学年最新高中数学苏教版必修四教学案第3章 32 二倍角的三角函数含答案.docx
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学年最新高中数学苏教版必修四教学案第3章32二倍角的三角函数含答案
问题1:
在两角和的正弦、余弦、正切公式中,若α=β,则公式可变形为何种形式?
提示:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,
tan2α=
.
问题2:
能否只用cosα或sinα来表示cos2α?
其公式又为何种形式?
提示:
cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
倍角公式
(1)sin2α=2sin_α_cos_α.
(2)cos2α=cos2_α-sin2_α=2cos2_α-1=1-2sin2_α.
(3)tan2α=
.
1.倍角公式与和角公式的关系
倍角公式是和角公式的特例,只要在和角公式中令α=β就可得到相应的倍角公式.
2.倍角公式的适用范围
公式S2α,C2α中,角α可以为任意角;但公式T2α只有当α≠
+kπ及α≠
+
(k∈Z)时才成立,否则不成立(因为当α=
+kπ,k∈Z时,tanα的值不存在;当α=
+
,k∈Z时,tan2α的值不存在).
3.倍角的相对性
角的二倍关系是相对的,如2α是α的二倍角,4α是2α的二倍角,α是
的二倍角,
+2α是
+α的二倍角,等等.在解决问题时,应确定所给角之间是否具备这种“二倍”关系,做到广义上的理解和运用.
[例1] 求下列各式的值:
(1)2sin
cos
;
(2)1-2sin2750°;
(3)
;
(4)cos
cos
.
[思路点拨] 逆用二倍角公式化简求值.
[精解详析]
(1)原式=sin
=sin
=
.
(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°
=cos(60°+4×360°)=cos60°=
.
(3)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)
=-tan60°=-
.
(4)原式=cos
cos
=cos
sin
=
·
=
sin
=
×
=
.
[一点通] 解决此类非特殊角的求值问题,其关键是利用公式转化为特殊角求值,要充分观察角与角之间的联系,看角是否有倍数关系,能否用二倍角公式求值,是否是互余关系,能否进行正弦与余弦的互化;要充分根据已知式的结构形式,选择公式进行变形并求值.
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