高三物理复习之推导证明题.docx
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高三物理复习之推导证明题
准兑市爱憎阳光实验学校高三物理复习之推导证明题
在高考物理考试说明的题型例如中,出现了推导证明题。
推导证明题的特点主要表达在解题过程的表达要求上,即在对物理现象、物理过程的分析中,要求用简洁、准确、清晰的语言和相的物理公式进行表达,在做出判断的同时,说明判断根据,也就是说不单要说明是什么,而且要说明清楚为什么,所以说推导证明题既要有论的成分,也有述的成分〔分析和说明〕。
即要有一的文字说明,首先必须交待所用的每个物理量的含义,其次要分析过程,并说明所用的物理概念或规律。
●案例探究
[例1]试根据动能理和重力做功与重力势能的关系推导机械能守恒律
推导:
对某一运动过程用动能理:
W合=Ek2—Ek1
设这一过程中重力做功为W重力,根据重力做功与重力做功的关系有:
W重力=Ep1—Ep2
而:
W合=W重力+W除重力外
综合以上关系可得:
W除重力外=〔Ek2+Ep2〕—〔Ek1+Ep1〕
当除重力外其它力均不做功时,关系式变为:
Ek2+Ep2=Ek1+Ep1
即:
E2=E1
结论:
在只有重力做功,其它力均不做功的过程中,物体的总机械能保持不变。
例2(★★★★)磁场对一段通电导体的作用力F实际上是磁场对通电导体内做向移动形成电流的大量自由电荷作用的宏观表现.如图1所示,垂直于纸面的匀强磁场的磁感强度大小为B,一段通电导体的长度为L(m),电流强度为I(A),导体内每个自由电荷的电量为q(C),向移动的速度大小为v(m/s).试从安培力公式F=BIL出发推导出洛伦兹力公式f=qBv.要求说明推导过程中每步的根据,以及式中各符号和最后结果中各项的意义.
错解分析:
不理解论点f=qBv与论据F=BIL的联系,不理解电流表达式I=nSvq的微观意义并以此加以论述推理说明.
解题方法与技巧:
长度为L、电流强度为I的一段通电导体,垂直放入磁感强度为B的匀强磁场中,该通电导体所受安培力:
F=BIL①
设该通电导体内的电荷数为N,单位体积内的电荷数为n,导体内向移动形成电流电荷的电量为q,电荷向移动的速度大小为v,
那么单位时间通过该导体横截面的电量为:
Q=nSvq②
即该通电导体的电流强度为:
I=nSvq③
由①③得:
F=BIL=BnSvqL=〔nLS〕Bvq④
即该通电导体内的电荷所受磁场力:
F=NBvq⑤
那么该通电导体内每个电荷所受磁场力——洛伦兹力:
f=
=
=qBv⑥
即F=qBv⑦
启示与强化该题是一道公式推导证明题,首先要对所引用字母符号的物理意义加以具体说明,在推导过程中每一步都要针对性的给出依据,说明理由,最后按题目要求用文字说出最后结果中各项的意义,也就是说除了要能够正确进行推理解答之外,还必须要有一的文字说明。
总体答题原那么
1、根据题目要求建立物理模型,选用物理规律和方法
2、正确演算得出正确的结果表达式
3、对结果表达式的物理意义作出正确的说明,有成立条件的一要讲清成立条件
附课本中相关知识:
①证明机械能守恒律:
在只有重力做功的情形下,物体的动能和重力势能发生相互转化,但总的机械能保持不变.
证明:
如下图,取地为零势能点,设物体只受重力作用,向下做匀加速运动。
在位置1时速度为v1,高度为h1,在位置2时速度为v2,高度为h2,由匀加速运动公式可得:
v22-v12=2g(h1-h2)v12+2gh1=v22+2gh2,
mv12/2+mgh1=mv22/2+mgh2
即,E1=E2
结论:
在只有重力做功,其它力均不做功的过程中,物体的总机械能保持不变
②在简化模型〔天体做圆周运动但中心天体不动〕条件下,证明开普勒第三律及推导万有引力律;
③由法拉第电磁感律E=△φ/Δt推导E=BLv
证明:
如下图,假设垂直水平轨道放置的导体棒长L,以速度v在轨道上向右运动,设在Δt时间内棒由原来的位置ab移到cd,这时线框的面积变化量ΔS=LvΔt,
穿过闭合电路的磁通量变化量ΔΦ=BΔS=BLvΔt,
由法拉第电磁感律ε=ΔΦ/Δt,将上式代入得
导体切割磁感线产生的电动势ε=BLv.
④证明:
交流电动势公式ε=nBSωsinωt.〔从中性面计时〕
证明:
如下图,设线圈从中性面开始转动,角速度是ω,经时间t,线圈转过的角度为ωt,ab边线速度的方向跟磁感线方向的夹角也为θ=ωt,设磁感强度为B,线圈面积为S,ab边、cd边的感电动势为
εab=εcd=B·ab·vsinωt=B·ab·(bc/2)ωsinωt=BSωsinωt/2
并且两者串联,所以线圈中的电动势为ε=BSωsinωt.
假设线圈有n匝,那么电动势为ε=nBSωsinωt.
⑤由牛顿运动律推导动能理及动量守恒律
动能理的证明:
一个质量为m的物体原来的速度为v1,动能为mv12/2,在恒力F的作用下,发生一段位移s,速度为v2,动能增加到mv22/2,设外力方向与运动方向相同,外力F做的功W=Fs,根据牛顿第二律F=ma,由运动学公式v22-v12=2as,得:
s=(v22-v12)/2a,所以Fs=ma(v22-v12)/2a=mv22/2-mv12/2或W=EK2-EK1上述结论由假物体受一个力推导出来的,如果不只受一个力而是几个力,总功就是各个力做功的代数和
动量守恒律的证明
推导:
设两质点的质量分别为m1和m2,F和F’物体1和物体2之间的相互作用力,t表示两物体的作用时间,a1和a2表示相互作用过程中两物体的加速度V1和V2分别表示两物体作用的初速度,v1’和v2’分别表示两物体的末速度,其情景如图。
对两质点用牛顿第二律:
F1=m1a1F2=m2a2
对两质点的运动过程用运动学公式:
V1’=V1+a1tV2’=V2+a2t
综合可得:
F1t1=m1(V1'-V1)
F2t2=m2(V2’-V2)
根据牛顿第三律可知:
F=—F’
所以可得:
m1V1+m2V2=m1V1'+m2V2'
结论:
相互作用的物体,在不受外力作用的时候,它们的总动量保持不变
⑥证明运动的几个推论
设物体做匀变速运动,初速度为v0,末速度为vt,加速度为a,运动时间为t,中间时刻的速度为vt/2,中间位置的速度为vs/2,证明:
1.
2.
3.vt2-vo2=2as
4.Δs=aT2
[证明]1.根据运动学公式:
vt=vo+at,s=vot+at2/2,
中间时刻的速度:
vt/2=vo+at/2
平均速度:
又(v0+vt)/2=(v0+v0+at)/2=vo+at/2,
所以
2.vt2-vo2=2as……〔1〕vs/22-vo2=2a(s/2)……〔2)
(1)/
(2):
vs/22=(vo2+vt2)/2,
所以有
3.根据vt=vo+at,得:
t=(vt-vo)/a,把t代入
s=vot+at2/2,得:
vt2-vo2=2as
4.从第一个T秒开始时计时,在该时刻t=0,速度为v0,有:
s1=v0T+aT2/2,s2=〔v0+aT〕T+aT2/2,s3=〔v0+2aT〕T+aT2/2,……
sn=[v0+〔n-1〕aT]T+aT2/2,
s2-s1=s3–s2=……=Δs=aT2
⑦.求证在串联电路中:
1.串联电路的总电阻,于各导体的电阻之和.2.串联电路中各个电阻两端的电压跟它的阻值成正比.3.串联电路中各个电阻消耗的功率跟它的阻值成正比.
证明:
1.根据流过串联电路各电阻的电流相和串联电路两端的总电压于各电路两端的电压之和,可得:
I=I1=I2=……=In…………〔1〕
U=U1+U2+……+Un…………〔2〕
根据欧姆律:
U=IR,U1=IR1,U2=IR2,……Un=IRn,…………〔3〕
把上述关系式代入〔2〕式,整理后可得:
R=R1+R2+……+Rn
2.由欧姆律,将〔3〕式改写成
I=U/R,I1=U1/R1,I2=U2/R2,……,In=Un/Rn,代入〔1〕式得:
U1/R1=U2/R2……=Un/Rn=I,所以U∝R
3.由功率公式:
P1=I12R1,P2=I22R2……,Pn=In2Rn,代入〔1〕式得:
P1/R1=P2/R2=……Pn/Rn=I2,所以P∝R
⑧.求证在并联电路中:
1.并联电路总电阻的倒数,于各个导体的电阻倒数之和.2.并联电路中通过各导体的电流跟它的电阻成反比.3.并联电路中各个电阻消耗的功率跟它的阻值成反比.
证明:
1.根据并联电路中各支路两端的电压相和并联电路中的总电流于各支路电流之和,可得:
U=U1=U2=……=Un…〔1〕I=I1+I2+……+In…………〔2〕
由欧姆律,I=U/R,I1=U1/R1,I2=U2/R2,……,In=Un/Rn,代入〔2〕式并考虑到〔1〕式,得:
1/R=1/R1+1/R2+……1/Rn
2.在并联电路中,根据欧姆律:
U=IR,U1=I1R1,U2=I2R2,……Un=InRn,…………〔3〕
代入〔1〕式得:
I1R1=I2R2,……=InRn=U所以I∝1/R
3.由功率公式:
P1=U12/R,P2=U22/R,……Pn=Un2/R,即:
U12=P1R,U22=P2R,……Un2=PnR,将其代入〔1〕式并平方,得:
P1R=P2R=……PnR=U2,所以P∝1/R
⑨.求证:
电流与自由电子向移动速率的关系式I=neSv.
证明:
如下图,设对一段导线通以强度为I的电流,导线截面积为S,电子向移动速率为v,单位体积内电子数为n,通电时间为t.
那么在这段时间内,电子向移动的距离为L=vt,
通过导线截面的电量为q=enV=enSL=neSvt.
所以电流为I=q/t=neSv.
⑩.求证:
半径公式r=mv/Bq,周期公式T=2πm/Bq
证明:
如下图,设一带电粒子质量为m,带电量为q,匀强磁场的磁感强度为B,粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力,即Fn=qvB=mv2/r所以运动半径为r=mv/Bq.根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq代入得带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq.
例3.(★★★★)有一种计量仪器叫电磁流量计,它的主要部件是一根直径为d的非磁性材料制成的圆筒状导管,导电液体在导管内水平向左流动,将其放置在磁感强度为B的匀强磁场中,磁场的方向垂直于导电液体流动的方向,如图34-1所示,当液体稳流动后可测得管壁上、下两点a、b之间的电势差为U.由此便可得知管中导电流体的流量Q.试证明:
流量Q=
.
证明:
在洛伦兹力作用下,正、负离子分别向导管的上部和下部集中而出现电势差,当正、负离子所受电场力和洛伦兹力相平衡时,a、b间有稳可测电势差U,设液体流动速度为v(即离子移动速度)那么由qE=qvB,得
=Bv,v=
,设时间Δt内流过管道的液体体积为ΔV,那么Q=
=
=
[例3](★★★★★)如下图,在水平地面上停着一辆小车,一个滑块以一速度沿车的底板运动,与车的两竖直壁发生弹性碰撞(机械能不损失),不计一切摩擦阻力,试证明:
滑块与车的碰撞永远不会停止.
错解分析:
考生习惯于正向思维而找不到此题的切入点,理不出论证思路.
“滑块与车的碰撞最终将停止〞不成立,那么论证过程将变得简单得多,那么可设车与滑块停止碰撞时(相对静止)共同具有速度为v,车与滑块质量分别为M、m,车与滑块组成的系统水平方向合外力为零,由动量守恒律得
mv0=〔M+m〕v,∴v=
v0
此碰撞过程能量损失:
ΔE=
mv02-
〔M+m〕v2=
mv02-
〔M+m〕
2
=
mv02·
ΔE≠0与题设①不计一切摩擦②弹性碰撞无能量损失相矛盾,故假设不成立.
即滑块与车的碰撞不会停止.
例4、地球质量为M,半径为R,万有引力恒量为G.
〔1〕试由上述各量推导第一宇宙速度的计算式,并要求写出过程中每一步骤的依据.
〔2〕假设地球半径R=×106m,G=7×10-11N·m2/kg2,第一宇宙速度v=km/s,求地球的质量〔要求保存两位有效数字〕.
例5、如下图为水平气垫导轨,滑块A、B用轻弹簧连接,今将弹簧压紧后用轻绳系在A、B上,然后以恒速度v0向右运动.A、B质量分别为m1、m2,且m1<m2,滑动中轻绳突然断开,当弹簧第一次恢复到自然长度时,滑块A的速度刚好为零,求:
在以后运动过程中,滑块B是否会有速度于零的时刻?
试通过量分析、讨论,来证明你的结论.
证明:
假设某时刻B的速度为零,设此时滑块A的速度为v1,因A、B组成系统在振动过程中动量守恒,
那么有:
(m1+m2)v0=m1v1①
此时系统的机械能为E(重力势能为零),动能为EkA,弹性势能为Ep1,因A、B、弹簧三者组成系统机械能守恒,
那么有:
E1=EkA+Ep1②
〔EkA=m1v12/2〕③
由题意知,当A的速度为零时,弹性势能Ep2=0,设此时B的速度为v2,
那么B的动能为EkB=m2v22/2④
此时系统机械能为E2=EkB+Ep2⑤
由动量守恒律得:
(m1+m2)v0=m2v2⑥
由机械能守恒律得:
E1=E2⑦
由以上各式联立得:
v02+Ep1=
v02
由于Ep1≥0,由上式得出m2≤m1,这与条件m1<m2相矛盾,故假设不成立,即有:
B的速度不会为零.
例6、古代学者认为,物体下落的快慢是由它们的重量大小决的,物体越重,下落得越快,古希腊哲学家亚里士多德最早阐述了这种看法;但是这种从外表上的观察得出的结论实际是错误的.伟大的物理学家伽利略用简单明了的推理,巧妙地揭示了亚里士多德的理论内容包含的矛盾.他在1638年写的<两种的对话>一书中指出:
根据亚里士多德的论断,一块大石头的下落速度要比一块小石头的下落速度大,假大石头下落速度为8,小石头下落的速度为4,当我们把石头拴在一起时,下落快的会被下落慢的拖着而减慢,下落慢的会被下落快的拖着而加快,结果整体系统的下落速度该小于8.但是两块石头拴在一起,加起来比大石头还要重,根据亚里士多德的理论,整个系统的下落速度该大于8.这样就使得亚里士多德的理论陷入了自相矛盾的境地.伽利略由此推断重的物体不会比轻的物体下落得快.
〔1〕根据伽利略的推理方法,假设用两块同样重的石头为研究对象,你又如何推翻亚里士多德的结论呢?
〔答复简明〕
〔2〕用重力公式及牛顿第二律又如何推翻亚里士多德的结论呢?
解答:
〔1〕设两块同样重的石头的速度都是8〔不一设该数〕,当我们把石头拴在一起时,由于原来快慢相同,所以两块石头不会互相牵拉,这样各自保持原来的速度,即它们的速度还该是8.
但两块石头拴在一起重量增大了〔为原来的2倍〕,根据亚里士多德的理论,整个系统的下落速度该大于8.这样就使得亚里士多德的理论陷入了自相矛盾的境地,从而推翻了这个理论.
〔2〕设下落物体的质量为m,那么重力G=mg,由牛顿第二律F=ma,假设下落物体只受重力,那么mg=ma,得a=g,即不管物体的质量〔重力〕大小是否相同,在重力作用下的加速度都相同,相同位移所用的时间相同,即轻重物体下落的一样快,从而推翻了亚里士多德的理论.
●囊妙计
论述题重在推理和表述,能够展示考生的思维过程,便于对考生推理能力和思维能力的考查,具有较好的区分度,因此成为近年高考实施素质和能力考查的热点题型.
二、论述题论述指要
论述题的核心一个是“论〞,另一个是“述〞.其特点是要求考生在论述过程中既要论(论之有据),又要述(述之有理),语言要简洁,层次要清楚突出.
1.论述题难点在于“论〞:
考生面对推理说明的论点,提取不出已有知识中的物理规律原理作论据,同时找不到适宜的论证方法加以论证.弱点在“述〞:
即使考生掌握了论证方法,但推理缺乏逻辑性,表述欠准确,思维无序.
2.论述题可分以下几类:
〔1〕推理证明类,以推理过程为主.如对物理公式、理、律作出推导,对物理结论作出分析、证明.
〔2〕分析说明类,以分析原因,说明某一观点为主.如对物理作图理由给出说明,对物理过程进行正确的简述,对物理原理、步骤作出阐述.
〔3〕综合分析求解类,即在计算过程中结合论述的成分.
3.论述题思维流程图:
强化训练:
1.(★★★★★)如下图,在匀强磁场中固一个金属框架ABC,导体棒DE在框架ABC上沿∠ABC的平分线匀速运动,且移动中与ABC构成的闭合回路是腰三角形.框架和导体棒材料、横截面积均相同,接触电阻不计.试证明电路中感电流保持恒.
2.(★★★★★)如图为一电阻分压电路.滑动变阻器两固端a、b
接到输出电压恒为U的电源上,用电器电阻为RL,分别与变阻器的固端b和滑动触头P连接.变阻器的阻值为R,全长为L,滑动触头P所在位置到b的距离为x.
试求:
用电器RL获得的电压UL与x的函数关系,并由此讨论RL获得的电压值的范围以及RL>>R时,UL与x的关系.
3、如下图,一个小球在竖直平面内做匀速圆周运动,在水平向右的平行光照射下,小球在竖直墙壁上的影子上下运动,请你猜测影子做什么运动并加以推导证明。
4、英雄杨利伟实现了的飞天梦后,我国专家又宣布了更为宏伟的“嫦娥工程〞和探测火星方案,人类要登上火星,就要使飞船能脱离地球引力的控制,我们知道,万有引力使相互作用的天体之间存在引力势能,理论和实践均说明,两个质量分别M、m,距离为r的天体之间存在的引力势能可以表达为EP=-GmM/r。
〔取相距无穷远处引力势能零〕
⑴试证明,一在圆轨道上绕地球飞行的宇宙飞船,欲通过加速踏上探测火星的征程,其加速后的速度至少为在轨运行速度的
倍。
⑵和前苏联已先后发射了能飞出太阳系的宇宙飞船,去探测宇宙深处的奥秘。
设地球绕太阳公转周期为T,地球与太阳间的距离为r,那么人类在地球上发射能飞出太阳系的宇宙飞船,飞船相对太阳的速度至少为多大?
〔利用第一问中的结论〕
⑶在实际发,为降低发射本钱,我们可以利用地球绕太阳的公转速度,为此,飞船沿什么方向发射,在发射过程中,至少给飞船多大的能量?
设地球质量为M,半径为R,飞船质量为m,忽略地球大气层的影响。
5、用折射率为n的玻璃做成一个玻璃镜面,用手指可以估测它的厚度.请说明具体方法,并简述理由.
1.设∠ABC=α,DE=L(即某时刻,DE切割磁场的有效长),那么有
BD=BE=
①
电路中总电阻
R=r0〔BD+BE+DE〕=r0[
×2+L]②
(r0为单位长度的电阻)
DE导线以速度v匀速切割磁感线产生感电动势
E=BLv③
由闭合电路的欧姆律,回路中的电流强度:
I=E/R④
由②③④式:
I=
=
=常数⑤
所以电路中感电流保持恒.
2.滑动变阻器的Rbp电阻与用电器RL并联后的电阻为R并,
R并=
由串联电路的分压关系得:
UL=
U
Rap=
R
由以上三式解得:
UL=
由UL与x的函数关系式可知:
当x=0时,UL=0;x=L时,UL=U;即分压器获得的电压范围为:
0≤UL≤U
当RL>>R时,UL≈
U,即此用电器两端的电压与x成正比.
3、解:
设小球做圆周运动半径为R,角速度为ω。
假设小球通过园轨道最左边时、投影位置在O点开始计时,那么经过时间t,小球转过的角度
,小球在竖直墙壁的投影位置距O点距离为
,显然x随时间t作正弦规律变化,结合简谐运动的图象可知影子的运动是简谐运动
4、
(1)
(2)
(3)
5、【解析】用手指跟镜面垂直接触,估计指尖与它的像间的距离,这个距离的一半与折射率n的乘积于玻璃厚度.
如下图,设指尖位置在S,玻璃厚度为d,由指尖发出两条光线,一条垂直于镜面经反射后沿原光路返回〔光线1〕,一条在镜中与镜面垂直方向成
角,镜反射后射出镜面时折射角为
〔光线2〕,光线1、2的反向线的交点即为S的像.
由于观察时,
和
均很小
所以
①
②
由折射律
,可得
③
联立①、②、③式可得
∴
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