推荐学习九年级数学上册第四章图形的相似探索三角形相似的条件第课时相似三角形的定义及其判定.docx
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推荐学习九年级数学上册第四章图形的相似探索三角形相似的条件第课时相似三角形的定义及其判定
推荐学习九年级数学上册第四章图形的相似.探索三角形相似的条件第课时相似三角形的定义及其判定
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ﻩ
4第1课时相似三角形的定义及其判定1
知识点1对相似三角形定义的理解
1.下列说法中错误的是( )
A.两个全等三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
2.已知△ABC∽△A′B′C′,且BC∶B′C′=AC∶A′C′,若AC=3,A′C′=4.5,则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A.1∶3B.3∶2 C.3∶5D.2∶3
3.2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则该三角形的最短边是( )
A.6B.9 C.10 D.15
4.如图4-4-1,已知△ADE∽△ACB,且∠ADE=∠C,则AD∶AC等于( )
图4-4-1
A.AE∶AC
B.DE∶CB
C.AE∶BC
D.DE∶AB
5.若△ABC∽△A′B′C′,AB=2,BC=3,A′B′=1,则B′C′等于( )
A.1.5B.3C.2D.1
6.如图4-4-2所示,已知△ABC∽△ADE,AD=6 cm,BD=3cm,BC=9.9cm,∠A=70°,∠B=50°.
求:
(1)∠ADE的度数;
(2)∠AED的度数;
(3)DE的长.
图4-4-2
知识点2利用两角分别相等判定三角形相似
7.如图4-4-3所示的三个三角形,相似的是( )
图4-4-3
A.
(1)和
(2)B.(2)和(3)
C.(1)和(3) D.
(1)和
(2)和(3)
8.教材习题4.5第3题变式题如图4-4-4,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则图中相似三角形有( )
A.0对B.1对 C.2对D.3对
图4-4-4
图4-4-5
9.如图4-4-5,添加一个条件:
__________(写出一个即可),使△ADE∽△ACB.
10.将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合(如图4-4-6),AC与BD相交于点E.连接CD,请写出图中的一对相似三角形,并加以证明.
图4-4-6
11.如图4-4-7,在▱ABCD中,E是AD延长线上一点,BE交AC于点F,交DC于点G,则下列结论中错误的是
图4-4-7
()
A.△ABE∽△DGE
B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF
D.△ACD∽△GCF
12.2016·贵阳期末如图4-4-8,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是( )
A.1B.2C.3 D.4
图4-4-8
图4-4-9
13.如图4-4-9,已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,则点D的位置最多有________处.
14.如图4-4-10,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.求证:
△ABD∽△CBE.
图4-4-10
15.如图4-4-11,△PMN是等边三角形,∠APB=120°,求证:
AM·PB=PN·AP.
图4-4-11
16.如图4-4-12,点D在等边三角形ABC的BC边上,△ADE为等边三角形,DE与AC相交于点F.
(1)求证:
△ABD∽△DCF;
(2)除了△ABD∽△DCF外,请写出图中其他所有的相似三角形.
图4-4-12
17.如图4-4-13,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6),点B(8,0).动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
并求出此时点P与点Q的坐标.
图4-4-13
详解
1.B2.B
3.B[解析] 设与它相似的三角形的最短边的长为x,
∵一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,
∴
=
解得x=9.故选B.
4.B [解析]根据相似三角形的定义可知,△ADE∽△ACB,且∠ADE和∠C是对应角,因此AD,AC与DE,CB对应成比例.
5.A [解析]∵△ABC∽△A′B′C′,
∴=,即
=
,
解得B′C′=1.5.故选A.
6.解:
(1)∵△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠B=50°.
(2)在△ADE中,∠A+∠ADE+∠AED=180°,
∴∠AED=180°-70°-50°=60°.
(3)∵△ADE∽△ABC,
∴
=
,
即
=,
∴DE=6.6(cm).
7.A
8.D [解析]∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠CAD=∠BAC,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC.
∵∠DBC=∠CBA,
∴Rt△ABC∽Rt△CBD,
∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对.故选D.
9.∠ADE=∠C(答案不唯一)
10.解:
答案不唯一,如△ADE∽△BDA.
证明:
∵∠CAB=30°,∠BAD=60°,
∴∠DAE=30°=∠DBA.
又∵∠ADE=∠BDA=90°,
∴△ADE∽△BDA.
11.D[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠EDG=∠EAB.
又∵∠E=∠E,
∴△ABE∽△DGE;
∵AE∥BC,
∴∠EDG=∠BCG,∠E=∠CBG,
∴△CGB∽△DGE;
∵AE∥BC,
∴∠E=∠FBC,∠EAF=∠BCF,
∴△BCF∽△EAF.
第四个无法证得.故选D.
12.C [解析] ∵DE∥BC,EF∥AB,
∴∠ABC=∠ADE,∠AED=∠ACB,∠CEF=∠CAB,∠CFE=∠CBA,
∴△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,
∴△ADE∽△EFC.
∴图中相似三角形的对数是:
3.
故选C.
13.3 [解析]∵截得的小三角形与△ABC相似,∴过点P作AC的垂线,作AB的垂线,作BC的垂线,所截得的三角形均满足题意,则点D的位置最多有3处.
14.证明:
∵在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE.
15.证明:
∵△PMN是等边三角形,
∴∠PMN=60°,PN=MP,
∴∠AMP=180°-∠PMN=120°=∠APB.
又∵∠A=∠A,
∴△AMP∽△APB,
∴
=
∴AM·PB=MP·AP,
∴AM·PB=PN·AP.
16.解:
(1)证明:
∵△ABC,△ADE均为等边三角形,
∴∠B=∠C=∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠FDC=∠DFC+∠FDC,
∴∠ADB=∠DFC.
∴△ABD∽△DCF.
(2)∵∠C=∠E,∠AFE=∠DFC,
∴△AEF∽△DCF,
∴△ABD∽△AEF.
∵△ABC与△ADE均为等边三角形,
∴△ABC∽△ADE.
∵∠ADC=∠ADF+∠CDF=∠C+∠CDF=∠AFD,又∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD.
故除了△ABD∽△DCF外,图中的相似三角形还有:
△AEF∽△DCF,△ABD∽△AEF,△ABC∽△ADE,△ADF∽△ACD.
17.解:
(1)直线AB的函数表达式为y=-
x+6.
(2)在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=10.
由题意,知AP=t,AQ=10-2t.可分两种情况讨论:
①当∠APQ=∠AOB时,有△APQ∽△AOB,得=
,解得t=
,
此时,P
Q
.
②当∠AQP=∠AOB时,
有△APQ∽△ABO,
得
=
解得t=,
此时,P
,Q.
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