线性代数期末复习总结docx.docx
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第一章行列式
一、行列式的性质
性质1行列式与它的转置行列式相等,即|a|=|at|.(行列互换,行列式不变)性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.
推论1如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.
推论2
性质4
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k乘以此行列式.
。
21^22
a31“32
ka[{ka{2
。
13
。
23
a33
転13
。
21
°31
an
"12"13
a22^23
a32“33
ai2ai3
=40=0
性质5行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
au
ai2
ai3
an
ai2
^13
kan
ai2
ai3
a2X
a22
a23
—
ka2x
ka’2
転23
=
ka2}
a22
a23
角1
a32
«33
a3i
角2
。
33
脳31
«33
若行列式中有一行(列)为0,则行列式为0.
行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
坷1
坷]an纠3
41an坷3
a21+bla22+b2如+4
—
a21a22"23
+
blb2S
。
31“32。
33
。
31“32“33
。
31“32“33
性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.
a\\ai2ai3
auan+ka!
3ai3
aCLCL
acl+kaa
W21u22w23
^21"22'e"23"23
“31°32"33
°31“32+氐°33。
33
性质7(Laplace定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,BP:
|A|=aixAi}+ai2Ai2+•••+ainAin(1=1,2,•••,n)
2.行列式的计算
1、字母型(用性质求值)
2aI】
(1)
、若三阶行列式£>=atJ=3,则2°3i
(3)、若三阶行列式D=atj=5,则
"1“3
—2d]-2^2—2a*
(2)、若三阶行列式D=
Sb2g
=-1,则
-2叽-2b2-2b.
C]c2c3
-2C]-2c2-2c3
2、四阶行列式计算
原则:
将某行(列)
除某个元素外,
其它元素都化为0,再利用Laplace定理,
降阶计算。
1234
1234
1234
1234
2341
0・1-2-7
0-1・2-7
0-1・2-7
3412
0・2-8・10
00・44
U0・44
4123
0・7-10・13
00436
00040
=160.
(1)、
3114
1111
3121
12-10
=12(3)、
1-103
136-9
1311
1210-7
⑵、
=25
-5
2=
0
12
练习题:
1.-20
10
a】】
a\2
4%
2alt-3al2an
3.若
a2X
a22
a23
=1,则
4如
2^213^22。
21
a3\
a32
a33
4皎
2。
3]—3。
32偽]
(A)-8
(B)
-12
(C)8
)・
(D)12
12
计算行列式:
3
1
-1
0
4
2
=-24.5-
2
4
2
2
0
5
-3
5
1
0
二—42
4
12
20
10
0-1
13
11•计算行列式D=l°
1—1
12
1
3
5r
0
-3
解D二
0
-4
/j
0
-1
1
2
4
0
1
-2
r
0
0
-2
I
°宁
-1
-3
0
-3
0
0
4
3
4
3
2
-2
2
3
_7
~3
1312
-3
0
1
4
3
0
-2
2
3
-3
=1x(—3)x(一扌)x(—3)=—12.
第二章矩阵及其运算
、矩阵的运算
1、矩阵加减法
2、
矩阵的数乘也=
AB.=B.A
AIi2=B2A
(7)
A
mxn
•AEn=Elt,A=A^
Aix/iME”=E”A=A・
4、
矩阵的转置
S
3、矩阵乘法:
俎心,〃如则=C“z=(eu)mxn,其中cij=E%bkjk=\
(1)一般地,AB^BA・
(2)一般地,AB=O^A=O^B=O・
(3)AB=AC±B=C・
AB=AC^AB-AC=O=>A(B-C)=0^A=O^B-C=()•
(4)若A〃=4C,则当A满足|4|HO时,B=C・
(5)(A+B)2^A2+2AB+B2;(A+B)(A-B)^A2-B2;
(6)^AB=BA,则称A,〃可交换.若A与妨,〃2可交换,贝1U与可交换・
=>A(Bd)=(AB)B2=(B4B2=B、(ABj=B】(B2A)=(Bd)A.
(町=A;(A+Bf=A7"+Bt;(M)r=M7;(Afif二BTAT
5、有关对称矩阵:
若4r=A,则称A为对称矩阵。
(1)A,B为同阶对称矩阵分AB也是对称矩阵.
A"是对称矩阵,也是对称矩阵.
((AB)7^BtAt=BAJBBA丰AB・)
(2)
二、方阵仏
1、方阵的行列式|A|
ki=H;I
M=FA;\AB\=\A\\B=BA.A=2,则\2A\=16,2A=-16・
(-21、
A=
U-1,
(_63、
贝'J3A=93,|3A|=・9・
2、方阵的逆矩阵
(1)定义:
若方阵4B满足人〃=£或34=£,贝=
4”可逆,则A"唯一・
(2)A“可逆o|A|工0oA是非奇异矩阵o心)卄&满秩.
(3)(A-1)"1=A;(以)"=+屮("0);(AB)1=B_,A
(Ar)_1=(A-1)7;(AB)k^AkBk;Ak+l=AkAl;(Ak)l=Akl.
3、有关可逆阵
(1)若矩阵人皿前足是可逆的・(x)
反例:
A=
但A不是方阵,
(\0)
B=01,AB=E2=
00丿
不会是可逆阵。
00、
10>
<10、
<0L
(2)若AX=B,且A可逆,则X=AT{B・
若XB=A,flB可逆,则X=AB{・
若AXB=C,且可逆,贝\\X=A-{CB-{.
若P4P"=B,则A=P~lBP.AH=P~xB,lP.
三、初等变换
1、初等变换:
彳亍:
町㈠兮;Zt;(RhO);斤+kq;列q㈠Cj;辰:
(EH0);c,+0・初等矩阵*人:
相当于对A施行相应的初等行变换;A*初等矩阵:
相当于对A施行相应的初等列变换。
初等矩阵不改变方阵的非奇异性
2、
行阶梯型矩阵、行最简型矩阵
3、
初等矩阵:
由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵
四、矩阵的秩
1、秩:
矩阵A的非零子式的最高阶数,记为r(A)o
2、性质:
(1)r(A)=0<=>A为零矩阵.
(2)r(Ar)=r(A)・
(3)mxn矩阵A的秩r(A) (4)初等变换不改变矩阵的秩 5.练习题 1、矩阵的运算 (2一2、 (1)A二A丫,贝W=M"1= I。 —1丿 A2=,3A=・ (12、 ⑵设珂3J则宀——— (3) 2、(3 4丿叫2 2\ ,则3A—2〃= 3丿 AB= ‘311、 (4)W(x)=x2-x-1,A=312J'J/(A)= 11-1o丿 10f -12、 ‘321、 021 03 031, \Z 111 、25, (5) (6) -2、 1,贝lj2Br-A= 2丿 00、 (7)己知矩阵人=0 <0 20,则R(A)= 40, 2、求逆矩阵 方法二: 利用伴随矩阵求逆矩阵A1 A 方法三: 利用逆矩阵定义,求逆矩阵 例: 若仙阶矩阵,满足屮_34+£=0」14-£可逆,并求(4-町1证明: vA2-3A+E=0,・・・A为方阵, ・・・(A-E)(A-2E)=E,两边取行列式,得: |A-E||A-2E|=1 ・・・A-E^O : .A-E可逆,且(A—E),二A—2E・ ‘223、 (1)A-1-10,求犷・ 1-121丿 ‘10 0> [3) (2) A- 11 0 9B= 5 ,解方程AX=B. J1 b 3丿 解: ⑴・・・|A|=1HO,・・・A可逆; (2)求A'1; ⑶求X=・ 3、求矩阵的秩M4) 方法: 人初箜变换〉行阶梯型矩阵Br(A)=B^非零行的个数. r011・1、 0222 ⑴从0.1.11'则「⑷—— kl100> ‘17-f -140riIzx (2)人二i7—,则心) <3-1-! > 练习题: 1.设4〃均为〃阶方阵,下列命题中正确的是( (A)(AB)t=AtBt(B)若A/B,则|A|h|B (C)|a+b|=|a|4-|b|(D)a-e=(a-e)(a+E) 2.设4阶矩阵A二a%』2,73),B=(0,7|』2』3),其中a,0,7i』2』3是4维列 向量,J&|A|=2,|B|=3,则\A+B\=(). (A)10(B)5(C)40(D)20 3.设A为三阶可逆矩阵,且|A|=3,贝ij|2A-! =・ 4•设A为3阶矩阵,且|A|=3,则|2A|=(). (A)3(B)6(C)12(D)24 一 5•设4=,则M=・ (23丿 6.设3维列向量a=(l,-1,2/,>5=(0,1,1)7,则”一20二。 7.设A,B均为斤阶方阵,则必有()・ (A)AB=BA (C)A-B=B-A (B)||A|B|=|A|LjB (D)|a+b|=|a|+|b| (1)A-2E=" -2 (T (2)由AX=2X+A得(A—2E)X=A.因为|A—2E|=1hO, 所以A-2E可逆,H(A—2E尸 ‘0-1、 Jo> ‘0-1、 '2 P -2、 10? — 2丿 、2 X=(A-2E)~iA f13) <3 2、 (39] <6 4、 5、 3A—2B=3 -2 = (24J厶r丿 <2 3> I12丿一 <4 6丿 <26y 解 (1) <13、 \y <32、 ,1x3+3x2Ix2+3x3> yir <24丿 X <23丿 、2x3+4x22x24-4x3; <1416, AB= 9.设A= 3、 4, <32、 <23, AB;(3)A'1. 10. V3、 -1 — 5・3、 04丿 A-2 「2J A_, -2 3、 2丄 2> 设A,B为三阶方阵,且满足A[BA=6A^BA,A 求A"及B. A-1 (3 0 <0 \ 0、 0 7y 7 (屮一砂=6£・ 7> =+两边右乘,得A'}B=6E+B,即 A1-E= <2 0 <0 0、 0,A-l-E可逆且 6丿 (1> -00 n、 -00 2 2 0-0 所以B=6(A_1-E)_,=6 0-0 3 3 00- 00- l6丿 l6丿 ) <3 0 (0 (A-'-EY' 0、 0 r / 11.设方阵A满足A2-A-3E=O9贝! j(A-E)-,=( (A-E)/3 (A)A-E(B)E-A(C)A/3(D) iiEA2-A=3E,A(A-E)=3E,A[-(A-E)]=E,所以A可逆,且A"=-(A-E)o 第三章线性方程组 一、n维向量、向量的线性相关性 1、线性相关;线性无关;极大线性无关组;向量组的秩利用定义证明向量组的线性相关性 例1: 已知线性无关,则少+硯‘弼+。 3,勺+"i线性无关. 证明: 设/(么[+碼)+&(”2+”3)+心(“3+)=0 =>(匕+氐3)G]+(氐i+氐2)。 2+(氐2+%3)。 3=0 ・・・ax9a2,a3线性无关, k、+比3=0 .・. k24-氐3=0 故。 [+么2,。 2+“3,。 3+"1线性无关. 2、题型: 判断a^a2,...,am(其中冬是〃维向量)是否线性相关,求极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表出. (判断加个〃维向量是否相关) 求解方法: I初等行变换 行阶梯形矩阵〃 I初等行变换行最简形矩阵C (其中匕•是巾维列向量) r(B)=;w(向量的个数),线性无关r(B) “B非零行左起第一个非零元素所在的列,对应向量构成极大无关组 其余向量可用极大无关组表出 例1: 设弔=(1丄2,3)心=(l,-l,l,l),a3=(1,3,3,1)心=(4厂2,5,6),求极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示. 1114、 5114) 0-22-6 V 01-13 '行阶梯形矩阵,r(A)=3<4,线性相关、 0-11-3 -7 0010 ,a2,冬构成极大线性无关组.丿 0-2-2-6; 0000, <1001^1 00]0(行最简形矩阵,闵=。 1+3隔) 解: A=(al9a29a3,a4)= 2135 0000丿 例2: 设硯=(l,2,-l,5),a2=(2,-l,l,l),a3=(4,3,-1,11), 求极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.特例: 当ax,a2,...,al是〃个〃维向量时,令4=仏”住夕…皿〃), ||A|=0,则勺,勺,…,匕线性相关; [A工0,则ai,a1,...,an线性无关。 5码的线性相关性. 12 解: |A|=2-1 -11 3=0 -10 24 -5-5=lx(-l)1+1 33 -5 =0 3 ・•・a^a2,a3线性相关. 二、线性方程组(m个方程,n个未知量) 1、齐次线性方程组: AmxnXnxi=Onixi,其中気闻是系数矩阵・求解方法: 系数矩阵A J初等行变换 7(a)=b的非零行的个数 行阶梯形矩阵B r(B)<〃(未知量的个数)=>方程组有非零解I初等行变换 X1=Z1X4+/2X5 行最简形矩阵C=>同解方程.x2=mlx4+m2xs 兀3=ntx4+n2x5 x2=加]q+tn2c2 ^x4=Cj,x5=c2,(cpc2eR),则系数形式通解: ,x3=n1cl+n2c2 X4=C] X5=5 向量形式通解: /\ 兀2 工3 mr ni C]+ (i、 l2 m2 n2 C2,基础解系: ©= 叫 ,§2= ri\ l2m2n2 1 0 1 0 任丿 <»> 0丿 丄 諾5+^2 兀1-兀2-兀3=0 例1: 3旺-3工2-5心=0,求解方程组,并写出它的一个基础解系. 2xt—2x2-4x3=0 特例: 当加=”时,(方程个数=未知量个数),由克莱姆法则: J|A|=O,则齐次线性方程组有非零解; AH0,则齐次线性方程组只有零解。 fcx+z=0 例2: 方程组<2兀+紗+z=0有非零解则系数E= kx-2y-^-z=0 2、非齐次线性方程组: =其中4“是系数矩阵・ 求解方法: 增广系数矩阵入=(AB) 、•初等行变换 行阶梯形矩阵C r(A)"(可=非齐次线性方程组无解 «r(A)=r(A)=n=>非齐次线性方程组有唯一解r(A)=r(A)</i=>非齐次线性方程组有无穷多解 初等行变换 行最简形矩阵C =>同解方程“ 唯一解: £•=&•,i=l,2,・・・,〃 Xj=a3x3+a4x4+rfI X2=63X3+64兀4+〃2 无穷多解: 01 k0=-2(2-k)=0=>k=2. -20 令心=C],兀4=C1\CVC2eR),则系数形式通解" "2 0 Xj=a3cv+a4c2兀2=也+b4c2 X3= X4= 非齐次线性方程组的特解 -x4=1 例3#3旺-兀2-3心+4乞=4,求它的基础解系,并用基础解系表示出全部解. Xj+5兀2_9兀3_8兀4=° 特例: 当m=n时,(方程个数=未知量个数), ||A|=0,则非齐次线性方程组无解或有无穷多解;'A^0,则非齐次线性方程组有唯一解。 ax{+兀2+兀3=一3 例4厂旺+〃兀2+心=2,当a#满足什么条件时,该方程组没有唯一解. X}+2方兀2+兀3=5 结论: 若X]X2^AX=0的解,贝吆X]+处X? 也是AX=0的解. 若X]是AX=0的解,疋是AX=B的解则何X]+疋也是AX=B的解. 例5: 若X]是AX=0的解,X提AX=b的解,则X2-3X.是的解. 三、练习题: 1.己知向量组ava^a3线性相关,a2,a3,a4线性无关,证明: $向量组a2,ava4线性表示. 2.设向量(2,・3,5)与向量(・4,6,a)线性相关,则。 =• 3•向量组aI=(l,l)7;a2=(3,4)/',a3=(0,l)r线性・(填“相关”或“无关”) 4.向量组©=(1,-1)? 心=(0,2j'心=(-4,18)7’一定线性•(填“相关” 或“无关”) 5.向量组A: ©,°2,・・・,%(加》3)线性无关的充要条件是() (A)存在不全为零的数kg…%,使热$+£笑+・・・+灯%H0 (B)向量组A中任意两个向量能线性无关 (C)向量组A中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)向量组A中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 6.设A为5阶方阵,若齐次线性方程组山=0的基础解系中含两个解向量,则 7.已知a,=(l,1,3,1几a2=(-l,0,-2,l)r,今(5,-2,&-9几a4=(-l,3,l,7)r, (1)求向量组懾,“2,“3,。 4的秩; (2)向量组是否线性相关,并说明理由; (3)求向量组a.,a2,a3,a4的最大无关组,把其余向量用最大无关组线性表示. ft? A=(a^a2,a^a4)= (\ 1 -1 0 5 -2 -r 3 <1 0 -1 1 5 -7 -1) 4 3 -2 8 1 GW口一人 0 1 -7 4 J 1 -9 7, <0 2 -14 8> V -1 5 -1) ( 1 0 -2 3、 DP 0 1 -7 4 0 1 -7 4 口- 0 0 0 0 0 0 0 0 <0 0 0 o> <0 0 0 0丿 (1)/? (a(,a2,a3,a4)=2. (2)因为2v4,所以线性相关. (3)是向量组的一个最大无关组,且 ay=-2a}一7a2,a4=3a(+4a2・ ‘231-3、 8.已知矩阵人=120-2, (1)求矩阵4的秩; (2)求A的列向量组的 、3-283丿 一个最大无关组,并把其余列向量用该最大无关组线性表示. 解对矩阵A施行初等行变换,得 <1 2 0 -2、 <1 2 0 -2、 彳+2勺 <1 2 0 0、 A〜 0 -1 1 1 0 -1 1 1 0 -1 1 0 々-2斤 <0 -8 8 9丿 <0 0 0 1> <0 0 0 b (1020) 斤+2勺 〜01-10 々x(T) (0001丿 (1)7? (A)=3;
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