河南中考数学试题解析版.docx
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河南中考数学试题解析版
2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题
数学(解析版)
注意事项:
1.本试卷共6页,三个大题,满分120分,考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。
1.下列各数中最大的数是()
A.5B.3C.πD.-8
A【解析】本题考查实数的比较大小.∵732.13≈,π≈3.14,∴5>π
8-,∴最大的数
为5.
2.如图所示的几何体的俯视图是()
B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断,俯视图是从上往下看得到的图形,从上面看
可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线,故B选项符合题意.3.据统计,2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元,将数据40570亿用科学记数法表示为()
A.4.0570×109B.0.40570×1010C.40.570×1011D.4.0570×1012
D【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1亿=108,40570=4.057×104,∴40570亿=4.057×104×108=4.0570×1012.
4.如图,直线a,b被直线e,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为()A.55°B.60°C.70°D.75°
CD
BA第2题
db
a
A【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.∵∠1=∠2,
∴a∥b.∴∠5=∠3=125°,∴∠4=180°-∠5=180°-125°=55°.
5.不等式组⎩
⎨⎧>-≥+13,05xx的解集在数轴上表示为()
C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5≥0,解得:
x≥
-5;由不等式3-x>1,解得:
x<2,则该不等式组的解集为-5≤x<2,故C选项符合.
6.小王参加某企业招聘测试,他的笔试,面试、技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次按照2:
3:
5的比例确定成绩,则小王的成绩是()A.255分B.84分C.84.5分D.86分
C【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得865
325
90380285=++⨯+⨯+⨯=
x—
,∴
小王成绩为86分.
7.如图,在□ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为()
A.4B.6C.8D.10
C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质,以及基本的尺规作图.设AE与BF交于点O,∵AF=AB,∠BAE=∠FAE,∴AE⊥BF,OB=
2
1
BF=3在Rt△AOB中,AO4=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC∴∠FAE=∠BEA,
C
D
B
A
E
FC
B
G
第7图
∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,∴AE=2AO=8.
8.如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,…组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2
π
个单位长度,则第2015秒时,点P的坐标是()A.(2014,0)B.(2015,-1)C.(2015,1)D.(2016,0)
B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r=1,∴半圆长度=π,∴第2015秒点P运动的路径长为:
2
π×2015,∵
2
π×2015÷π=1007…1,∴点P位于第1008个半圆的中点上,且这个半圆在x轴的下方.∴此时点P的横坐标为:
1008×2-1=2015,纵坐标为-1,∴点P(2015,
-1.
第8题解图二、填空题(每小题3分,共21分)9.计算:
(-30+3-1.9.
34【解析】
313,1310
==--)(,∴原式=1+31=3
4.10.如图,△ABC中,点D、E分别在边AB,BC上,DE//AC,
若DB=4,DA=2,BE=3,则EC=.
2
3
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC,∴ECBEDABD=,∴EC=
2
3
432BDBEDA=⨯=⋅.11.如图,直线y=kx与双曲线0(2
>=xx
y交于点
A(1,a),则k2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合.把点A坐标(1,a)代入y=
x2,得a=1
2=2∴点A的坐标为(1,2),再把点A(1,2)代入y=kx中,得k=2.
第8题
EC
B
A
第10题
12.已知点A(4,y1),B(2,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-22-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.
.213yyy<<【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一:
解:
∵A(4,y1)、B(2,
y2)C(-2,y3)在抛物线y=21-2x-()
上,∴y1=3,y2=5-42,y3=15.∵5-42<3<15,∴y2<y1<y3
方法二:
解:
设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3,∵y=212x--(∴对称轴为直线x=2,∴d1=2,d2=2-2,d3=4∵2-2<2<4,且a=1>0,∴y2<y1<y3.方法三:
解:
∵y=
1
22
--x(,∴对称轴为直线x=2,∴点A(4,y1关于x=2
的对称点是(0,y1).∵-2<0<2且a=1>0,∴y2<y1<y3.
13.现有四张分别标有数字1,2,2,4的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.
8
5
或画树状图如解图:
第13题解图
由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种,其中两次抽出卡片所标数字不同
14.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,
CE⊥OA交AB于点E,以点O为圆心,OC的长为半径作CD交OB于点D,若OA=2,则阴影部分的面积为【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形,相到利用转化的思想,并作出必要的辅助线,即连接OE,得到CODOCEOBESSSS扇形扇形阴影-+=∆,再分别计算出各图形的面积即可求解
.
12π【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图,连接OE,∵点C是OA的中点,∴OC=
21OA=1,∵OE=OA=2,∴OC=2
1
OE.∵CE⊥OA,∴∠OEC=30°,∴∠COE=60°.在Rt△OCE中,CE=3,∴S△OCE=2
1
OC·CE=2.∵∠AOB=90°,
∴∠BOE
=∠AOB-∠COE=30°,∴S扇形OBE=230360⋅π2=3π,S扇形COD=2901360⋅π=4
π
,
∴[来CODOCEOBESSSS扇形扇形阴影-+=∆=
3π
+2-4π=2
12+π.
C
B
第14题解图
15.如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,
点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,把△EBF沿
第14题
F
C
B
EF折叠,点B落在B′处,若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为.
【分析】若△CDB'恰为等腰三角形,判断以CD为腰或为底边分为三种情况:
①DB′=DC;②CB′=CD;③CB′=DB′,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.16或54【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用,以及分类讨论思想.根据题意,若△CDB'恰为等腰三角形需分三种情况讨论:
(1)若DB′=DC时,则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合);
(2)当CB′=CD时,∵EB=EB′,CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上,∴EC垂直平分BB′,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去;(3)如解图,当CB′=DB′时,作BG⊥AB与点G,交CD于点H.∵AB∥CD,∴B′H⊥CD,∵CB′=DB′,∴DH=
2
1
CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5,在Rt△B′EG中,由勾股定理得B′G=12,∴B′H=GH-B′G=4.在Rt△B′DH中,由勾股定理得DB′=4,综上所述DB′=16或4.
GE
第15题解图三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:
1
1(22222a
bbababa-÷-+-,其中1+=a,15-=b.【分析】解答本题应从运算顺序入手,先将括号里通分,能因式分解的进行因式分解,然后将除法变乘法,最后约分化简成最简分式后,将a,b的值代入求解.
解:
原式=ab
b
ababa-÷
--(22
)(……………………………………………………(4分)=
baab
ba
-⋅-2
=2
ab
.……………………………………………………(6分)
当1,1ab==时,原式=
22
1
5215(15=-=-+.…………(8分)
17.(9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD,PO.
(1)求证:
△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为;②连接OD,当∠PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.
(1)【分析】要证△CDP≌△POB,已知有一组对应边相等,结合已知条件易得DP是△ACB的中位线,进而可得出一组对应角和一组对应边相等,根据SAS即可得证.解:
∵点D是AC的中点,PC=PB,…………………………………………(3分)∴DP∥DB,ABDP2
1
=,∴∠CPD=∠PBO.∵ABOB2
1
=
∴DP=OB,∴△CDP≌△POB(SAS).………………………………(5分)
第17题解图
(2【分析】①易得四边形AOPD是平行四边形,由于AO是定值,要使四边形AOPD的面积最大,就得使四边形AOPD底边AO上的高最大,即当OP⊥OA时面积最大;②易得四边形BPDO是平行四边形,再根据菱形的判定得到△PBO是等边三角形即可求解.解:
①4;………………………………………………………………………………(7分)②60°.(注:
若填为60,不扣分)…………………………………………………(9分)
第17题
【解法提示】①当OP⊥OA时四边形AOPD的面积最大,∵由
(1)得DP=AO,DP∥DB,∴四边形AOPD是平行四边形,∵AB=4,∴AO=PO=2,∴四边形AOPD的面积最大为,2×2=4;②连接OD,∵由
(1)得DP=AO=OB,DP∥DB,∴四边形BPDO是平行四边形,∴当OB=BP时四边形BPDO是菱形,∵PO=BO,∴△PBO是等边三角形,∴∠PBA=60°.18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
根据以上信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是;
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是;(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途
径”的总人数.
(1)【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数,从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比,相除即可得到本次调查的市名总人数.
解:
1000.………………………………………………………………………………(2分)【解法提示】本次调查的市名总人数为:
400÷40%=1000.
(2)【分析】根据扇形统计图可得:
1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比,再乘以360°即可求解.解:
54°.(注:
若填为54,不扣分)………………………………………………(4分)【解法提示】(1-9%-10%-26%-40%)×360°=54°.
(3)【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比,再乘以总人数即可求解.
解:
用“报纸”获取新闻的途径的人数为:
10%×1000=100,补全条形统计图如解图:
选项
电脑上手机上电视报纸其它
调查结果扇形统计图
调查结果条形统计图
第18题解图
………………………………………………………………………………………………(4分)(4)【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比,再乘以该市的人数即可求解.
解:
(
(528004026100008人=+⨯⨯19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3(x-2=|m|.
(1)求证:
对于任意实数m,方程总有两个不想等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
(1)【分析】先化简一元二次方程,列出根的判别式,再根据绝对值为非负数,得到根的判别式与0的大小关系即可得证.解:
(2)【分析】当x=1时,代入原方程得到m的值,根据绝对值的非负性,得到m有两个值,再分别代入原方程进行求解.解:
20.(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数,参考数据:
sin48°≈0.74
,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73
【分析】通过观察图形,要求大树的高度,需要构造直角三角形,将所求线段联系起来.结合题目中的信息,即要延长BD交AE于点G,并过点D作DH⊥AE于点H,分别在Rt△GBC和Rt△ABC中表示出CG和AC的长即可求解.解:
第20题
EAC
第20题解图
21.(10分)某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需
总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图所示,请求出点A、B、
C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
(1)【分析】观察图象,结合题目中的信息,得到普通卡是正比例函数,分析次数x与20的关系,银卡为一次函数,分析出次数x与10的关系,从而即可求解解:
(2【分析】由
(1)中银卡的函数关系式可得点A的坐标,观察图形,联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B的坐标,再将y=600代入银卡的函数关系式即可求解
.
第21题
第21题解图
(3)【分析】观察图象,应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论,依次得到消费方案即可求解.
22.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现①当︒=0α时,
_____________=BDAE
;②当︒=180α时,.__________=BD
AE
(2)拓展探究
试判断:
当0°≤α<360°时,DB
AE
的大小有无变化?
请仅就图2的情况给出证明.(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
(1)【分析】①根据题意可得DE是三角形ABC的中位线和BD的长,根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长即可求解;②根据旋转180°的特性,结合①,分别得到AC、CE、BC和CD的长即可求解.
……………………………………………………(1分)
(2分)【解法提示】①当α=0°,如解图①,∵BC=2AB=8,∴AB=4,∵点D,E分别是边BC,AC的中点,∴DE=
12
1
=AB,AE=EC,,∵∠B=90°,
∴AC==∴AE=CE
=
∴
42
AEBD==;②当α=180度,如解图②,由旋转性质可得CE=,CD=2,∵AC
=BC=8,
∴
25
4824=++=++=CDBCCEACBDAE.
(2)【分析】在由解图①中,由平行线分线段成比例得到CB
CD
CACE=,再观察图②中△EDC绕点C的旋转过程,结合旋转的性质得到
CB
CD
CACE=任然成立,从而求得△ACE∽△BCD,利用其性质,结合题干求得AC的长即可得到结论.
C
DB
(图1)
EB
C(图2)
(备用图)
C
B
第22题解图③
(3【分析】
解:
5
………………………………………………………………………(10分)【解法提示】当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,∴BD=AC
=EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,△ADC为直角三角形,
由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根据
AEBD
=2
可求得BD
=5.
A
A
图④图⑤第22题解图
23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经
过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.
(1)请直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:
当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进
而猜想:
对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则
存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
(1)【分析】由题意设抛物线解析式为2
yaxc=+,将A、C两点坐标代入即可.解:
抛物线的解析式为:
2
188
yx=-
+.………………………………………………(3分)【解法提示】由题意设抛物线解析式为2
yaxc=+,∵的正方形OABC的边长为8,∴点
A(-8,0、C(0,8),∴⎩⎨⎧=+-⋅=cca88(02,解得⎪⎩
⎪⎨⎧
=-
=881ca,抛物线解析式为2188yx=-+.
(2)【分析】设P点坐标为21,88xx⎛
⎫
-
+⎪⎝⎭
,表示出PF的长度,构造PD所在的直角三角形,表示PD的长度,通过求差法得到PD-PF的值.解:
图
备用图
M第23题解图(3)【分析】通过将△PDE的面积进行转化,得到其面积的表达式,根据点P横坐标m的取值范围,确定面积为整数时“好点”的个数,再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小,进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小,确定点P的坐标.解:
好点共11个;]在点P运动时,DE的大小不变,∴PE与PD的和最小时,△PDE的周长最小,∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2,当P,E,F三点共线时,PE+PF最小,此时,点P,E的横坐标为-4,将x=-4代入y=-12x+8,得y=6,8∴P(-4,6),此时△PDE周长最小,且△PDE的面积为12,点P恰为“好点”.∴△PDE周长最小时点P的坐标为(-4,6).【解法提示】△PDE的面积S=-121x-3x+4=-(x+62+13.由于-8≤x≤0,可得444≤S≤13,所以S的整数值为10个.由图象可知,当S=12时,对应的“好点”有2个,所以“好点”共有11个.第16页共16页
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