高考数学考点测试62离散型随机变量及其分布列.docx
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高考数学考点测试62离散型随机变量及其分布列
考点测试62 离散型随机变量及其分布列
高考概览
考纲研读
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性
2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用
一、基础小题
1.已知离散型随机变量X的分布列为:
X
1
2
3
…
n
P
…
则k的值为( )
A.B.1C.2D.3
答案 B
解析 由分布列的性质知k=1.
2.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为( )
A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4
答案 C
解析 第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则共放回2个球,……,共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )
A.0B.C.D.
答案 C
解析 设失败率为p,则成功率为2p.
∴X的分布列为:
X
0
1
P
p
2p
则“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,
∴由p+2p=1,得p=,即P(X=0)=.故选C.
4.某人在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同且都大于5,于是他随机拨最后四位数字,设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A.24B.20C.18D.4
答案 A
解析 由于后四位数字两两不同,且都大于5,即是6,7,8,9四位数字的不同排列,则有A=24种.
5.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P==.
6.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,…,10,且P(ξ=k)=ak(k=1,2,…,10),则a的值为( )
A.B.C.110D.55
答案 B
解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,…,10,且P(ξ=k)=ak(k=1,2,…,10),∴a+2a+3a+…+10a=1,∴55a=1,∴a=.
7.15个村庄有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是( )
A.P(X=2)B.P(X≤2)
C.P(X=4)D.P(X≤4)
答案 C
解析 X服从超几何分布,故P(X=k)=,k=4.
8.已知随机变量X的分布列为:
P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2 A.B.C.D. 答案 A 解析 P(2 9.老师计划在晚修19: 00~20: 00解答同学甲、乙的问题,预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的,则两人独自去时不需要等待的概率为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 设19: 00~20: 00对应时刻[0,60],甲、乙问问题的时刻为x,y,则x,y∈[0,60], 两人独自去时不需要等待满足|x-y|≥20, 概率为=.故选B. 10.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定: 对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分);若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是________. 答案 -1,0,1,2,3 解析 X=-1,甲抢到1题但答错了,而乙抢到了2题且都答错了; X=0,甲没抢到题,乙抢到3题且答错至少2题,或甲抢到2题,但答时1对1错,而乙答错1题; X=1时,甲抢到1题且答对,乙抢到2题且至少答错1题,或甲抢到3题,且1错2对; X=2时,甲抢到2题均答对; X=3时,甲抢到3题均答对. 二、高考小题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 三、模拟小题 11.(2018·孝感一模)已知随机变量ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 P a b c 其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由题意知a,b,c∈[0,1],且解得b=,又函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点,故对于方程x2+2x+ξ=0,Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,所以P(ξ=1)=.故选B. 12.(2018·云南师大附中月考)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P的值为( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 ∵P(X=n)=(n=1,2,3,4), ∴+++=1,∴a=, ∴P=P(X=1)+P(X=2)=×+×=.故选D. 13.(2018·石家庄质检)如图所示,A,B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)=________. 答案 解析 解法一: 由已知得ξ的可能取值为7,8,9,10, ∵P(ξ=7)==, P(ξ=8)==, P(ξ=9)==, P(ξ=10)==, ∴ξ的概率分布列为: ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=++=. 解法二: P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-=. 一、高考大题 1.(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16,现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; ②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率. 解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. ②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥. 由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以,事件A发生的概率为. 2.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位: ℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位: 瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位: 元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 解 (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4. 因此X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此E(Y)=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n. 当200≤n<300时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元. 3.(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列; (2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得: 1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由 (1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位: 元). 当n=19时, E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040(元). 当n=20时, E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080(元). 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值.故应选n=19. 4.(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,. (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=××=, P(X=1)=××+××+××=, P(X=2)=××+××+××=, P(X=3)=××=. 所以,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) =×+×=. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 二、模拟大题 5.(2018·山东潍坊一模)某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数μ=14,标准差σ=2,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值. (1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X,依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率): ①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3σ 评判规则: 若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修; (2)将数据不在(μ-2σ,μ+2σ)内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为Y,求Y的分布列与数学期望E(Y). 解 (1)由题意知,μ=14,σ=2,由频率分布直方图得 P(μ-σ P(μ-2σ P(μ-3σ ∵不满足至少两个不等式成立, ∴该生产线需要检修. (2)由 (1)知P(μ-2σ ∴任取1次是次品的概率为0.06=, ∵任取2件产品得到的次品数Y的可能取值为0,1,2, 则P(Y=0)=2=; P(Y=1)=C××=; P(Y=2)=2=. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P ∴E(Y)=0×+1×+2×=. 或E(Y)=np=2×= 6.(2018·湖南湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝,并随机抽取了40只统计质量,得到结果如表所示: 质量(g) [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55] 数量(只) 6 10 12 8 4 (1)若购进这批生蚝500kg,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数); (2)以频率估计概率,若在本次购买的生蚝中随机挑选4个,记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X,求X的分布列及数学期望. 解 (1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为 ×(6×10+10×20+12×30+8×40+4×50)=28.5(g), 所以购进500kg生蚝,其数量为500000÷28.5≈17544(只). (2)由表中数据知,任意挑选一只生蚝,质量在[5,25)间的概率为, 由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4, P(X=0)=4=, P(X=1)=C13=, P(X=2)=C22=, P(X=3)=C31=, P(X=4)=4=. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. 7.(2018·河南安阳一模)某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查: 先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x分布在[50,100)内,且销售量x的分布频率 f(x)= (1)求a的值并估计销售量的平均数; (2)若销售量大于或等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3天来自X个组,求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率). 解 (1)由题意知解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,9, 结合f(x)= 得-0.5+-0.5+-a+-a+-a=1,则a=0.15. 可知销售量分布在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3, ∴销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81. (2)销售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2∶3∶3,所以在各组抽取的天数分别为2,3,3. X的所有可能取值为1,2,3, P(X=1)===, P(X=3)===, P(X=2)=1--=. X的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望E(X)=1×+2×+3×=. 8.(2018·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品,产品出厂前需要对产品进行性能检测.检测得分低于80的为不合格品,只能报废回收;得分不低于80的为合格品,可以出厂.现随机抽取这两种产品各60件进行检测,检测结果统计如下: 得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 甲种产品的件数 5 10 34 11 乙种产品的件数 8 12 31 9 (1)试分别估计甲,乙两种产品下生产线时为合格品的概率; (2)生产一件甲种产品,若是合格品,可盈利100元,若是不合格品,则亏损20元;生产一件乙种产品,若是合格品,可盈利90元,若是不合格品,则亏损15元.在 (1)的前提下: ①记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望; ②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率. 解 (1)甲种产品为合格品的概率约为=, 乙种产品为合格品的概率约为=. (2)①随机变量X的所有可能取值为190,85,70,-35, 且P(X=190)=×=, P(X=85)=×=, P(X=70)=×=, P(X=-35)=×=. 所以随机变量X的分布列为 X 190 85 70 -35 P 所以E(X)=++-=125. ②设生产的5件乙种产品中合格品有n件,则不合格品有(5-n)件, 依题意得,90n-15(5-n)≥300, 解得n≥,又因为0≤n≤5,且n为整数,所以n=4或n=5, 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A,则P(A)=C41+5=.
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