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复数的运算说课稿
复数的运算说课稿
林萍萍
2012-10-21
一、说教材
(一)教材的地位与作用:
1、依据新大纲及教材分析,复数四则运算是本章知识的重
点。
2、新教材降低了对复数的要求,只要求学习复数的概念,复数的代
数形式及几何意义,加减乘除运算及加减的几何意义。
因此,复数的
概念,复数的代数运算是重点,在教学中要注意与实数运算法则和性
质的比较,多采用类比的学习方法,在复数的概念和复数的代数运算
的教学中,应避免烦琐的计算,多利用复数的概念解决问题。
。
3、将实数的运算通性、通法扩充到复数,是对数学知识
的一种创新,有利培养学生的学习兴趣和创新精神。
(二)学情分析:
1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。
2、学生知识经验与学习经验较为丰富,以具有类比知识点
的学习方法。
3、学生思维活泼,积极性高,已初步形成对数学问题的合
作探究能力。
4、学生层次参差不齐,个体差异比较明显。
(三)教学目标:
1、知识目标:
掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方
运算法则。
2、能力目标:
培养学生运算的能力。
3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣,勇于创新
的精神。
(四)教学重点:
复数的概念,复数的代数运算是重点
(五)教学难点:
复数代数形式的乘、除法法则。
教学方法:
(六)启发式教学法关键:
掌握复数加法、减法的定义和复
数相等定义的运用。
二、说教法:
1、本节课通过复习整式的运算,复数的运算,通过类比
思想体会整式的运算与复数的运算的共性,使学生体会其中
的思想方法,培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问
题的能力。
2、例题的学习,使学生在学会复数运算的基础上归纳计
算方法,提高运算能力,归纳、概括能力。
三、说学法:
1、复习已学知识,为本节课学习作铺垫。
通过对数系学
习的回忆,引出课题,激发学生学习动机。
2、让学生板演运算法则,有利于培养学生创新能力和主
动实现学习目标。
3、通过例题学会复数的运算,归纳运算简便方法。
培养
学生归纳问题、转化问题的努力。
四、说课过程:
(一)、复习提问:
1、1.虚数单位i:
(1)它的平方等于-1,即i21;
(2)实数可
以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律
仍然成立
2、i与-1的关系:
i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1
的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i
3、复数的概念:
形如
a+bi
(a,b∈R)叫做复数,a,b分别叫
做它的实部和虚部。
4、复数的分类:
复数
a+bi
(a,b∈R),当b=0时,就是实数;
当b≠0时,叫做虚数;当a=0,b≠0时,叫做纯虚数;
5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是
a1=a2,
b1=b2。
实数(b=0)
复数Z
abi
一般虚数(b
0,a
0)
虚数(b0)
0,a0)
6、复数的分类:
纯虚数(b
虚数不能比较大小,只有等与不等。
即使是也没有大小。
uuruur
7、复数的模:
若向量OZ表示复数z,则称OZ的模r为复数z
的模,
z|abi|a2
b2
;
积或商的模可利用模的性质(
1)z1Lzn
z1z2Lzn,
(2)
z
z1
1
z20
z2
z2
8、复平面、实轴、虚轴:
点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复
y
Z(a,b)
b
数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表
示,这个建立了直角坐标系来表示复
o
ax
数的平面叫做复平面,
也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫
做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为
(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原
点外,虚轴上的点都表示纯虚数
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,
即
复数zabi
一一对应
复平面内的点
Z(a,b)
(二)类比代数式,引入复数运算:
一、复数代数形式的加减运算
类似根据代数式的加减法,
则复数z1与z2的和:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
a,b,c,d
R
复数z1
与z2的差:
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
a,b,c,dR
二、复数的加法运算满足交换律和结合律
1、复数的加法运算满足交换律:
z1+z2=z2+z1.
证明:
设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R).
∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.
z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.
又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1.
∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.
2、复数的加法运算满足结合律:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
证明:
设z1=a1+=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈
R).
∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i
=[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i
=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.
z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i]
=[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i
=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i
∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).
∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律三、复数代数形式的加减运算的几何意义
复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实
部,虚部与虚部分别相加
(减).
Z(a,b)
一一对应
uuur
1.复平面内的点
平面向量OZ
2.复数zabi
一一对应
uuur
平面向量OZ
3.复数加法的几何意义:
设复数z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所
对应的向量为OZ1、OZ2,即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a,b),OZ2=(c,d)以OZ1、OZ2为邻边
作平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ对应的向量是OZ,
∴OZ=OZ1+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i4.复数减法的几何意义:
复数减法是加法的逆运算,
设z=(a-c)+(b-d)i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以OZ为一条对角线,OZ1为一条边画平行四边形,
那么这个平行四边形的另一边
OZ
所表示的向量
OZ2
就与复
2
uuuur
uuur
数z-z
的差(a-c)+(b-d)i
对应
由于OZ2
Z1Z,所以,两个复
1
数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
讲解范例:
例1计算:
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
解:
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i
例2计算:
(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)++(-
2002+2003i)+(2003-2004i)
解法一:
原式=(1-2+3-4+-2002+2003)+(-2+3-4+5+
+2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.
解法二:
∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,
(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
(2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i.
相加得(共有1001个式子):
原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)
=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i
例3已知复数z1=2+i,z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B,求AB对应的复数z,z在平面内所对应的点在第几象限解:
z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,
∵z的实部a=-1<0,虚部b=1>0,∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.
点评:
任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应
的复数减去始点所对应的复数所得的差
.即AB所表示的复
数是zB-zA.,而BA所表示的复数是
zA-zB,故切不可把被
减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同,那么向量AB所对应的复数是惟一的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关
5、复数的乘除法运算:
复数的乘法:
z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
a,b,c,dR
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R中正整数指数的运算律
在复数集C中仍然成立.即
对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,
n
n
n
(z1z2)=z1
z2.
6、共轭复数:
若两个复数的实部相等,而虚部是互为
相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;特别地,虚部不为
1的两个共轭复数也叫做共轭虚数;
zzabi,zabia,bR,两共轭复数所对应的点或向量关于实
轴对称。
z|z|a2
b2
2
2
2
2
z1z2z1
z2,z1z2
z1z2,
z1
z1
zza
b
R,zzz
z,
z2
z2
z1
a
bi
ac
bd
bcad
i
7、复数的除法:
z2
(a+bi)
(c+di)=c
di
=c2
d2
c2
d2
a,b,c,dR,分母实数化是常规方法
复数的运算,典型例题精析:
(1+i)2
例4.
(1)复数
1-i等于(
)
-i
+i
C.-1+i
D.-1-i
(1+i)2
2i
1i
i(1i)
解析:
复数
1-i=1i
,选C.
(2)若复数z同时满足z-z=2i,z=iz(i为虚数单位),则z
=
.
ZiZ
2iZ
2i
i
1
1
解:
已知
i
;
(3)设复数z满足关系z
|z|2
i,求z;
解:
设z=a+bi(a,b为实数),由已知可得abi
a
a2
b2
2
3
a
b
1
b
由复数相等可得:
,解得
4
设z=a+bi-x+yi(a,b为实数)复数问题实数化。
a2
b2
2
i
1
z
3
i
,所以4
(4)若x
C,解方程|x|
13i
x
解:
设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:
a2
b2
1a(3b)i,由复数相等
a2
b2
1
a
的定义可得:
3b
0
∴a=-4,b=3,∴x=-4+3i。
例4:
(1)复数z满足|z
i|2
|z
i|2
1,则z对应的点在复平面内表示
的图形为(A)
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
解:
令z=x+yi(x,y∈R),则x2+(y+1)2-[x2+(y-1)2]=1,∴y=1/4。
故
选A。
8.复数的代数式运算技巧:
(1)i的周期性:
i4=1,所以,i4n+1=i,i4n+2=-1,
i4n+3=-i,
i4n=1
n
Z
i4n
i4n1i4n2
i4n3
0nZ
(2)①(1i)2
2i
②(1i)2
2i
1i
i
1i
i
③1i
④1i
1
3
(3)“1”的立方根
2
i
2的性质:
2
1
1
1
①31②
③1
2
0
④
⑤
扩充知识:
9、特别地,
zuuurAB
B
A.,zuuurAB
AB
zB
zA为两点间的距离。
z-z
|zz1||z
z2|z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线;|z
z0|r,
z对应的点的轨迹是一个圆;|zz1|
|z
z2|2a
Z1Z2
2a,z对应的
点的轨迹是一个椭圆;|z
z1|
|zz2|
2a
Z1Z2
2a
,z对应的点的
轨迹是双曲线。
z1
z2
z1
z2
z1
z2
z1
2
z1
2
2z1
2
2
10、显然有公式:
z2
z2
z2
11、实系数一元二次方程的根问题:
(1)当
b2
4ac
0时,方程有两个实根
x1,x2。
(2)当
b2
4ac
0时,方程有两个共轭虚根,其中
x1x2
。
x1
2
x2
2
x1x2
c
x1,2
b
i
此时有
2a
。
a且
注意两种题型:
(1)
x1
x2
(2)x1
x2
虚系数一元二次方程有实根问题:
不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。
但仍然适用韦达定理。
已知x2x1是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根,求x2x1
的方法:
(1)当
b2
4ac
0时,
x2x1
(x1
x2)
2
b2
4ac
4x1x2
a
(2)当b24ac0时,
x2x1
(x1x2)
2
4acb2
4x1x2
a
已知
x
x
2是实系数一元二次方程ax
2
bx
c0
的两个根,求
x2
x1
的
1
方法:
(1)当
b2
4ac
0时,
c
x2
x1
x1
x2
b
①x1
x2
0,
即a
0
,则
a
c
x2
x1
x1
x2
(x1
x2)2
4x1x2
b2
4ac
②x1
x2
0,
即a
0
,则
a
(2)当
b2
4ac
0时,
x2
x1
2x1
2
x1
x2
2c
a
2
3
i
2
1996
例6
(1)计算:
1
23i
1i
答案:
1i
(2)设复数z满足:
|z
3
3i|
3,求|z|的最大值与最小值;
解:
|z|
的最大值为33,最小值为
3;
(3)若xC,解方程|x|
13i
x
解:
设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:
a2
b2
1a(3b)i,由复数相等
3
a2
b2
1
a
的定义可得:
b
0
∴a=-4,b=3,∴x=-4+3i。
(4)设z
C,1|z|
2,则复数u
z(1
i),在复平面内对应的图形面积
为_______。
解:
∵|u|=|
z
|?
|1+i|=
2
|z|
,∴
2
≤|u|≤2,故面积
S=[22
(2)2]
2
。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例4:
已知z=1+i,a,b为实数,
(1)若ω=z2+3z-4,求|ω|;
z2
az
b
i
(2)若z2
1
z
1
,求a,b的值。
解:
(1)ω=(1+i)2+3(1-i)-4=―1―i,∴|
(ab)
(a
2)i
(2)由条件
i
1i
,∴(ab)
【思维点拨】利用复数的充要条件解题。
课后思考题:
|
2。
a
1
(a
2)i1i,∴b
2。
z
例5:
设z
C,且z1
是纯虚数,求|z
i|的最大值。
解:
令
z=x+yi
(x,y
∈R),则
z
x2
y2
x
y
z
y
z1
(x1)
2
y
2
(x
1)
2
y
2
,∵z1
是纯虚数,
P
x2
y2
x
0
(x
1)2
y2
1(y
0)
x
y
0
O1/2
∴
,即
2
4
,由数形
-1
结合可知本题是求圆
(x
1)2
y2
1(y0)
2
4
上的点
5
1
到A(0,-1)的最大距离。
∴|zi|max=|PA|=2
。
课后题:
书上与作业本课后习题
(三)、归纳小结:
1、复数加减乘除的运算公式与龚二附属定义与应用
2、复数加减乘除的几何意义
3、复数的代数式运算技巧
4、复数加减乘除的拓展应用
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- 复数 运算 说课稿