初中数学中点模型的构造及应用.docx
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初中数学中点模型的构造及应用
中点模型的构造及应用
一、遇到以下情况考虑中点模型:
任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段
出现两个或三个中点考虑三角形中线定理
已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线
已知等边、等腰三角形底边中点,可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点,我们可以挖掘其中隐含中点,比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型
三角形中线的交点称为重心,它把中线分的线段比为2:
1
二、中点模型辅助线构造方法分类
(一)倍长中线法(构造全等三角形,八字全等)
当已知条件中出现中线时,常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图,在△ABC中,D为BC中点,延长AD到E使AD=DE连接BE,则有:
ADC^EDB作用:
转移线段和角。
(二)倍长类中线法(与中点有关线段,构造全等三角形,八字全等)当已知条件中出现类中线时,常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图,在虫ABC中,D为BC中点,延长ED到F使ED=DF连接CF,则有:
BED^CFD作用:
转移线段和角。
(二)直角二角形斜边中线法
当已知条件中同时出现直角三角形和中点时,常构造直角三角形斜边中线,然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图,在RiABC中,.ACB=90,D为AB中点,则有:
1
CD=AD=BD=AB
2
(四)等腰三角形三线合一
当出现等腰三角形时,常隐含有底边中点,将其与顶角连接,可构成三线
一。
在ABC中:
(1)AC^C;
(2)CD平分ZACB;(3)AD^D,(4)CD丄AB
“知二得二”:
比如由
(2)(3)可得出
(1)(4).也就是说,以上四条语句,任
意选择两个作为条件,就可以推出剩下两条
(五)中位线法
当已知条件中同时出现两个及以上中点时,常考虑构造中位线;或出现一个
中点,要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
1
如图,在ABC中,D,E分别是ABAC边中点,则有DELIBC,DE=BC。
2
三、练习
(一)倍长中线法
1.(2014秋?
津南区校级期中)已知:
在厶ABC中,AD是BC边上的中线,E是
AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF.
2.(20仃?
湘潭)如图,在?
ABCD中,DE=CE连接AE并延长交BC的延长线于
点F.
(1)求证:
△ADE^AFCE
(2)若AB=2BC,ZF=36°.求/B的度数
3.
(2017江西萍乡,15)如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:
CF=AD
(2)
若CA=CB,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由.
4.(2014?
鄂尔多斯)如图1,在?
ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F.且/AEO2/ABE连接BF、AC.
(1)求证:
四边形ABFC的是矩形;
(2)在图1中,若点M是BF上一点,沿AM折叠△ABM,使点B恰好落在线段DF上的点B'处(如图2),AB=13,AC=12,求MF的长.
5.(2017?
贵阳,24)
(1)阅读理解:
如图①,在四边形ABCD中,AB//DC,E是BC的中点,若AE是/BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:
延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB^AFEC得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
AB、AD、DC之间的等量关系为;
(2)问题探究:
如图②,在四边形ABCD中,AB//DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是/BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
(3)
问题解决:
如图③,AB//CF,AE与BC交于点E,BE:
EO2:
3,点D在线段AE上,且/EDM/BAE试判断ABDF、CF之间的数量关系,并证明你的结论.
(二)倍长类中线法
1.(2016秋?
江都区期中)已知:
如图,E是BC的中点,点A在DE上,且/BAE
=/CDE求证:
AB=CD.-
2.(2017?
重庆,24)在厶ABM中,/ABM=45°,AM丄BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图1,若AB=3.2,BO5,求AC的长;
(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是厶ABC外一点,EO
AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:
/BDF=Z
CEF
3.(2017?
新疆,22)如图,AC为OO的直径,B为OO上一点,/AC吐30°延长CB至点D,使得CB=BD,过点D作DELAC,垂足E在CA的延长线上,连接BE.
(1)求证:
BE是OO的切线;
(2)当BE=3时,求图中阴影部分的面积
4.
(2017?
北京,22)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD//BC,
AD=2BC,ZABD=90°,E为AD的中点,连接BE
(1)求证:
四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分/BAD,BC=1,求AC的长.
5.(2015北京东城,23)如图,△ABC中,/BCA=90°,CD是边AB上的中
线,分别过点C,D作BA,BC的平行线交于点
(1)求证:
四边形ADCE是菱形;
(2)若AC=2DE,求sin/CDB的值
(四)等腰三角形三线合一
1.(2017?
荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,交AC于点D,则/CBD的度数为()
A.30oB.45°
C.50°D.75°
3.(2017?
遵义)如图,△ABC的面积是12,点D、E、
4.
CE的中点,则△AFG的面积是()
A.4.5B.5C.5.5
5.
(2017?
天津,17)如图,正方形ABCD和正方形EFCG勺边长分别为3和1,
点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,
6.(2014春?
硚口区期末)如图,已知△ABC的中线BD、CE相交于点0、M、N
分别为OB0C的中点.
(1)求证:
MD和NE互相平分;
(2)若BD丄AC,EM=22,0D+CD=7,求厶0CB的面积.
7.(2017?
云南,20)如图,△ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E、F分别是ABAC的中点.
(1)求证:
四边形AEDF是菱形;
(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的
面积S.
8.(2017?
长春)【再现】如图①,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,
1
可以得到:
DE//BC,且D^-BC(不需要证明)
【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明.
【应用】在
(1)【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?
你添加的条件是:
.(只添加一个条件)
(2)如图③,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的
中点,对角线AC,BD相交于点0•若A0=0C,四边形ABCD面积为5,则阴影部分图形的面积和为.
&(2015?
巴东县模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点.
(1)求证:
四边形EGFH是菱形;
5
(2)若AB=—,则当/ABC+z
4
〈DCB=90°时,求四边形EGFH的面积.
D
H
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