轴对称基础概念及练习资料.docx
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轴对称基础概念及练习资料
轴对称
第一部分:
轴对称:
一、基本知识:
1.如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够____________,这个图形就叫做____________,这条直线就是它的____________,这时,我们也说这个图形_____________________(或成轴对称).
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够____________,那么就说这两个图形_____________________,这条直线叫做_____________,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
注意:
轴对称图形是_______个具有___________的图形,
轴对称指_______个图形的______________关系.
3.轴对称的性质:
①成轴对称的两个图形一定___________,(而全等的两个图形不一定___________;
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是___________________
4.轴对称图形的性质:
轴对称图形的对称轴是____________________________________
5.角是轴对称图形吗?
如果是的话,那么它的对称轴是什么?
6.点A(-3,2)关于y轴对称点的坐标是(,)关于x轴对称点的坐标是(,)
二、考点分析:
1、下列图形中,为轴对称图形的是()
2、对称现象无处不在,请你观察下面的四个图形,其中,可以看作是轴对称图形的有()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
3、在艺术字中,有些字母是中心对称图形,下面的5个字母中,是轴对称图形的有()
(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个
4、下列各图中,是轴对称图案的是()
5、在几何图形“线段、角、三角形、平行四边形、正方形”中,不一定是轴对称图形的是__________________________________.
6、现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形,将其部分涂黑,如图
(1)、
(2)所示.
图
(1)图
(2)图(3)图(4)
观察图
(1)、图
(2)中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征:
①都是轴对称图形②涂黑部分都是三个小正三角形.
请在图(3)、图(4)内分别设计一个新图案,使图案具有上述两个特征.
7、下列轴对称图形中,对称轴最多的是()
8、等腰三角形的对称轴有()
(A)1条(B)2条(C)3条(D)1条或3条
9、下列命题中,不正确的是()
(A)关于直线对称的两个三角形一定全等;
(B)两个圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形;
(C)若两个图形关于直线对称,则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线;
(D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重合.
10、下列命题中,正确的个数是()
①两个全等形成轴对称;
②角平分线是一个角的对称轴;
③成轴对称的两个图形中,两对对应点连线交于一点;
④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的平分线.
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
11、点P(-3,2)关于x轴对称的点A坐标为__________,关于y轴对称的点B坐标为__________,关于直线x=1的点C坐标为__________,关于直线y=2的点D坐标为__________.
12、点M(a,-5)与点N(-2,b)关于x轴对称,则a=________,b=_______.
13、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2),若点P与点P’关于y轴对称,则a=_______,b=________.
14、若a为整数,且点M(3a-9,10-2a)关于x轴对称的点在第四象限,则a3+1的值为_________.
15、已知点A(-2,4)、B(2,4)、C(-1,2)、D(1,2)、E(-3,1)、F(3,1)是平面直角坐标系内的6个点,选择其中三个点连成一个三角形,剩下三个点连成另一个三角形,若这两个三角形关于y轴对称,就称为一组对称三角形,那么坐标系中可找出_________组对称三角形.
16、已知点M(1-a,2a+2),若点M关于x轴的对称点在第三象限,求a的取值范围?
17、已知点A(2x+y-3,x-2y)关于x轴对称的点A'的坐标为(x+3,y-4),点A关于y轴对称的点的坐标是?
18.如下图:
若正方形ABCD关于x轴与y轴均成轴对称图形,点A的坐标为(2,1),标出点B、C、D的坐标分别为:
B(,),C(,),D(,)。
线段的垂直平分线
一、基础知识:
1、线段垂直平分线的性质
因为,所以AB=AC.
理由:
2、线段垂直平分线的判定
因为,所以点A在线段BC的中垂线上.
理由:
1、
如图,△ABC中,AD垂直平分边BC,AB=5,那么AC=_________.
(第1题)
(第3题)(第4题)
2、如图,在△ABC中,AB的中垂线交BC于点E,若BE=2则A、E两点的距离是().
A.4B.2C.3D.
3、如图,AB垂直平分CD,若AC=1.6cm,BC=2.3cm,则四边形ABCD的周长是()cm.
A.3.9B.7.8C.4D.4.6
4、如图,NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有:
.
①AB⊥MN,②AD=DB,③MN⊥AB,④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线.
5、下列说法:
①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
例1、已知:
如图,DE是△ABC的AB边的垂直平分线,分别交AB、BC于D、E,AE平分∠BAC,若∠B=300,求∠C的度数。
例2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证:
(1)∠EAD=∠EDA;
(2)DF∥AC;(3)∠EAC=∠B
一、选择:
1、在三角形内部,有一点P到三角形三个顶点的距离相等,则点P一定是()
A、三角形三条角平分线的交点;B、三角形三条垂直平分线的交点;
C、三角形三条中线的交点;D、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上,则△ABC的形状为()
A、锐角三角形;B、直角三角形;C、钝角三角形;D、不能确定
二、填空:
1、已知:
线段AB及一点P,PA=PB,则点P在上。
2、已知:
如图,∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=。
3、△ABC中,∠A=500,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数。
4、如图,△ABC中,DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线,则∠B∠BAE,∠C∠GAF,若∠BAC=1260,则∠EAG=。
5、如图,△ABC中,AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB,则△BCD的周长是。
第2题第4题第5题
6、在△ABC中,AB、AC的垂直平分线相交于点P,则PA、PB、PC的大小关系是。
7、在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=
三、解答:
1、有特大城市A及两个小城市B、C,这三个城市共建一个污水处理厂,使得该厂到B、C两城市的距离相等,且使A市到污水处理厂的管线最短,试确定污水处理厂的位置。
2.如下图,在直线AB上找一点P,使PC=PD.
8.如右图,△ABC中,AB=AC=16cm,AB的垂直平分线ED交AC于D点.
(1)当AE=13cm时,BE=cm;
(2)当△BEC的周长为26cm时,则BC=cm;
(3)当BC=15cm,则△BEC的周长是cm.
9、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的三条()的交点.
(A)高(B)中线(C)角平分线(D)边的垂直平分线
10、已知:
如图,△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,BC=6,△DBC的周长为15,求AC的长.
第二部分:
轴对称变换:
一、基本知识:
1.概念:
由一个平面图形得到它的____________________叫做轴对称变换.
2.性质:
由一个平面图形可以得到它关于一条直线对称的图形,这个图形与原图形____________、____________完全一样(即两个图形____________:
对应角相等,对应边相等).
注意:
轴对称变换是全等变换的一种,全等变换包括____________、____________、____________.
3.画法:
①找特殊点(如线段的_________、角的_________、折线的_________);
②做特殊点关于一条直线的____________;
③依次连接所做各点,得到原图形的轴对称图形.
4.关于x轴或y轴对称的点的坐标规律:
①点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为___________;
②点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为___________.
二、考点分析:
1、下列四边形中,是以对角线所在直线为对称轴,经过轴对称变换得到的是()
2、李芳同学球衣上的号码是253,当他把镜子放在号码的正左边时,镜子中的号码是()
3、小明上午在理发店理发时,从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图,此时时间为___________.
第3题第4题第5题
4、如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于_______度.
5、要在燃气管道m上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
6、在京石高速公路m的同侧,有两个化工厂A、B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选在何处?
7、已知:
∠AOB=45°,其内部一点点P关于OA、OB的对称点分别为M、N,OP=3cm,则△OMN的面积为___________.
8、已知:
如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连结CD,交OA于M,交OB于N,若△PMN的周长为8厘米,求CD的长.
第三部分:
等腰三角形:
一、基本知识
1.概念:
_______________________________的三角形叫做等腰三角形.
2.性质:
①等腰三角形的______________相等,即_______________________.
②等腰三角形的_____________________、_____________________和_____________________相互重合,即______________________________.
3.结论:
等腰三角形是_______________图形,它的对称轴是________________________
_______________________________________.
4.判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,即_______________________________.
(注意:
概念既可以当性质用,又可以当判定用)
5.三角形中三边之间的关系是__________________________________________________;
三角之间的关系是__________________________________________________;
边角之间的相等关系是______________________________________________;
边角之间的不等关系是______________________________________________.
二、考点分析:
㈠利用等腰三角形的性质求线段的长度、角的度数;
1、在△ABC中,AB=AC,用∠A表示∠B,则∠B=.
2、已知等腰三角形底边长为5,周长不大于20,则腰长x的取值范围是.
3、等腰直角三角形斜边长为2,则斜边上的高线长为.
4、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是()
(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形
5、在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,若∠BDC=75°,则∠A的度数为()
(A)30°(B)40°(C)45°(D)60°
6、如图,△ABC中,AB=AC,AC的中垂线DE交AB于点D,交AC于点E,若∠A=20°,则∠DCB=______度
7、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则∠C=,∠BDE=,若△BDC周长为24,CD=4,则BC=.
8、等腰△ABC的顶角∠A=15°,P是△ABC内部的一点,且∠PBC=∠PCA,则∠BPC的度数为()
(A)100°(B)130°(C)115°(D)140°
9、如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于()
(A)
(B)
(C)
(D)
10、如图,△ABC中,AB=AC,D在AC上,且AD=BD=BC,求△ABC的各个内角度数.
11、如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别在AB、AC上,且AE=DE=DB,BE=BC,
求∠A的度数.
㈡等腰三角形中的分类讨论;
12、已知等腰三角形两边长4和7,这三角形的周长是.
13、已知等腰三角形两内角的度数之比为1:
4,则顶角为度.
14、等腰三角形的一个外角是125°,则底角为度.
15、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则底角为度.
16、等腰三角形周长是29,其中一边是7,则等腰三角形的底边长是()
(A)15(B)15或7(C)7(D)11
17、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和9厘米两部分,则此三角形的底边长为.
18、在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°,则∠B为度.
㈢等腰三角形中的判定;
19、下列条件不能作出唯一确定等腰三角形的是()
(A)已知顶角和底边(B)已知顶角和底角(C)已知顶角和一腰(D)已知底边和一腰
20、如图,CD、BD平分∠BCA及∠ABC,EF过D点且EF∥BC,那么下列结论中正确的有__________.(写序号)
①△BDE和△CDF都是等腰三角形;②EF=BE+CF;
③△ADE的周长等于AB和AC的和;④BD=CD.
21、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形有__________个,它们是.
22、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,且相交于F,则图中等腰三角形有__________个,它们是.
23、在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),在坐标轴上确定点P,使使△AOP为等腰三角形,则符合条件点共有____________个.
24、已知等腰△ABC中,AB=AC≠BC,求一点P,使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形,这样的点共有____________个.
25、已知等边△ABC,求一点P,使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形,这样的点共有____________个.
㈣利用等腰三角形的性质和判定证明求线段相等、角相等;
26、已知:
如图1,AB=AC,∠ABD=∠ACD,⑴求证:
BD=CD;
⑵如图2,条件不变,BD与CD相等吗?
为什么?
27、已知:
如图1,AD∥BC,AD平分∠EAC,⑴求证:
AB=AC;
⑵如图2,AB=AC,BC平分∠ABD,AC与BD平行吗?
为什么?
28、已知:
如图,△ABC中,AB>AC,AF平分∠BAC,D是AB上一点,AD=AC,DE∥BC交AC于E,
求证:
CD平分∠EBF.
29、已知:
如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC,交AC于F。
求证:
△AEF是等腰三角形。
30、已知:
如图,△ABC中,AB=AC,P为BC中点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,
求证:
PD=PE.
31、已知:
△ABC中,CE平分∠ACB,AE⊥CE,∠AED+∠CAE=180°
求证:
ED∥BC。
第四部分:
等边三角形:
一、基本知识:
1.概念:
_______________________________的三角形叫做等边三角形.
2.性质:
等边三角形的______________都相等,并且每一个内角都等于__________.
3.判定:
①_______________________________的三角形是等边三角形;
②_______________________________的三角形是等边三角形.
(注意:
概念既可以当性质用,又可以当判定用)
4.推论:
在__________三角形中,如果一个锐角等于__________,那么它所对的_____________________________.
二、考点分析:
㈠利用等腰三角形的性质求线段的长度、角的度数;
1、已知:
AD为等边三角形ABC的中线,在AC上取AE=AD,则∠EDC=_______度。
2、如图,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC,则∠AEB的度数为.
3、若等腰三角形的底角为15°,腰长为2,则腰上的高为.
4、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角为度.
5、如图,已知等边三角形ABC的边长为
,按图中所示的规律,用2009个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )
(A)2009(B)2010(C)2011(D)2012
6、如图,将边长为1的正三角形
沿
轴正方向连续折叠2008次,依次得到点
的位置,则点
的横坐标为.
㈡利用等边三角形的性质和判定(特殊性)证明求线段相等、角相等;
7、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,求证:
BM=MN=NC.
8、已知:
如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E使CE=CD.
试判断DB与DE之间的大小关系,并说明理由.
9、已知:
如图,∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P为OC上任意一点,PD∥OA交OB与D,PE⊥OA与E,若OD=4,求PE的长
㈢识别等腰三角形及等边三角形中的全等三角形;
10、下面不能确定全等的是()
(A)两个等腰直角三角形的底边相等
(B)两个等边三角形有一条边相等
(C)一个内角为100°且腰长相等的两个等腰三角形
(D)两个等腰三角形底边长的对应高相等
11、如图,等边△ABC中,D为BC上一点,E为AC上一点,且BD=CE,AD与BE交于点P,则∠APE的度数为()
(A)45°(B)55°(C)60°(D)75°
12、如图,已知△ABC是等边三角形,AD=BE=CF,如果每个全等三角形作为一组,图中共有全等三角形()
(A)2组(B)3组(C)4组(D)5组
13、如图,△ABC中,AB=AC,CD=BF,BD=CE,则α等于()
(A)90°-∠A(B)45°-
∠A(C)180°-∠A(D)90°-
∠A
14、如图,AD是△ABC的高,且△BDE和△ADC都是等腰三角形,若AB=3cm,则CE=。
15、如图,△ABC中,H是高AD和高BE的交点,HB=AC,则∠ABC=_________度。
16、如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN。
其中,正确结论的个数是()
(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个
17、在一次数学课上,王老师在黑板上画出图6,并写下了四个等式:
①
,②
,③
,④
.
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出
是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)
已知:
求证:
是等腰三角形.
18、已知:
如图,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,连接AF和BE,问AF和BE的大小关系,
19、已知:
如图,A、B、C三点是直线l上的点,△ABD、△BCE都是等边三角形,AE交BD于P,CD交BE于Q,
求证:
⑴AE=DC; ⑵BP=BQ; ⑶PQ∥AC.
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