算法设计与分析习题答案16章.docx
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算法设计与分析习题答案16章
习题1
1.
图七桥问题
北区
东区
岛区
南区
图论诞生于七桥问题。
出生于瑞士的伟大数学家欧拉(LeonhardEuler,1707—1783)提出并解决了该问题。
七桥问题是这样描述的:
一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡(现在叫加里宁格勒,在波罗的海南岸)城中全部的七座桥后回到起点,且每座桥只经过一次,图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。
请将该问题的数据模型抽象出来,并判断此问题是否有解。
七桥问题属于一笔画问题。
输入:
一个起点
输出:
相同的点
1,一次步行
2,经过七座桥,且每次只经历过一次
3,回到起点
该问题无解:
能一笔画的图形只有两类:
一类是所有的点都是偶点。
另一类是只有二个奇点的图形。
2.在欧几里德提出的欧几里德算法中(即最初的欧几里德算法)用的不是除法而是减法。
请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法
=m-n
2.循环直到r=0 m=n n=r r=m-n3 输出m
3.设计算法求数组中相差最小的两个元素(称为最接近数)的差。
要求分别给出伪代码和C++描述。
编写程序,求n至少为多大时,n个“1”组成的整数能被2013整除。
#include
usingnamespacestd;
intmain()
{
doublevalue=0;
for(intn=1;n<=10000;++n)
{
value=value*10+1;
if(value%2013==0)
{
cout<<"n至少为:
"< break; } }计算π值的问题能精确求解吗编写程序,求解满足给定精度要求的π值 #include usingnamespacestd; intmain() { doublea,b; doublearctan(doublex);圣经上说: 神6天创造天地万有,第7日安歇。 为什么是6天呢任何一个自然数的因数中都有1和它本身,所有小于它本身的因数称为这个数的真因数,如果一个自然数的真因数之和等于它本身,这个自然数称为完美数。 例如,6=1+2+3,因此6是完美数。 神6天创造世界,暗示着该创造是完美的。 设计算法,判断给定的自然数是否是完美数 #include usingnamespacestd; intmain() { intvalue,k=1; cin>>value; for(inti=2;i! =value;++i) { while(value%i==0) { k+=i;有4个人打算过桥,这个桥每次最多只能有两个人同时通过。 他们都在桥的某一端,并且是在晚上,过桥需要一只手电筒,而他们只有一只手电筒。 这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。 每个人走路的速度是不同的: 甲过桥要用1分钟,乙过桥要用2分钟,丙过桥要用5分钟,丁过桥要用10分钟,显然,两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度,问题是他们全部过桥最少要用多长时间 由于甲过桥时间最短,那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如: 第一趟: 甲,乙过桥且甲回来 第二趟: 甲,丙过桥且甲回来 第一趟: 甲,丁过桥 一共用时19小时 9.欧几里德游戏: 开始的时候,白板上有两个不相等的正整数,两个玩家交替行动,每次行动时,当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差,而且这个数字必须是新的,也就是说,和白板上的任何一个已有的数字都不相同,当一方再也写不出新数字时,他就输了。 请问,你是选择先行动还是后行动为什么 设最初两个数较大的为a,较小的为b,两个数的最大公约数为factor。 则最终能出现的数包括: factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。 如果a/factor是奇数,就选择先行动;否则就后行动。 习题4 1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关,试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。 2.证明: 如果分治法的合并可以在线性时间内完成,则当子问题的规模之和小于原问题的规模时,算法的时间复杂性可达到O(n)。 O(N)=2*O(N/2)+x O(N)+x=2*O(N/2)+2*x a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x 由此可知,时间复杂度可达到O(n); 3.分治策略一定导致递归吗如果是,请解释原因。 如果不是,给出一个不包含递归的分治例子,并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。 不一定导致递归。 如非递归的二叉树中序遍历。 这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是: 应用了栈这个数据结构。 4.对于待排序序列(5,3,1,9),分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。 归并排序: 第一趟: (5,3)(1,9); 第二趟: (3,5,1,9); 第三趟: (1,3,5,9); 快速排序: 第一趟: 5(,3,1,9);设计分治算法求一个数组中的最大元素,并分析时间性能。 设计分治算法,实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置,要求时间复杂性为O(n),空间复杂性为O (1)。 例如,对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。 设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。 #include usingnamespacestd; intdata[100]; 设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。 参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现 9.在有序序列(r1,r2,…,rn)中,存在序号i(1≤i≤n),使得ri=i。 请设计一个分治算法找到这个元素,要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。 在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。 请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。 设M是一个n×n的整数矩阵,其中每一行(从左到右)和每一列(从上到下)的元素都按升序排列。 设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中,并分析算法的时间复杂性。 12.设S是n(n为偶数)个不等的正整数的集合,要求将集合S划分为子集S1和S2,使得|S1|=|S2|=n/2,且两个子集元素之和的差达到最大。 设a1,a2,…,an是集合{1,2,…,n}的一个排列,如果i 例如,2,3,1有两个逆序: (3,1)和(2,1)。 设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。 循环赛日程安排问题。 设有n=2k个选手要进行网球循环赛,要求设计一个满足以下要求的比赛日程表: (1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次; (2)每个选手一天只能赛一次。 采用分治方法。 将2^k选手分为2^k-1两组,采用递归方法,继续进行分组,直到只剩下2个选手时,然后进行比赛,回溯就可以指定比赛日程表了 15.格雷码是一个长度为2n的序列,序列中无相同元素,且每个元素都是长度为n的二进制位串,相邻元素恰好只有1位不同。 例如长度为23的格雷码为(000,001,011,010,110,111,101,100)。 设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。 矩阵乘法。 两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z,且Zij 满足(1≤i,j≤n),这个公式给出了运行时间为O(n3)的算法。 可以用分 治法解决矩阵乘法问题,将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块,从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达,即 从而得到分治算法: 先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH,然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。 请设计分治算法实现矩阵乘法,并分析时间性能。 能否再改进这个分治算法 习题5 1.下面这个折半查找算法正确吗如果正确,请给出算法的正确性证明,如果不正确,请说明产生错误的原因。 intBinSearch(intr[],intn,intk) { intlow=0,high=n-1; intmid; while(low<=high) { mid=(low+high)/2; if(k elseif(k>r[mid])low=mid; elsereturnmid; } return0; } 错误。 正确算法: intBinSearch1(intr[],intn,intk) { intlow=0,high=n-1; intmid; while(low<=high) { mid=(low+high)/2; if(k elseif(k>r[mid])low=mid+1; elsereturnmid; } return0; } 2.请写出折半查找的递归算法,并分析时间性能。 求两个正整数m和n的最小公倍数。 (提示: m和n的最小公倍数lcm(m,n)与m和n的最大公约数gcd(m,n)之间有如下关系: lcm(m,n)=m×n/gcd(m,n)) 插入法调整堆。 已知(k1,k2,…,kn)是堆,设计算法将(k1,k2,…,kn,kn+1)调整为堆(假设调整为大根堆)。 参照: voidSiftHeap(intr[],intk,intn) { inti,j,temp; i=k;j=2*i+1;设计算法实现在大根堆中删除一个元素,要求算法的时间复杂性为O(log2n)。 nm 5065 25130130 12260 6520 310401040 120802080 3250 图俄式乘法 + 计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称为俄式乘法,其思想是利用了一个规模是n的解和一个规模是n/2的解之间的关系: n×m=n/2×2m(当n是偶数)或: n×m=(n-1)/2×2m+m(当n是奇数),并以1×m=m作为算法结束的条件。 例如,图给出了利用俄式乘法计算50×65的例子。 据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因此得名,这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快,因为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。 请设计算法实现俄式乘法。 拿子游戏。 考虑下面这个游戏: 桌子上有一堆火柴,游戏开始时共有n根火柴,两个玩家轮流拿走1,2,3或4根火柴,拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。 请为先走的玩家设计一个制胜的策略(如果该策略存在)。 如果桌上有小于4根的火柴,先手必胜,如果是5根,先手必输;依次类推,同理15、20、25…….都是必输状态;所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态,就可以获胜。 9.竞赛树是一棵完全二叉树,它反映了一系列“淘汰赛”的结果: 叶子代表参加比赛的n个选手,每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者,显然,树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。 请回答下列问题: (1)这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少 (2)设计一个高效的算法,它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。 (1)因为n人进行淘汰赛,要淘汰n-1人,所有要进行n-1场比赛。 (2) 10.在120枚外观相同的硬币中,有一枚是假币,并且已知假币与真币的重量不同,但不知道假币与真币相比较轻还是较重。 可以通过一架天平来任意比较两组硬币,最坏情况下,能不能只比较5次就检测出这枚假币 将120枚平均分为三组,记为: A,B,C;先将A,B比较,如果A,B重量不同(假如B比A重),再将B与C比较,如果B,C相同,则A有假币;如果B,C不同,再将A,C比较,如果A,C相同,则B有假币;如果A,C不同,则B有假币;如果A,B相同,则C有假币; 习题6 1.动态规划法为什么都需要填表如何设计表格的结构 在填写表格过程中,不仅可以使问题更加清晰,更重要的是可以确定问题的存储结构; 设计表格,以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。 2.对于图所示多段图,用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径,写出求解过程。 8 8 3 5 1 0 2 3 4 10 11 12 图第2题图 5 6 7 8 9 1 3 6 7 6 8 3 5 3 3 4 6 3 5 5 2 6 4 3 将该多段图分为四段; 首先求解初始子问题,可直接获得: d(0,1)=c01=5(0→1) d(0,2)=c02=3(0→1) 再求解下一个阶段的子问题,有: d(0,3)=d(0,1)+c13=6(1→3) d(0,4)=min{d(0,1)+c14,d(0,2)+c24}=8(1→4) 。 。 。 。 。 。 。 。 (以此类推) 最短路径为: 0→1→3→8→11→12 3.用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解: 有5个物品,其重量分别为(3,2,1,4,5),价值分别为(25,20,15,40,50),背包容量为6。 写出求解过程。 (x1,x2,x3,x4,x5)→(1,1,1,0,0)(过程略) 4.用动态规划法求两个字符串A="xzyzzyx"和B="zxyyzxz"的最长公共子序列。 写出求解过程。 略 5.给定模式"grammer"和文本"grameer",写出动态规划法求解K-近似匹配的过程。 略 6.对于最优二叉查找树的动态规划算法,设计一个线性时间算法,从二维表R中生成最优二叉查找树。 7.Ackermann函数A(m,n)的递归定义如下: 设计动态规划算法计算A(m,n),要求算法的空间复杂性为O(m)。 考虑下面的货币兑付问题: 在面值为(v1,v2,…,vn)的n种货币中,需要支付y值的货币,应如何支付才能使货币支付的张数最少,即满足 ,且使 最小(xi是非负整数)。 设计动态规划算法求解货币兑付问题,并分析时间性能和空间性能。 #include #defineN100000 #defineM20 inta[N][M]; intvalue[M]; usingnamespacestd; intmain() { while(true) { inti,j,k; intx,y,z; cout<<"输入货币种类的个数: "< cin>>x; cout<<"从小到大输入货币的价值,其中第一个必须为一: "< for(i=1;i<=x;i++)//x为货币种类的个数 { cout<<"value["< cin>>y; value[i]=y; } cout<<"输入要兑换的钱的价值: "< cin>>z;//z为钱 for(j=0;j<=z;j++) a[j][0]=0; for(k=0;k<=x;k++) a[0][k]=0; for(i=1;i<=z;i++) { for(j=1;j<=x;j++) { if(value[j]==i) a[i][j]=1; elseif(value[j]>i) a[i][j]=a[i][j-1]; else a[i][j]=a[i-value[j]][j]+1;//相当于把乘法换成加法,即碰到一个钱数于兑换货币自身价值时,返回到 钱数减去该货币值的地方,其值再加1// }//for } cout<<"兑换的最小货币个数是:
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- 算法 设计 分析 习题 答案 16