学年湖南省娄底市中考数学第二次模拟试题及答案解析.docx
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学年湖南省娄底市中考数学第二次模拟试题及答案解析
最新湖南省娄底市中考数学二模试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.﹣
的绝对值是( )
A.5B.﹣5C.
D.﹣
2.舌尖上的浪费让人触目惊心!
据统计,中国每年浪费的食物总量折合成粮食约为50000000000千克,把50000000000用科学记数法表示为( )
A.5×1010B.50×109C.5×109D.0.5×1011
3.如图,几何体上半部为正三棱柱,下半部为圆柱,其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示,则这个不等式组的解集为( )
A.﹣1<x≤2B.﹣1≤x<2C.﹣1<x<2D.无解
5.反比例函数y1=
(x>0)的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A,B两点,其中A(1,2),当y2>y1时,x的取值范围是( )
A.x<1B.1<x<2C.x>2D.x<1或x>2
6.如图,将三角形的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
7.如图,AD、BE是△ABC的两条中线,则S△EDC:
S△ABD等于( )
A.1:
2B.2:
3C.1:
3D.1:
4
8.已知正多边形的一个外角等于60°,则该正多边形的边数为( )
A.3B.4C.5D.6
9.期中考试后,班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩,小明说:
“我们组成绩是86分的同学最多”,小英说:
“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”,上面两位同学的话能反映出的统计量是( )
A.众数和平均数B.平均数和中位数
C.众数和方差D.众数和中位数
10.在平行四边形ABCD中,点P从起点B出发,沿BC,CD逆时针方向向终点D匀速运动.设点P所走过的路程为x,则线段AP,AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y,表示y与x的函数关系的图象大致如下图,则AB边上的高是( )
A.3B.4C.5D.6
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
11.如果分式
的值为0,那么x的值为 .
12.写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标:
.(任写一个只要符合条件即可)
13.若关于x的一元二次方程x2﹣(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab= .
14.底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 .
15.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则tanα的值是 .
16.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 .
17.在分别写有﹣1,0,1,2,3的五张卡片中随机抽取一张,所抽取的数字平方后等于1的概率为 .
18.如图,△OA1B1在直角坐标系中,A1(﹣1,0),B1(0,2),点C1与点A1关于OB1的对称.对△A1B1C1进行图形变换,得到△C1B2C2,使得B2(3,2),C2(5,0);再进行第二次变换,得到△C2B3C3,使得B3(9,2),C3(13,0);第三次将△C2B3C3变换成△C3B4C4,B4(21,2),C4(29,0)…按照上面的规律,若对△A1B1C1进行第四次次变换,得到△C4B5C5,则C5( ).
三、解答题(共2小题,满分12分)
19.计算:
|﹣3|+
•tan30°﹣
﹣0.
20.先化简,再求值:
(a2b﹣2ab2﹣b3)÷b﹣(a+b)(a﹣b),其中a=
,b=﹣1.
四、解答题(共2小题,满分16分)
21.随着人们生活水平的提高,城市家庭私家车的拥有量越来越多.私家车给人们的生活带来很多方便,同时也给城市的道路交通带来了很大的压力,尤其是节假日期间交通拥堵现象非常严重.为了缓解交通堵塞,尽量保持道路通畅,某市有关部门号召市民“在节假日期间选择公共交通工具出行”,为了了解市民的意见和态度,有关部门随机抽取了若干市民进行了调查.经过统计、整理,制作统计图如图,请回答下列问题:
(1)这次抽查的市民总人数是 ;
(2)并补全条形统计图和扇形统计图;
(3)如果该市约有18万人,那么估计对这一问题持“赞成”态度的人数约是 万.
22.2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震,伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,测得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°,AD=4米.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求这棵大树折断前高是多少米?
(注:
结果精确到个位)(参考数据:
)
五、解答题(共2小题,满分18分)
23.为绿化校园,某校计划购进A、B两种树苗,共21课.已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买B种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.
(1)y与x的函数关系式为:
;
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
24.已知,如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到△DEF为等边三角形.求证:
(1)△AEF≌△CDE;
(2)△ABC为等边三角形.
六、解答题(共2小题,满分20分)
25.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D.
(1)求证:
PD是⊙O的切线;
(2)若∠CAB=120°,AB=2,求BC的值.
26.已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:
是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.﹣
的绝对值是( )
A.5B.﹣5C.
D.﹣
【考点】绝对值.
【分析】绝对值的性质:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
【解答】解:
根据负数的绝对值是它的相反数,得|﹣
|=
,
故选C.
2.舌尖上的浪费让人触目惊心!
据统计,中国每年浪费的食物总量折合成粮食约为50000000000千克,把50000000000用科学记数法表示为( )
A.5×1010B.50×109C.5×109D.0.5×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:
50000000000=5×1010,
故选:
A.
3.如图,几何体上半部为正三棱柱,下半部为圆柱,其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】俯视图是从物体上面看到的图形,应把所看到的所有棱都表示在所得图形中.
【解答】解:
从上面看,正三棱柱的俯视图是正三角形,圆柱的俯视图是圆,且正三角形在圆内.
故选:
C.
4.一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示,则这个不等式组的解集为( )
A.﹣1<x≤2B.﹣1≤x<2C.﹣1<x<2D.无解
【考点】在数轴上表示不等式的解集.
【分析】根据数轴上的表示可得﹣1<x≤2,即可得解.
【解答】解:
由图可得,这个不等式组的解集为﹣1<x≤2.
故选A.
5.反比例函数y1=
(x>0)的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A,B两点,其中A(1,2),当y2>y1时,x的取值范围是( )
A.x<1B.1<x<2C.x>2D.x<1或x>2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】根据函数解析式画出函数的大致图象,根据图象作出选择.
【解答】解:
根据双曲线关于直线y=x对称易求B(2,1).依题意得:
如图所示,当1<x<2时,y2>y1.
故选:
B.
6.如图,将三角形的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
【考点】平行线的性质.
【分析】根据AB∥CD可得∠3=∠1=65°,然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解.
【解答】解:
∵AB∥CD,
∴∠3=∠1=65°,
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°.
故选:
D.
7.如图,AD、BE是△ABC的两条中线,则S△EDC:
S△ABD等于( )
A.1:
2B.2:
3C.1:
3D.1:
4
【考点】三角形的面积;三角形的角平分线、中线和高.
【分析】先判断DE为△ABC的中位线,则DE∥AB,DE=
AB,再根据相似三角形的判定方法得到△ECD∽△ACB,然后根据相似三角形的性质得到S△EDC:
S△ABC=DE2:
AB2=1:
4,S△ABD=
S△ABC,即可得到结论.
【解答】解:
∵AD、BE是△ABC的两条中线,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AB,DE=
AB,
∴△ECD∽△ACB,
S△EDC:
S△ABC=DE2:
AB2=1:
4.
∴S△EDC:
S△ABC=DE2:
AB2=1:
4,S△ABD=
S△ABC,
∴S△EDC:
S△ABD=1:
2,
故选A.
8.已知正多边形的一个外角等于60°,则该正多边形的边数为( )
A.3B.4C.5D.6
【考点】多边形内角与外角.
【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数.
【解答】解:
360°÷60°=6.
故该正多边形的边数为6.
故选:
D.
9.期中考试后,班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩,小明说:
“我们组成绩是86分的同学最多”,小英说:
“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”,上面两位同学的话能反映出的统计量是( )
A.众数和平均数B.平均数和中位数
C.众数和方差D.众数和中位数
【考点】统计量的选择.
【分析】根据中位数和众数的定义回答即可.
【解答】解:
在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数,排在中间位置的数是中位数,
故选:
D.
10.在平行四边形ABCD中,点P从起点B出发,沿BC,CD逆时针方向向终点D匀速运动.设点P所走过的路程为x,则线段AP,AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y,表示y与x的函数关系的图象大致如下图,则AB边上的高是( )
A.3B.4C.5D.6
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象,需分析在不同阶段中s随x变化的情况.
【解答】解:
由图象可以看出BC=5,CD=6,S行四边形ABCD=24,
∵S行四边形ABCD=AB×h=6h=24,
∴h=4.
故选:
B.
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
11.如果分式
的值为0,那么x的值为 3 .
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】根据分式的分子为0,分母不为0,可得答案.
【解答】解:
x﹣3=0,且x+2≠0,
x=3,
故答案为:
3.
12.写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标:
(﹣1,1) .(任写一个只要符合条件即可)
【考点】点的坐标.
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数解答.
【解答】解:
第二象限内点的坐标(﹣1,1)(任写一个只要符合条件即可).
故答案为:
(﹣1,1).
13.若关于x的一元二次方程x2﹣(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab= 4 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系得到
,通过解该方程组可以求得a、b的值.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣(a+5)x+8a=0的两个实数根分别是2、b,
∴由韦达定理,得
,
解得,
.
∴ab=1×4=4.
故答案是:
4.
14.底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 π .
【考点】圆柱的计算.
【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高.
【解答】解:
圆柱的底面周长=π×1=π.
圆柱的侧面积=底面周长×高=π×1=π.
故答案是:
π.
15.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则tanα的值是
.
【考点】锐角三角函数的定义;坐标与图形性质.
【分析】根据正切函数是对边比邻边,可得答案.
【解答】解:
如图
,
tanα=
=
故答案为:
.
16.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 4 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,根据中点的定义可得BD=3,在Rt△BND中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解.
【解答】解:
设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,
∵D是BC的中点,
∴BD=3,
在Rt△BND中,x2+32=(9﹣x)2,
解得x=4.
故线段BN的长为4.
故答案为:
4.
17.在分别写有﹣1,0,1,2,3的五张卡片中随机抽取一张,所抽取的数字平方后等于1的概率为
.
【考点】概率公式.
【分析】让所抽取的数字平方后等于1的卡片数除以总卡片数即为所求的概率.
【解答】解:
在分别写有﹣1,0,1,2,3的五张卡片中随机抽取一张,所抽取的数字平方后等于1的有2张,
所以所抽取的数字平方后等于1的概率为
.
故答案为
.
18.如图,△OA1B1在直角坐标系中,A1(﹣1,0),B1(0,2),点C1与点A1关于OB1的对称.对△A1B1C1进行图形变换,得到△C1B2C2,使得B2(3,2),C2(5,0);再进行第二次变换,得到△C2B3C3,使得B3(9,2),C3(13,0);第三次将△C2B3C3变换成△C3B4C4,B4(21,2),C4(29,0)…按照上面的规律,若对△A1B1C1进行第四次次变换,得到△C4B5C5,则C5( (61,0) ).
【考点】规律型:
点的坐标.
【分析】由题意可知:
A1(﹣1,0),B1(0,2),点C1与点A1关于OB1的对称坐标为(1,0),第一次变换C2(5,0),第二次变换C2(13,0),第三次变换C4(29,0)…,由此得出第n次变换Cn+1(2n+2﹣3,0)…由此求得答案即可.
【解答】解:
∵点C1的坐标为(1,0),
第一次变换C2(5,0),
第二次变换C2(13,0),
第三次变换C4(29,0),
…,
∴第n次变换Cn+1(2n+2﹣3,0)
∴第四次次变换,得到△C4B5C5,则C5(61,0).
故答案为:
(61,0).
三、解答题(共2小题,满分12分)
19.计算:
|﹣3|+
•tan30°﹣
﹣0.
【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:
原式=3+
﹣2﹣1
=3+1﹣2﹣1
=1.
20.先化简,再求值:
(a2b﹣2ab2﹣b3)÷b﹣(a+b)(a﹣b),其中a=
,b=﹣1.
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】根据多项式除单项式的法则,平方差公式化简,整理成最简形式,然后把a、b的值代入计算即可.
【解答】解:
(a2b﹣2ab2﹣b3)÷b﹣(a+b)(a﹣b),
=a2﹣2ab﹣b2﹣(a2﹣b2),
=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2,
=﹣2ab,
当a=
,b=﹣1时,
原式=﹣2×
×(﹣1)=1.
四、解答题(共2小题,满分16分)
21.随着人们生活水平的提高,城市家庭私家车的拥有量越来越多.私家车给人们的生活带来很多方便,同时也给城市的道路交通带来了很大的压力,尤其是节假日期间交通拥堵现象非常严重.为了缓解交通堵塞,尽量保持道路通畅,某市有关部门号召市民“在节假日期间选择公共交通工具出行”,为了了解市民的意见和态度,有关部门随机抽取了若干市民进行了调查.经过统计、整理,制作统计图如图,请回答下列问题:
(1)这次抽查的市民总人数是 500 ;
(2)并补全条形统计图和扇形统计图;
(3)如果该市约有18万人,那么估计对这一问题持“赞成”态度的人数约是 4.5 万.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】
(1)根据反对的人数除以反对所占的百分比,可得抽测的人数;
(2)根据抽测的人数乘以赞成的所占的百分比,可得赞成的人数,根据有理数的减法,可得无所谓的人数,无所谓所占的百分比;
(3)根据样本估计总体,可得答案.
【解答】解:
(1)这次抽查的市民总人数是150÷30%=500人,
(2)赞成的500×25%=125人,无所谓的500﹣150﹣125=225人,无所谓的1﹣30%﹣25%=45%
条形统计图:
;
(3)对这一问题持“赞成”态度的人数约是18×25%=4.5(万人),
故答案为:
500,4.5.
22.2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震,伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,测得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°,AD=4米.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求这棵大树折断前高是多少米?
(注:
结果精确到个位)(参考数据:
)
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】
(1)通过延长BA交EF于一点G,则∠CAD=180°﹣∠BAC﹣∠EAG即可求得;
(2)作AH⊥CD于H点,先求得AH的长,然后再求得AC的长.
【解答】解:
(1)延长BA交EF于一点G,则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣(90°﹣23°)=75°;
(2)过点A作CD的垂线,设垂足为H,
则Rt△ADH中,
∵∠ADC=60°,∠AHD=90°,∴∠DAH=30°,
∵AD=4,
∴DH=2,AH=
.
Rt△ACH中,
∵∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°,
∴∠C=45°,
故CH=AH=
,AC=
.
故树高
+
+2≈10米.
五、解答题(共2小题,满分18分)
23.为绿化校园,某校计划购进A、B两种树苗,共21课.已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买B种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.
(1)y与x的函数关系式为:
y=﹣20x+1890 ;
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
【考点】一次函数的应用.
【分析】
(1)根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用,即可解答;
(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,列出不等式,确定x的取值范围,再根据
(1)得出的y与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案.
【解答】解:
(1)y=90(21﹣x)+70x=﹣20x+1890,
故答案为:
y=﹣20x+1890.
(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,
∴x<21﹣x,
解得:
x<10.5,
又∵x≥1,
∴x的取值范围为:
1≤x≤10,且x为整数,
∵y=﹣20x+1890,k=﹣20<0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=10时,y有最小值,最小值为:
﹣20×10+1890=1690,
∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵,A种树苗11棵,所需费用为1690元.
24.已知,如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到△DEF为等边三角形.求证:
(1)△AEF≌△CDE;
(2)△ABC为等边三角形.
【考点】全等三角形的判定;等边三角形的判定.
【分析】
(1)关键是证出CE=AF,可由AE=AB,AC=BF,两两相加可得.再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE.
(2)有
(1)中的全等关系,可得出∠AFE=∠CED,再结合△DEF是等边三角形,可知∠DEF=60°,从而得出∠BAC=60°,同理可得∠ACB=60°,那么∠ABC=60°.因而△ABC是等边三角形.
【解答】证明:
(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)
∴FA=EC(等量加等量和相等).
∵△DEF是等边三角形(已知),
∴EF=DE(等边三角形的性质).
又∵AE=CD(已知),
∴△AEF≌△CDE(SSS).
(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(对应角相等),
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代换),
△DEF是等边三角形(已知),
∴∠DEF=60°(等边三角形的性质),
∴∠BCA=60°(等量代换),
由△AEF≌△CDE,得∠EFA=∠DEC,
∵∠DEC+∠FEC=60°,
∴∠EFA+∠FEC=60°,
又∠BAC是△AEF的外角,
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°,
∴△ABC中,AB=BC(等角对等边).
∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定).
六、解答题(共2小题,满分20分)
25.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D.
(1)求证:
PD是⊙O的切线;
(2)若∠CAB=120°,AB=2,求BC的值.
【考点】切线的判定.
【分析】
(1)连接OP,要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO=90°即可;
(2)连接AP,根据已知可求得BP的长,从而可求得BC的长.
【解答】
(1)证明:
连接AP,OP,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
又∵OP=OB,∠OPB=∠B,
∴∠C=∠OPB,
∴OP∥AD;
又∵PD⊥AC于D,
∴∠ADP=90°,
∴∠DPO=90°,
∵以AB为直径的⊙O交BC于点P,
∴PD是⊙O的切线.
(2)解:
∵AB是直径,
∴∠APB=90°;
∵AB=AC=2,∠CAB=120°,
∴∠BAP=60°,
∴BP=
,
∴BC=2
.
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