L被抛物线截出的线段等于[(-m+ 而这与m无关 1-a)-(-m- 1-a)]=2 因此直线L被各抛物线截出的线段都相等 一九七八年副题 1. (1)分解因式: x2-2xy+y2+2x-2y-3解: 原式=(x-y-1)(x-y+3) (2)求sin30︒-tg0︒+ctgπ-cos25π 46 (3)求函数y= lg(25-5x) x+1 的定义域. 解: 25-5x>0,且x+1≠0.∴x<2且x≠-1为所求之定义域 解: 原式=3/4 (4)已知直圆锥体的底面半径等于1cm,母线的长等于2cm,求它 的体积 解: V=1π⋅12⋅ 3 =3π(cm3)3 (5)计算10(2+ 5)-1-( 1 500 -1 )2+30( 125 9 1 )2( 1 )2的值. 3 解: 原式=30 2.已知两数x1,x2满足下列条件: 1)它们的和是等差数列1,3,…的第20项; 2)它们的积是等比数列2,-6,…的前4项和 求根为1, x1 1的方程 x2 略解: x1+x2=39,x1x2=-40故: 1/x1+1/x2=-39/40 1/x1·1/x2=-1/40 所求方程为: 40x2+39x-1=0. 3.已知: △ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点,求证: ∆ABC的面积= ∆ACD的面积 AB2 AC2 =BD CD 证: 因为AD是△ABC的外接圆的切线,所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD ∴∆ABC的面积= ∆ACD的面积 AB2 AC2 BECD 作AE⊥BD于点E,则 ∆ABC的面积= 1 BD⋅AE 2 =BD. ∆ACD的面积 1CD⋅AECD 2 4.(如图)CD是BC的延长线,AB=BC=CA=CD=a,DM与AB,AC分别交于M点和N点,且∠BDM=α 求证: BM= 4atgα, 3+tg CN= 4atgα 3-tgαA α 证: 作ME⊥DC于E,由△ABC是等M 边三角形,在直角△MBE中,N α BE= 1BM,ME=BM, BEFD 22 3BM ∴tgα=ME= ED 2,∴BM= 2a-1BM 2 4atgα3+tgα 类似地,过N作NF⊥BC于F,在直角△NFC中,可证: CN= 4atgα3-tgα 5.设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0)求证: 1)如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方 2)如果f(x)与F(x)=(2x2+ax+b)2表示同一个多项式,那么 p2-4q-4(m+1)=0 p2-4q 证: 1)m+1=,4 ∴432 p2-4qp2-4q2 f(x)=4x-4px+4qx +2p⋅ x+() 44 =2222 p2-4qp2-4q2 (2x-px)-(p-4q)x +(2px)⋅+()44 =222 p2-4qp2-4q2 (2x-px)-2(2x -px)⋅+()44 =(2x2 - px- p2-4q4 )2. ∴f(x)等于一个二次三项式的平方 2)4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)+(m+1)2=(2x2+ax+b)2 =4x4-4ax3+(a2+4b)x2+2abx+b2, ⎧-4p=4a (1) ⎪4q=a2+4b (2) ⎨2p(m+1)=2ab(3) ⎪⎩(m+1)2=b2(4) 4q-p2 由 (1)可得a=-p代入 (2)得b= 4 4q-p2 将a,b的表达式代入(3),得2p(m+1)=-2p⋅, 4 ∴p[p2-4q-4(m+1)]=0.p≠0,∴p2-4q-4(m+1)=0. 6.已知: asinx+bcosx=0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………② 其中a,b不同时为0 求证: 2abA+(b2-a2)B+(a2+b2)C=0 证: 设siny-=b,cosy=a 则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数), ∴x=y+kπ 又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=a2-b2 a2+b2 -2aba2+b2 代入②,得 - 2abAa2+b2 (a2-b2)B a2+b2C, ∴2abA+(b2-a2)B+(a2+b2)C=0. 7.已知L为过点P(-3 3,-3)而倾斜角为300的直线,圆C为中心在 22 坐标原点而半径等于1的圆,Q表示顶点在原点而焦点在( 2,0)的抛 8 物线设A为L和C在第三象限的交点,B为C和Q在第四象限的交点 1)写出直线L、圆C和抛物线Q的方程,并作草图 2)写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式 3)设P'、B'依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB'、 B'P'、P'P、PA所包含的面积 解: 1)直线L、圆C和抛物 Y 线Q的方程为 L: y=3x 3 C: x2+y2=1X Q: y2=2x 2 草图如图 2)由 ⎧ ⎪y= x解得A点横坐标x=-. ⎨32 ⎪⎩x2+y2=1 线段PA的函数表达式为: Y f(x)=3x,(-33≤x≤-3) 1322 ⎧y2= x解得B点横坐标x=. P'B' OX ⎨22 ⎩⎪x2+y2=1 圆弧AB的函数表达式为: B ACQ LP f(x)=-1-x2,(-3≤x≤2) 222 抛物线上OB一段的函数表达式为: f(x)=-2x.(0≤x≤2). 322 3)∆POP'的面积=9 8 扇形OAB的面积= 3. 7π. 24 ∆BOB'的面积=1. 4 故所求面积=93+7π+1(图中阴影部分 8244
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