高二数学 直线和平面平行的判定和性质同步教案 新人教A版.docx

高二数学 直线和平面平行的判定和性质同步教案 新人教A版.docx

《高二数学 直线和平面平行的判定和性质同步教案 新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学 直线和平面平行的判定和性质同步教案 新人教A版.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高二数学直线和平面平行的判定和性质同步教案新人教A版

2019-2020年高二数学直线和平面平行的判定和性质同步教案新人教A版

一、本讲进度

第九章直线、平面、简单几何体

9．4直线和平面平行的判定和性质

二、主要内容

1、直线和平面垂直的定义，判定及性质；

2、三垂线定理及逆定理。

三、学习指导

1、直线和平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊位置关系。

其定义为：

该直线与平面内任意一条直线都垂直。

也就是用线线垂直去定义线面垂直，体现了线线与线面关系的转化思想。

若直线和平面α垂直，符号表示为⊥α。

图形表示为：

其中：

和α的交点称为垂足。

直线叫平面的垂线，平面α叫直线的垂面。

注意概念中的“任意一条”可以用“所有条”代替，但不能用“无数条”代替。

直线和平面垂直的判定有两种方法；一是定义，二是判定定理。

判定定理是用定义证明的。

判定定理的证明充分运用了平面几何的知识，强调了平面几何知识是学好立体几何的基础。

在证明过程中，构造了若干平面（等腰三角形）。

直线和平面垂直的性质是定义，即：

如果⊥α，mα，则⊥m。

数学中概念的定义既可以作为判定定理使用，也可以作为性质定理使用。

2、两个唯一性的命题。

过一点和已知平面垂直的直线只有一条；

过一点和已知直线垂直的平面只有一个。

借助于反证法很容易得到证明。

3、三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要定理之一。

其用途是证明线线垂直。

运用三垂线定理及逆定理的难点是具体问题中的变式图形。

为了解决这个难点，首先要加深对课本上基本图形的认识，其次要找到一个基本平面（即基本图形中的α），分清平面内的直线与平面的斜线，再次找平面的垂线，这是很关键的一步。

三垂线定理及其逆定理实质上是把从线线垂直到线面垂直再到线线垂直的模式固定下来，其模式为：

∵PA⊥α，A为垂足

PO为α的斜线，O为斜足

aα，a⊥AO

∴a⊥PO

课本P.23例4是一个很重要的真命题。

与这个命题类似的还有：

“若PA与AB、AC所成角相等，则PA在平面α上的射影为∠BAC的平分线。

”

4、课本P.24例5给出了求直线外一点P到直线距离的另一种方法，即利用三垂线定理构造直角三角形。

具体步骤为：

（1）作PO⊥α，O为垂足

（2）作OH⊥，H为垂足

（3）连PH，则PH⊥，PH长度为点P到的距离。

5、本节主要方法有反证法、构造法、化归的思想等。

四、典型例题

例1、已知MN⊥a，MN⊥b，a、b为异面直线，a∥α，b∥α，

求证：

MN⊥α。

分析：

只要将a、b平移到α内去即可。

设MN∩α=0，设a与O确定的平面交α于a’，则由线面平行的性质定理a∥a’

设b与O确定的平面交α于b’，则b∥b’

∵MN⊥a，a’∥a

∴MN⊥a’

同理：

MN⊥b’

∵a’∩b’=0，a’α，b’α

∴MN⊥α

例2、

（1）P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，H是△ABC的垂心，求证：

PH⊥平面ABC。

（2）P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H为垂足，求证：

H为垂心。

分析：

从线线垂直与线面垂直的相互转化入手

（1）∵PA⊥PB，PA⊥PC

∴PA⊥平面PBC

∴PA⊥BC

∵H为△ABC垂心

∴BC⊥AH

∵PA∩AH=A

∴BC⊥平面PAH

∴BC⊥PH

同理：

AB⊥PH

∵AB∩BC=B

∴PH⊥平面ABC

（2）由

（1）得：

PA⊥BC

∵PH⊥平面ABC

∴AH为PA在平面ABC上的射影

∵BC平面ABC，BC⊥PA

∴BC⊥AH

同理：

AB⊥CH

∴H为△ABC垂心

注：

本题中的两个小问题可以看成是一对逆命题。

在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下，P在平面ABC上的射影与△ABC的垂心为同一点。

例3、已知aα，a⊥b，b⊥α，求证：

a∥α。

分析：

设法构造经过直线a的辅助平面β，使得β与α相交，则只要证明a平行于交线即可。

∵b⊥α

∴b垂直于α内任一条直线

又a⊥b

由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行”，从把a、b转移到同一平面内着手。

任取点A∈a，过A作b’∥b，设b’∩α=B，则b’⊥α（请同学们思考如何证明）

设由a，b’确定的平面β交α于c，则b’⊥c

∵a⊥b，b’∥b

∴b’⊥a

∵a，b’，c均在平面β内

∴a∥c

∴a∥α

例4、正方体ABCD—A1B1C1D1中

（1）求证：

A1C⊥BD，A1C⊥C1D，A1C⊥B1A；

（2）求证：

A1C⊥平面BDC1；

（3）设O是正方形BCC1B1的中心，求证：

BC1⊥DO。

分析：

（1）本题中的三组线线垂直都是异面垂直，若用定义证明，则繁顼。

考虑用三垂线定理及逆定理。

在正方体A1B1C1D1—ABCD中，由每一个面都是正方形，利用线面垂直的判定定理，易证：

AA1、BB1、CC1、D1D都与平面ABCD及平面A1B1C1D1垂直；AB、DC、A1B1、D1C1都与平面BB1C1C、平面AA1D1D垂直；A1D1、AD、B1C1、BC都与平面AA1B1B、平面CC1D1D垂直。

这些垂直关系应熟记，可直接作为结论使用。

∵A1A⊥平面ABCD

∴AC为A1C在平面ABCD上的射影

∵BD⊥AC，BD平面ABCD

∴BD⊥A1C

在这里选取基本平面为ABCD

同理，选取平面CC1D1D为基本平面，证A1C⊥C1D

选取AA1B1B为基本平面，证A1C⊥B1A

（2）由

（1），A1C⊥BD，A1C⊥C1D

∵BD∩C1D=D

∴A1C⊥平面BDC1

（3）∵DC⊥平面BB1C1C

∴OC为DO在平面BB1C1C上的射影

∵BC1平面BB1C1C，BC1⊥OC

∴BC1⊥DO

注：

在垂直关系的证明中，应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想。

三垂线定理及逆定理是证明异面直线垂直的重要方法。

例5、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AA1中点，P为正方形A1B1C1D1的中心

（1）求证：

MP⊥B1C；

（2）线段A1B1上的点N满足A1N=NB1，求证：

MN⊥MC。

分析：

（1）法一：

直接利用三垂线定理，选平面BB1C1C为基本面。

找MP在平面BB1C1C上的射影。

作MM1∥A1B1交BB1于点M1

作PP1∥A1B1交B1C1于点P1

则MM1⊥平面BB1C1C，PP1⊥平面BB1C1C

∴M1P1为MP在平面BB1C1C上的射影

∵M为AA1中点，P为A1C1中点

∴M1、P1分别为BB1、B1C1的中点

∴M1P1∥BC1

又BC1⊥B1C

∴M1P1⊥B1C

由三垂线定理：

MP⊥B1C

法二：

把MP平移，转化利用三垂线定理

矩形AA1C1C中，M、P分别为AA1、A1C1的中点

∴MP∥AC1

由上题知AC1⊥B1C

∴MP⊥B1C

（2）选平面AA1B1B为基本面

∵CB⊥平面AA1B1B

∴BM为CM在平面AA1B1B上的射影

下面只要证明BM⊥MN即可

∵BM与MN在同一平面内

∴利用勾股定理

设正方体棱长为a，则BM2=AB2+AM2=a2+

MN2=MA12+A1N2=

BN2=BB12+B1N2=

∵BM2+MN2=BN2

∴BM⊥MN

∴MC⊥MN

注：

利用勾股定理证明线线垂直，体现了数量关系与位置关系的联系。

同步练习

（一）选择题

1、空间四边形ABCFD的四边相等，则它的对角线AC与BD的关系是

A、垂直相交B、相交但不一定垂直

C、垂直但不相交D、不垂直不相交

2、矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=1，则P到对角线BD的距离为

A、B、C、D、

3、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是

A、B、C、D、

4、P是△ABC所在平面α外一点，P到△ABC三边的距离相等，PO⊥α，O为垂足，O在△ABC内部，则O是△ABC的

A、外心B、内心C、垂心D、重心

5、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若P到ABCD四边距离相等，则ABCD一定是

A、菱形B、矩形C、正方形D、以上都不是

6、异面直线在同一平面上的射影不可能是

A、两平行直线B、同一直线C、两相交直线D、一点与一直线

7从平面外一点P引与α相交的直线，使点P与交点的距离等于1，则满足条件直线条数一定不可能是

A、0条B、1条C、2条D、无数条

8、已知PH⊥α，H为垂足，HEα，EFα，HE⊥EF，连PE、PF、HF，则图中直角三角形的个数是

A、1个B、2个C、3个D、4个

9、已知PE垂直于⊙O所在平面，EF是⊙O的直径，点G为圆周上异于E、F的任一点，则下列结论不正确的是

A、FG⊥平面PEGB、PG⊥FGC、EG⊥PFD、PE⊥GF

10、如果∠APB=∠BPC=∠CPA=600，PA=a，PA在平面∠BPC上的射影为PO，则cos∠APO等于

A、B、C、D、

（二）填空题

11、PO⊥平面AOB，∠AOB=900，AB=a，∠PAO=∠PBO=α，C是AB中点，则PC=__________。

12、若a∥b，a⊥α，则b______α；若a⊥b，a⊥α，则b______α。

13、空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，若BD=5，AC=4，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的中点，则MNPQ的面积是__________。

14、△ABC中，∠ACB=900，P是平面ABC外一点，PA=PB=PC，若AC=12，P到平面ABC的距离为8，则P到BC的距离等于__________。

15、正三角形ABC的边长为a，AD⊥BC，D为垂足，沿AD将△ABC折起，使∠BDC=900，则B到AB的距离为__________。

（三）解答题

16、四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求证：

AD⊥BC。

17、Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=3，BC=4，PC⊥平面ABC，PC=，求点P到直线AB的距离。

18、若直角ABC的一边BC平行于平面α，另一边AB与平面α斜交，求证：

∠ABC在平面α上的射影仍是直角。

19、空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，若∠BAC≠900，求证：

A在平面PBC上的射影A’不可能是△PBC的垂心。

20、A是△ABC所在平面外一点，∠ABD=∠ACD=900，AB=AC，E是BC中点，求证：

（1）AD⊥BC；

（2）△AED是钝角三角形。

参考答案

（一）选择题

1、C。

取BD中点M，则BD⊥AM，BD⊥CM，∴BD⊥平面ACM，∴BD⊥AC

2、B。

作AH⊥BD，H为垂足，连PH，则PH⊥BD，AH=，PH=

3、D。

4、B。

O到△ABC三边距离相等

5、A。

P在平面ABCD上的射影为ABCD内切圆圆心，平行四边形ABCD有内切圆，从而为菱形

6、B。

7、C。

当P到平面距离大于1时，直线不存在；当P到平面距离等于1时，直线只有一条；当P到平面距离小于1时，直线有无数条

8、D。

9、C。

10、D。

PO为∠BPC平分线，作OH⊥PC，H为垂足，连AH，则PH=AP·cos600=,

OP=，cos∠APO=。

（二）填空题

11、连CO，∵∠PAO=∠PBO，∴PA=PB，OA=OB，∴PC⊥AB，OC⊥AB，∴CO=，AO=BO=CO=，∴PO=，∴PC=

12、⊥，∥，或。

13、5。

MNPQ为矩形

14、10。

P在平面ABC上的射影O为△ABC外心，即为斜边AB中点，作OD∥AC交BC于D，连PD，则PD⊥BC，PO=8，OD=6，∴PD==10

15、。

作DH⊥AC，H为垂足，连BH，∵BD⊥平面HCD，∴BH⊥AC，BD=a，DH=CDsin600=，∴BH=

（三）解答题

16、作AO⊥平面BCD，O为垂足，连BO、CO、DO，则BO为AB在平面ACD上的射影

∵CD⊥AB

∴CD⊥BO

同理：

BD⊥CO

∴O为△BCD垂心

∴DO⊥BC

∵DO为AD在平面ABCD上的射影

∴BC⊥AD

17、作CH⊥AB，H为垂足，连PH

∵PC⊥平面ACB

∴CH为PH在平面ABC上的射影

∵AB⊥CH

∴AB⊥PH

∴PH长度就是点P到直线AB的距离

△ACB中，AC·BC=AB·CH

∴CH=

∴PH=

∴点P到AB的距离为3

18、分别过B、C作平面α的垂线，设垂足分别为A’、B’，连AB’、B’C’

则BB’∥CC’

平面BB’C’C∩α=B’C’

∵BC∥α

∴BC∥B’C’

∵AB⊥BC

∴AB⊥B’C’

∵AB’为AB在α上的射影

∴AB’⊥B’C’

∴∠AB’C’=900

19、假设A’为△PBC的垂心，则BA’⊥PC

∵BA’为AB在平面PBC上的射影

∴PC⊥AB

∵PA⊥平面ABC

∴AC为PC在平面ABC上的射影

∴AB⊥PC

∴∠ABC=900，与已知矛盾

∴假设不成立

∴A’不是△PBC垂心

20、

（1）∵AB=AD，∠ABD=∠ACD=900

∴Rt△ABD≌Rt△ACD

∴BD=BC

∵E是BC中点

∴AE⊥BC，ED⊥BC

∴BC⊥平面AED

∴BC⊥AD

（3）cos∠AED=

<0

00<∠AED<1800

∴∠AED>900

∴△AED是钝角三角形

2019-2020年高二数学空间向量及其运算同步教案新人教A版

一、本讲进度

第九章直线、平面、简单几何体

9．5空间向量及其运算

二、主要内容

1、空间向量的概念及其运算性质；

2、利用空间向量的运算性质解决立体几何的证明与计算问题。

三、学习指导

1、空间向量的概念及运算

与平面向量一样，在空间，具有大小和方向的量叫做向量。

向量的表示法：

①图形表示法。

用有向线段表示；②符号表示法（字母表示法）；如向量，向量。

向量的特征：

只与长度与方向有关，与有向线段的起点无关，即在空间，我们只研究自由向量。

由于空间任意两个向量之间的加法、减法与数乘运算的法则完全与平面向量相同，如加法与减法的三角形法则：

+=，=-，在此基础上可推导出多边形法则：

++…+=。

三角形法则是向量运算的基础，通过加法可以合并向量，起消元的作用。

通过减法可以分解为若干基本向量，体现化归的思想。

向量的加法、减法、数乘的运算性质：

（1）加法交换律：

+=+

（2）加法结合律：

（+）+=+（+）

（3）数乘分配律：

λ（+）=λ+λ

2、共线向量与共面向量的比较

共线向量（平行向量）

共面向量

定义

表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合

平行于同一平面的向量

符号

∥

∥α

几何位置

平行或重合

平行或在平面内

定理

∥（≠）

=λ

实数λ唯一存在

，不共线，与，共面

=x+y

实数x，y唯一存在

向量参数表示式

=+t（a为非零方向向量）

=（1-t）+tt∈R

=x+y

=+x+yx∈R，y∈R

3、空间向量基本定理：

如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组x，y，z，使=x+y+z。

用集合表示为：

所有空间向量组成的集合是{|=x+y+z，x，y，z∈R，，，不共面}

其中，，叫基向量，{，，}是空间一个基底，实数x，y，z唯一存在。

推论：

O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使：

=x+y+z

利用空间向量基本定理，可以将空间任一向量表示为不共面的三个向量的线性组合。

从而把向量之间的运算转化为基底的运算，体现了化归和消元的思想。

4、空间两个向量的数量积与平面向量类似。

5、用向量解几何问题的一般方法是；找适当基底（通常找同一顶点出发的若干向量）；用基底表示基向量；通过向量的计算解决几何问题，如长度用模、夹角用数量积。

四、典型例题

例1、空间四边形ABCD中，E为AD中点，F为B台点，求证：

（+）。

解题思路分析：

法一：

利用多边形法则，找出与有关向量的等量关系，再对相关向量进行变换，达到题目要求。

例如：

=++，=++

∴2=+++++

∵E，F分别为AD，BC中点

∴与为相反向量，+=

同理，+=

∴2=+，（+）

法二：

构造基本三角形，利用加法定理

例如：

取AC中点G，则EGDC，，FGAB，

∴=+=+=（+）

法三：

选择适当基底，把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算

例如：

选基底{，，}

则，=（+）

∴=-=（+-）

=（+）

说明：

基底的选法是不唯一的。

本题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法。

还有一种常用选法是在空间任取一点O，以从点O出发的三条不共面的向量为基底。

例2、已知向量{，，}中选哪一个向量，一定可以与向量=+，=-，构成空间的另一个基底？

解题思路分析：

由空间向量基本定理可知，空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底

∵+，-与，构成平行四边形

∴+，-，，一定共面

∴与不能与+，-构成基底

∴与+，-可以构成空间的一个基底

例3、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，=，=，=，M，N，P，Q分别是A1D1，CC1，BC，A1D的中点，用基底{，，}表示以下向量：

（1）

（2）（3）

解题思路分析：

利用多边形法则，或构造若干个相关的三角形

（1）=++=++

=++

或者：

=+=+++

（2）=（）-）

=-）

=）=-

（3）（）

=

=++--=++

说明：

用基向量的线性组合去表示相关向量，是用向量知识研究几何问题的基础。

在寻找线性组合的过程中，主要是以向量为边构造三角形或多边形（包括平行四边形）。

若M为中点，则（）是经常用到的重要公式。

例4、四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：

AD⊥BC。

解题思路分析：

首先将几何语言“翻译”为向量语言，即已知·=0，·=0，求证：

·=0

其次，选择适当的基底，沟通已知向量与未知向量之间的关系

例如：

途径一：

选基底{，，}，设=，，，则：

=-，-，-

∵·

∴·（-）=0

∴·-·=0①

∵·

∴·（-）=0

∴·-·=0②

①-②得：

·-·=0

∴·（-）=0

∴·

∴AD⊥BC

途径二：

任取空间一点O，其基底{，，}

设，，

则=-，-

=-

再设

则-，-，-

∵·

∴（-）·（-）=0

∴·-·-·+·=0①

∵·

∴·-·-·+·=0②

①-②得：

·-·+·-·=0

∴·（-）-·（-）=0

∴（-）·（-）=0

∴·=0

∴CB⊥AD

说明：

由上述两种选基底的方法可知，由于基底的选择不同，向量运算的简繁程度也有所差异，因此，应学会选择适当的基底。

例5、P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M，N分别在PA、BD上，且

（1）求证：

MN∥平面PBC

（2）求证：

MN⊥AD

（3）求MN与PC所成角的大小

解题思路分析：

（1）根据共面向量定理，只需证明可以表示为、、中任两个向量的线性组合，为此，必须选基底，再利用三角形法则，利用基底找到上述向量之间的线性关系。

取基底{，，}，设，=，，则，-，-

∴+-2

∴++（++）

∴（+）=+

∴与，共面

∴平面PBC

∴MN∥平面PBC

（2）只需证·，-

∵·（+）·（-）=（-）=（|-）=0

∴⊥，MN⊥AD

（4）利用数量积公式的变形

∵·=||·||cos<,>

∴cos<，>=（·）/（||·||）

∵（+）2=（++2·）

·=||||cos<,>=m2cos

∴（m2+m2+m2）=

∴||=

又∵·（+）·=（·+）

=

∴cos<，>=（·）/（||·||）=

∵<，>∈[0，π]

∴<，>=300

∴MN与PC成300角

说明：

由本例可以看出，用向量解决几何问题，重在问题运算，降低了对空间图形抽象思维的要求，显得简单，易于上手。

例6、PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：

MN⊥平面PCD。

解题思路分析：

只需证与、、中任意两个向量的数量积等于0

选基底{，，}，设，，

则=+，

（+）=（++）

∴-（++）=--

∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥AB，PA⊥AD

∴·=0，·=0

又AB⊥AD

∴·=0

∴·（--）·（-）=·+·=0

·-（+）·（-）=-（-）=-（|-）=0

∴MN⊥CD，MN⊥PD

又MCD∩PD=D

∴MN⊥平面PCD

说明：

通过上述两例可以知道，三角形法则或多边形法则是向量运算的基础，因为用基底正确表示出相关向量是解决问题的关键一步。

同步练习

（一）选择题

1、对空间任意两个向量，（≠），∥的充要条件是

A、=λB、=λC、=D、=-

2、下列命题正确的是

A、如果向量，与任何向量不能构成空间的基底，那么，不共线

B、如果，，是三个基向量，那么+，+，+，不能构成空间的一个基底

C、若，，不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C四点共面

D、空间中的基底只有有限个

3、在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则（+）等于

A、B、C、D、

4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，那么下列运算结果为正值的是

A、·B、·C、·D、·

（二）填空题

5、如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。

6、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，+=____________。

7、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=900，∠BAA1=∠DAA1=600，则A1C等于____________。

8、已知G为△ABC的重心，O为空间任意一点，则用，，表示为____________。

9、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，如果+x+y，则x=__________，y=__________。

10、空间四边形OABC，点M，N分别是OA，OB的中点，设=，，，则用，，表示的结果是____________。

（三）解答题

11、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，，，P，M，N分别是CA1，CD1，C1D1的中点，点Q在CA1上，CQ∶QA1=4∶1，试用基底{，，}表示以下向量：

，，，。

12、已知空间四边形OABC，OA=OB，CA=CB，E，F，G，H