MATLAB数学实验一百例题解docx.docx
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MATLAB数学实验一百例题解docx
一元函数微分学
实验1一元函数的图形(基础实验)
实验目的通过图形加深对函数及其性质的认识与理解
掌握运用函数的图形来观察和分析
函数的有关特性与变化趋势的方法
建立数形结合的思想
;掌握用Matlab
作平面曲线图性的方
法与技巧.
初等函数的图形
2作出函数y
tanx和y
cotx的图形观察其周期性和变化趋势.
解:
程序代码:
>>x=linspace(0,2*pi,600);t=sin(x)./(cos(x)+eps);plot(x,t);title('tan(x)');axis([0,2*pi,-50,50]);
图象:
程序代码:
>>x=linspace(0,2*pi,100);ct=cos(x)./(sin(x)+eps);plot(x,ct);title('cot(x)');axis([0,2*pi,-50,50]);
图象:
4在区间[1,1]画出函数y
sin1
的图形.
x
解:
程序代码:
>>x=linspace(-1,1,10000);
y=sin(1./x);
plot(x,y);
axis([-1,1,-2,2])
图象:
二维参数方程作图
6画出参数方程
x(t)
costcos5t的图形:
y(t)
sintcos3t
解:
程序代码:
>>t=linspace(0,2*pi,100);
plot(cos(t).*cos(5*t),sin(t).*cos(3*t));
图象:
极坐标方程作图
8作出极坐标方程为ret/10
的对数螺线的图形.
解:
程序代码:
>>t=0:
:
2*pi;
r=exp(t/10);
polar(log(t+eps),log(r+eps));
图象:
分段函数作图
10作出符号函数y
sgnx的图形.
解:
程序代码:
>>x=linspace(-100,100,10000);y=sign(x);
plot(x,y);axis([-100100-22]);
函数性质的研究
12研究函数
(
)
x
5
3x
log
(3
)
在区间[2,2]上图形的特征.
fx
e
3
x
解:
程序代码:
>>x=linspace(-2,2,10000);
y=x.^5+3*exp(x)+log(3-x)/log(3);plot(x,y);
图象:
实验2极限与连续(基础实验)
实验目的通过计算与作图,从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解.掌握用Matlab画散点图,以及计算极限的方法.深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形
特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.
作散点图
14分别画出坐标为(,
i
2),(
2,42
3),(
i
1,2,,10)
的散点图,
并画出折线图.
i
i
i
i
解:
散点图程序代码
:
>>i=1:
10;
plot(i,i.^2,'.')
或:
>>x=1:
10;
y=x.^2;
fori=1:
10;
plot(x(i),y(i),'r')
holdon
end
折线图程序代码:
>>i=1:
10;plot(i,i.^2,'-x')
程序代码:
>>i=1:
10;
plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'.')
>>i=1:
10;
plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'-x')
数列极限的概念
16通过动画观察当n
时数列an
1
n
2的变化趋势.
解:
程序代码:
>>n=1:
100;
an=(n.^2);
n=1:
100;
an=1./(n.^2);
n=1:
100;
an=1./(n.^2);fori=1:
100
plot(n(1:
i),an(1:
i)),axis([0,100,0,1])pause
end
图象:
函数的极限
18在区间[4,4]上作出函数
f(x)
x3
9x
并研究
x
3
的图形,
x
limf(x)和limf(x).
x
x1
x3
9x
f(x)
x
在区间[4,4]
解:
作出函数
x3
上的图形
>>x=-4:
:
4;
y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x+eps);
plot(x,y)
从图上看,f(x)在x→1与x→∞时极限为0
两个重要极限
20计算极限
xsin1
1sinx
(2)limx
2
(1)lim
x
x0
x
x
x
e
(3)lim
tanx
sinx
(4)lim
xx
x0
x3
x
0
(5)lim
0
lncotx
(6)lim
x2lnx
x
lnx
x
0
(7)lim
sinx
xcosx
(8)lim
3x3
2x2
5
x
2
sinx
5x
3
2x
1
x0
x
ex
ex
1
(9)lim
2x
sinx
1cosx
x
sinx
(10)lim
x
x0
x
0
解:
(1)>>limit(x*sin(1/x)+1/x*sin(x))
ans=1
(2)>>limit(x^2/exp(x),inf)ans=0
(3)>>limit((tan(x)-sin(8))/x^3)
ans=NaN
(4)>>limit(x^x,x,0,'right')ans=1
(5)>>limit(log(cot(x))/log(x),x,0,'right')
ans=-1
(6)>>limit(x^2*log(x),x,0,'right')ans=0
(7)>>limit((sin(x)-x.*cos(x))./(x.^2.*sin(x)),x,0)ans=1/3
(8)>>limit((3*x.^3-2*x.^2+5)/(5*x.^3+2*+1),x,inf)ans=3/5
(9)>>limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)./(x-sin(x)))
ans=2
(10)>>limit((sin(x)/x).^(1/(1-cos(x))))
ans=exp(-1/3)
实验3
导数(基础实验)
实验目的
深入理解导数与微分的概念,
导数的几何意义.掌握用Matlab求导数与高
阶导数的方法.
深入理解和掌握求隐函数的导数
以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.
导数概念与导数的几何意义
22作函数f(x)
2x
3
3x
2
12x
7的图形和在x
1处的切线.
解:
作函数
()
2
3
3
x
212
x
7
的图形
f
x
x
程序代码:
>>symsx;
>>y=2*x^3+3*x^2-12*x+7;
>>diff(y)
ans=
6*x^2+6*x-12
>>symsx;y=2*x^3+3*x^2-12*x+7;
>>f=diff(y)
f=
6*x^2+6*x-12>>x=-1;
f1=6*x^2+6*x-12f1=
-12
>>f2=2*x^3+3*x^2-12*x+7
f2=
20
>>x=linspace(-10,10,1000);y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7;
y2=-12*(x+1)+20;
plot(x,y1,'r',x,y2,'g')
求函数的导数与微分
24求函数f(x)sinaxcosbx的一阶导数.
并求f
1
.
a
b
解:
求函数f(x)
sinaxcosbx的一阶导数
程序代码:
>>symsabxy;
y=sin(a*x)*cos(b*x);
D1=diff(y,x,1)
答案:
D1=
cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b
1
.
求f
ab
程序代码:
>>x=1/(a+b);
>>cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b
答案:
ans=
cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b
拉格朗日中值定理
26对函数f(x)x(x
1)(x
2),观察罗尔定理的几何意义
.
(1)画出yf(x)与f(x)的图形,并求出x1与x2.
解:
程序代码:
>>symsx;
f=x*(x-1)*(x-2);
f1=diff(f)
f1=
(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1)
>>solve(f1)ans=
1+1/3*3^(1/2)
1-1/3*3^(1/2)
>>x=linspace(-10,10,1000);y1=x.*(x-1).*(x-2);
y2=(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);plot(x,y1,x,y2)
(2)画出yf(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线.程序代码:
>>symsx;
>>f=x*(x-1)*(x-2);
>>f1=diff(f)
f1=
(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1)
>>solve(f1)ans=
1+1/3*3^(1/2)
1-1/3*3^(1/2)
>>x=linspace(-3,3,1000);
>>y1=x.*(x-1).*(x-2);
>>y2=(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);
>>plot(x,y1,x,y2)
>>holdon
>>x=1+1/3*3^(1/2);
>>yx1=x*(x-1)*(x-2)
yx1=
>>x=1-1/3*3^(1/2);
>>yx2=x*(x-1)*(x-2)yx2=
x=linspace(-3,3,1000);
yx1=*x.^0;
yx2=*x.^0;
plot(x,yx1,x,yx2)
28求下列函数的导数:
3
x1;
(1)ye
解:
程序代码:
>>symsxy;
y=exp((x+1)^3);
D1=diff(y,1)
答案:
D1=
3*(x+1)^2*exp((x+1)^3)
(2)yln[tan(x)];
24
解:
程序代码:
>>symsx;y=log(tan(x/2+pi/4));
D1=diff(y,1)
答案:
D1=
(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)
(3)y1cot2xlnsinx;
2
解:
程序代码:
>>symsx;y=1/2*(cot(x))^2+log(sin(x));D1=diff(y,1)
答案:
D1=
cot(x)*(-1-cot(x)^2)+cos(x)/sin(x)
(4)y1arctan2.
2x
解:
程序代码:
>>symsx;
>>y=sqrt
(2)*atan(sqrt
(2)/x);
>>D1=diff(y,1)
答案:
D1=
-2/x^2/(1+2/x^2)
一元函数积分学与空间图形的画法
实验4一元函数积分学(基础实验)
实验目的掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察,深入理解
定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应
用
定积分解决各种问题的能力.
不定积分计算
30求x2(1x3)5dx.
解:
程序代码:
>>symsxy;
>>y=x^2*(1-x^3)^5;
>>R=int(y,x)
答案:
R=
-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^3
32求
2
arctan
.
x
xdx
解:
程序代码:
>>symsxy;
>>y=x^2*atan(x);
>>R=int(y,x)
答案:
R=1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)
定积分计算
1
2
34求
(
x
x
).
0
dx
解:
程序代码:
>>symsxy;
>>y=x-x^2;
>>R=int(y,x,0,1)
答案:
R=
1/6
变上限积分
x
36画出变上限函数
tsint2dt及其导函数的图形.
0
解:
程序代码:
>>symsxyt;
>>y=t*sin(t^2);
>>R=int(y,x,0,x)
答案:
R=
t*sin(t^2)*x
再求导函数
程序代码:
>>DR=diff(R,x,1)
答案:
DR=t*sin(t^2)
实验5空间图形的画法(基础实验)
实验目的掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察,提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.
一般二元函数作图
38作出函数z
4
的图形.
22
1x
y
解:
程序代码:
>>x=linspace(-5,5,500);
[x,y]=meshgrid(x);
z=4./(1+x.^2+y.^2);
mesh(x,y,z);
xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')
40作出函数zcos(4x29y2)的图形.
解:
程序代码:
>>x=-10:
:
10;[x,y]=meshgrid(x);z=cos(4*x.^2+9*y.^2);
mesh(x,y,z);xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')
讨论:
坐标轴选取范围不同时,图形差异很大,对本题尤为明显,如右图为坐标轴
[-1,1]
二次曲面
42作出单叶双曲面
x2
y2
z2
1
4
1的图形.(曲面的参数方程为
9
xsecusinv,y
2secucosv,z3tanu,(/2u/2,0v2
.))
解:
程序代码:
>>v=0:
pi/100:
2*pi;
>>u=-pi/2:
pi/100:
pi/2;
>>[U,V]=meshgrid(u,v);
>>x=sec(U).*sin(V);
>>y=2*sec(U).*cos(V);
>>z=3*tan(U);
>>surf(x,y,z)
44可以证明:
函数zxy的图形是双曲抛物面.在区域2x2,2y2上作出它的图形.
解:
程序代码:
>>x=-2:
:
2;[x,y]=meshgrid(x);
>>z=x.*y;
>>mesh(x,y,z);
46画出参数曲面
xcosusinv
ysinusinv
u[0,4
],v
[0.001,2]
的图形
.
zcosv
ln(tanv/2
u/5)
解:
程序代码:
>>v=:
:
2;
>>u=0:
pi/100:
4*pi;
>>[U,V]=meshgrid(u,v);
>>x=cos(U).*sin(V);
>>y=sin(U).*sin(V);
>>z=cos(V)+log(tan(V/2)+U/5);
>>mesh(x,y,z);
空间曲线
48作出空间曲线
x
tcost,y
tsint,z
2t
(0
t
6)的图形.
解:
程序代码:
>>symst;ezplot3(t*cos(t),t*sin(t),2*t,[0,6*pi])
xcos2t
50绘制参数曲线y
1
的图形.
1
2t
z
arctant
解:
程序代码:
>>t=-2*pi:
pi/100:
2*pi;
x=cos(t).*cos(t);y=1./(1+2*t);z=atan(t);
plot3(x,y,z);
grid;xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
多元函数微积分
实验6
多元函数微分学(基础实验)
实验目的
掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法
掌握计算二元
函数极值和条件极值的方法
.理解和掌握曲面的切平面的作法
.通过作图和观察,理解二元
函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.
求多元函数的偏导数与全微分
52设z
2
z
z
2z
2z
sin(xy)cos
(xy),求,
x
2
.
x
y
xy
解:
程序代码:
>>symsxy;S=sin(x*y)+(cos(x*y))^2;D1=diff(S,'x',1);
D2=diff(S,'y',1);
D3=diff(S,'x',2);
D4=diff(S,'y',2);
D1,D2,D3,D4
答案:
D1=cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y
D2=cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x
D3=-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2
D4=-sin(x*y)*x^2+2*sin(x*y)^2*x^2-2*cos(x*y)^2*x^2
实验7多元函数积分学(基础实验)
实验目的
掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法;深入理解曲线积分、曲面积分的
概念和计算方法.提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.
计算重积分
54计算xy2dxdy,其中D为由xy2,xy,y2所围成的有界区域.
D
解:
程序代码:
>>symsxy;
int(int(x*y^2,x,2-y,sqrt(y)),y,1,2)
答案:
ans=
193/120
重积分的应用
56求旋转抛物面z4x2
y2在Oxy平面上部的面积S.
解:
程序代码:
>>int(2*pi*r,r,0,2)
答案:
ans=
4*pi
无穷级数与微分方程
实验8无穷级数(基础实验)
实验目的
观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近.掌握用Matlab求无穷级数的和,求幂级数的收敛域,展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.
数项级数
58
(1)观察级数
1的部分和序列的变化趋势.
n1n2
解:
程序代码:
fori=1:
100s=0;
forn=1:
is=s+1/n^2;
end
plot(i,s,'.');holdon;
end
(2)观察级数1的部分和序列的变化趋势.
n1n
>>fori=1:
100s=0;forn=1:
is=s+1/n;end
plot(i,s,'.');holdon;end
60求
1
2
的值.
n14n
8n3
解:
程序代码:
>>symsn;score=syms
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