高数二重积分习题加答案.docx

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高数二重积分习题加答案

高数二重积分习题加答案

用二重积分求立体的表面积

二重积分习题课例1比较I1=∫∫（x+y）2dσ与I2=∫∫（x+y）3dσ的大小,DD

其中D由（x2）2+（y1）2=2围成.y

由重积分的性质x+y1

I1I2

1

2

0

1

2

x

x+y=1

用二重积分求立体的表面积

例2将二重积分化成二次积分I=∫∫f（x,y）dxdy,

D:

x+y=1,xCy=1,x=0所围所围.,1y

D

先对y积分y=1Cx

I=01

∫dx∫0

1

1x

x1

f（x,y）dy

x

y=xC1C1

用二重积分求立体的表面积

先对x积分1y

I=x=1CyD1

∫∫+∫∫D1D21y

=1

∫dy∫0

1

0

f（x,y）dx+y+1

0D2

x

+

∫

0

1

dy∫

0

f（x,y）dx

x=y+1C1

用二重积分求立体的表面积

例3将二次积分换序I=D:

x≤y≤2axx2

∫0dx∫xy

a

2axx2

f（x,y）dy.

a

x=aa2y2

0≤x≤ay2=2axx2

即y+（xa）=a又Qx≤a,∴xa=ay22

2

2

2

0

ax

I=

∫

a

0

dy

∫

y22

aay

f（x,y）dx

用二重积分求立体的表面积

例4将I=∫dy∫00区域边界：

区域边界：

边界y

2R

2Ryy2

f（x,y）dx变为极坐标形式.即r=2Rsinθπ即θ=2

x=2Ryy2

x=0r=2Rsinθ

2R

∴I=∫dθ∫0

π20

2Rsinθ

0

f（rcosθ,rsinθ）rdr

θx

用二重积分求立体的表面积

1x2例5计算∫∫2dσ,其中D由y=x,y=,x=2xDy

解

围成.围成.1D:

≤y≤x,1≤x≤2.x

∫∫y2dσ=∫1dx∫D

x

2

2

x1x

xy

2

D

2

dy

x=∫1y

2

2

23dx=（xx）dx=9.114

x

∫

x

用二重积分求立体的表面积

例6计算∫∫yxdσ,其中D:

1≤x≤1,0≤y≤1.2D

先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图

∫∫D

yx2dσ2

D3D12

=

D+D21

∫∫（x11

y）dσ+∫∫（yx）dσD3

D2

=∫dx∫（xy）dy+∫dx∫2（yx201x

x2

1

1

2

11）dy=.15

用二重积分求立体的表面积

例7证明

∫adx∫a（xy）证bx

b

x

n2

1bf（y）dy=（by）n1f（y）dy.n1∫an2

∫adx∫a（xy）bb

f（y）dy

yb

y=xD

=∫dy∫（xy）n2f（y）dxay

a

=∫

b

a

1n1f（y）（xy）dyn1y

b

o

a

b

x

1b（by）n1f（y）dy.=n1∫a

用二重积分求立体的表面积

例8计算解1

∫0dy∫yy

1

y

sinxdx.x

∫0dy∫y10

1xsinxsinxdx=∫dx∫2dy0xxx

=∫（1x）sinxdx

=1sin1.

用二重积分求立体的表面积

x2y2例9设D为圆域x2+y2≤R2,求∫∫2+2dxdy.abDy

解2

由对称性1ydxdy=∫∫（x2+y2）dxdy2D2O

Rx

∫∫xdxdy=∫∫DD

x2y2111∴∫∫2+2dxdy=2+2∫∫（x2+y2）dxdyab2abDDR21112π1411=2+2∫dθ∫rrdr=πR2+2.04b2aab0

用二重积分求立体的表面积

例10求半球面z=3axy与旋转抛物面222

zx2+y2=2az（a0）所围成立体的表面积.

o

x

y

用二重积分求立体的表面积

S=S1+S2z

z=

3a2x2y2共同的D:

2x+y2=2az

S1S2

x2+y2≤2a2即z=0

oD2a

y

x

用二重积分求立体的表面积

S1:

z=3a2x2y23azzdxdydA1=1++dxdy=2223axyxy22

x2+y2S2:

z=2a2azza2+x2+y2dA2=1++dxdy=dxdyxya22

所求面积：

所求面积：

A=A1+A2=∫∫D

3a3axy222

dxdy+∫∫D

a2+x2+y2dxdya

用二重积分求立体的表面积

=3a∫

2π0

dθ∫2a0

2a0

2a12πrdr+∫dθ∫a2+r2rdr0a03a2r2

1

=6πa∫

2πrdr+a3a2r212a

∫

2a0

a2+r2rdr

=3πa∫+

13a2r2

02a

d（3a2r2）

πa

∫

0

a2+r2d（a2+r2）

4222=63+6πa.33

用二重积分求立体的表面积

练习题交换下列二次积分的次序:

交换下列二次积分的次序12y33y

1.∫dy∫010

0

f（x,y）dx+∫dy∫1

0

f（x,y）dx;

2.∫dx∫R2

1+1x2x

f（x,y）dy;

计算下列二次积分：

计算下列二次积分：

二次积分

3.∫

0

e

y

2

dy∫e0

y

x

2

dx+∫

RR2

e

y

2

dy∫

R2y2

0

e

x2

dx;

4.

∫1

5

5dx1dy∫.ylnxy

用二重积分求立体的表面积

练习题答案

1.∫dx∫x02

2

3x

f（x,y）dy22yy20R2

2.∫dy∫0

1

y20

f（x,y）dx+∫dy∫1Rr2

f（x,y）dx）.

3.I=∫πdθ∫e240

π

rdr=

π8

（1e

4.I=∫dx∫1

5

x1

51dy=∫lnxdx=4.1lnxylnx

用二重积分求立体的表面积

设（x）为[0D关于直线y=x对称,则若闭区域,1]上的正值连续函数,a（x）∫∫fb）（σ）∫∫f（y,x）dσ1+（x,ydy=证明：

证明：

∫∫（x）D+（y）dDxdy=2（a+b）D

为常数，其中a,b为常数，D={（x,y）0≤x,y≤1}.ya（x）+b（y）证设I=∫∫dxdyy=x1（x）+（y）D

y由区域关于直线=x的对称性得a（y）+b（x）OI=∫∫dxdy（y）+（x）D

1

x

1所以,所以2I=∫∫（a+b）dxdy=a+bI=（a+b）.2D