几种常见不等式的解法.docx
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几种常见不等式的解法
题目高中数学复习专题讲座一几种常见解不等式的解法高考要求
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的
重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年
年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式重难点归纳
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题
原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法
(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
(5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式
(6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论典型题例示范讲解
例1已知f(x)是定义在[—1,1:
上的奇函数,且f
(1)=1,若m、n€[—
丄f(m)f(n)门
1,1],m+nM0时——>0
mn
(1)用定义证明f(x)在[—1,1]上是增函数;
11
⑵解不等式f(x+)vf();
2x1
⑶若f(x)wt2—2at+1对所有x€[—1,1],a€[—1,1]恒成立,求实数t的取值范围
命题意图本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析
能力与化归能力
知识依托本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用
11
错解分析
(2)问中利用单调性转化为不等式时,x+—€:
—1,1],——
2x1
€[—1,1]必不可少,这恰好是容易忽略的地方
技巧与方法
(1)问单调性的证明,利用奇偶性灵活变通使用已知条件
不等式是关键,(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔
(1)证明较任取X1VX2,且xi,X2€[—1,1],贝yf(xi)—f(x2)=f(xi)+f(—
f(Xjf(X2)、
X2)=•(X1—X2)
X1x2
1 一f(x1)f(X2)cF …X1+(—X2)M0,由已知-->0,又X1—X2<0, x1x2 二f(X1)—f(X2)<0,即f(x)在[—1,1]上为增函数 ⑵解•••f(x)在[—1,1]上为增函数, 1X-1 2 13 二11解得{x|—wx<—1,x€R} x12 11 x 2x1 ⑶解由⑴可知f(x)在[—1,1]上为增函数,且f (1)=1, 故对x€[—1,1],恒有f(x)<1, 所以要f(x)wt2—2at+1对所有x€[—1,1],a€[—1,1]恒成立,即要t2—2at+1>1成立, 故t2—2at>0,记g(a)=t2—2at,对a€[—1,1],g(a)>0, 只需g(a)在[—1,1]上的最小值大于等于0,g(—1)>0,g (1)>0, 解得,t<—-或t=0或t>- t的取值范围是{t|tw—-或t=0或t>2} 例-设不等式x2—2ax+a+2w0的解集为M,如果M[1,4],求实数a的取值范围 命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关 系 知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集 合之间的关系,以及分类讨论的数学思想 错解分析M=是符合题设条件的情况之一,出发点是集合之间的关 系考虑是否全面,易遗漏;构造关于a的不等式要全面、合理,易出错 技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题,充分考虑二次方 程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在;数形结合的思想使 题目更加明朗 解M[1,4]有两种情况其一是M=,此时A<0;其二是M 丰,此时A=0或A>0,分三种情况计算a的取值范围 设f(x)=x2—2ax+a+2,有A=(-2a)2—(4a+2)=4(a2—a-2) ⑴当Av0时,一1vav2,M=? : 1,4: (2)当A=0时,a=—1或2 当a=—1时M={—1}: 1,4];当a=2时,m={2}? : 1,4]. (3)当A>0时,av—1或a>2设方程f(X)=O的两根X1,X2,且X1vX2, f (1)0,且f(4)0 1a4,且0 那么M=[X1,X2],M[1,4]1WX1VX2<4 解原不等式可化为(a1)x3^2>0, x2 a2 ①当a>1时,原不等式与(x—)(x—2)>0同解 a1 a2.1 由于112 a1a1 a2 •••原不等式的解为(一8,)U(2,+8) a1 ab 集是(,2),则f(x)•g(x)>o的解集是 3已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解,则a的取值范围是 4已知适合不等式|x2-4x+p|+|x—3|W5的x的最大值为3 x ⑵若f(x)=^,解关于 (1)求p的值; 一1x x的不等式f-1(x)>logp(k€R+)k 5设f(x)=ax2+bx+c,若f (1)=7,问是否存在a、b、c€R,使得不等 2 式x2+1 22 6已知函数f(x)=x2+px+q,对于任意B€R,有f(sin0)<0,且f(sin0 +2)>2 (1)求p、q之间的关系式; ⑵求p的取值范围; ⑶如果f(sin0+2)的最大值是14,求p的值并求此时f(sin0)的最小 值 1 7解不等式loga(x-)>1 x 8设函数f(x)=ax满足条件当x€(-o,0)时,f(x)>1;当x€(0, 9 1]时,不等式f(3mx—1)>f(1+mx—x2)>f(m+2)恒成立,求实数m的取值范围 由f(x)•g(x)>0可得 答案[—2,2] 4解⑴•••适合不等式|x2—4x+p|+|x—3|W5的x的最大值为3, •-x—3W0,•-|x—3|=3—x 若|x2—4x+p|=—x2+4x—p,则原不等式为x2—3x+p+2>0,其解集不可能为{x|xw3}的子集,二X2—4x+p|=x2—4x+p ••原不等式为x2—4x+p+3—x<0,即x2—5x+p—2<0, 令x2—5x+p—2=(x—3)(x—m),可得m=2,p=8 七‘1x,1x, ••有log8>log8,…Iog8(1—x)vIog8k,「.1—xvk,「.x>1—k 1xk •••—1vxv1,k€R+,•当0vkv2时,原不等式解集为{x|1—kvxv1};当k>2时,原不等式的解集为{x|—1vxv1} 7713 5解由f (1)=2得a+b+c=2,令x2+2=2x2+2x+r=—1, 由f(x)w2x2+2x+-推得f(—1)<3 22 1333 由f(x)>x2+推得f(—1)>,•f(—1)=,•a—b+c=, 2222 55 故2(a+c)=5,a+c=且b=1,•f(x)=ax2+x+(—a) 22 51 依题意ax2+x+(—a)>x2+对一切x€R成立, 22 •a工1且A=1—4(a—1)(2—a)<0,得(2a—3)2<0, •f(x)=3x2+x+1 2 33 易验证x2+x+1<2x2+2x+对x€R都成立 22 3 •••存在实数a=,b=1,c=1, 2 13 使得不等式x2+- 22 6解⑴T—1wsinBw1,1 <0,当x€[1,3[时,f(x)>0,二当x=1时f(x)=0•1+p+q=0,•q=— (1+p) ⑵f(x)=x2+px—(1+p), 当sin0=—1时f(—1)w0,•1—p—1—pw0,•p》0 ⑶注意到f(x)在]1,3]上递增,•x=3时f(x)有最大值 即9+3p+q=14,9+3p—1—p=14,「.p=3 此时,f(x)=x2+3x—4,即求x€[—1,1]时f(x)的最小值 325 又f(x)=(x+-)2—-5,显然此函数在[—1,1]上递增 24 ••当x=—1时f(x)有最小值f(—1)=1—3—4=—6 1 7解 (1)当a>1时,原不等式等价于不等式组 1 1 由此得1—a>丄 x 1 因为1—av0,所以xv0,•一 1 vxv0 (2)当0vav1时,原不等式等价于不等式组 1 由①得x>1或xv0,由②得0vxv一 1a 1 综上,当a>1时,不等式的解集是{x|一v 1a •••1vxv xv0},当0vav1时,不等 1 式的解集为{x|1vxv} 1a 8解由已知得0vav1,由f(3mx—1)>f(1+mx—x2)>f(m+2),x€(0,1]恒成立 3mx1 1mx mx 在x€(0,1]恒成立 整理,当x€ (0,1)时, 2 x m(x1)x2 2x1 恒成立, 1 1x2 即当x€(0,1]时, 2x恒成立, x21 x1 且x=1时, 2mx m(x 1) 2 x 2 x 恒成立, 1 ..1x2 2x 1 •mv- 2x 11 在x€(0,- 2x2 x2 恒成立mv0 1]上为减函数,•v—1, 2x x21 又•••(x1) x1 x21 •m>-——1恒成立 x1 12 2,在x€(0,1]上是减函数,••• Jv—1 x1 m>—1 当x€(0,1)时, 1x2 x2x1恒成立 m€(—1,0) ,2mx 当x=1时, m(x 1) 2 X 2 X ,即是 1 m€(—1,0),使x€(0,1]时, f(3mx—1)>f(1+mx—x2)>f(m+2)恒成立,m的取值范围是 •••①、②两式求交集 (—1,0) 课前后备注
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- 关 键 词:
- 常见 不等式 解法