六年级下册数学试题奥数培优几何与应用题解析版全国通用.docx
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六年级下册数学试题奥数培优几何与应用题解析版全国通用
小学奥数几何与应用题
姓名分数
模型一:
同一三角形中,相应面积与底的正比关系:
即:
两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
S1︰S2
=a︰b;
模型一的拓展:
等分点结论(“鸟头定理”)
2
1
1
如图,三角形AED占三角形ABC面积的×=
346
模型二:
任意四边形中的比例关系
(“蝴蝶定
D
理”)
A
s1
O
S3
S4
s2
①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
②②AO︰OC=(S1+S2)︰(S4+S3)
B
C
a
模型三:
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
s1
S4
s2
22
①S︰S=a︰b
13
S3
a2︰b2︰ab︰ab;
②S1︰S3︰S2︰S4=
b
③S的对应份数为(a+b)2
模型四:
相似三角形性质
1/17
a
h
b
c
b
c
h
a
B
C
B
C
H
H
A
A
①a
b
ch
===
;
ABCH
22
②S1︰S2=a︰A
A
模型五:
燕尾定理
S△ABG:
S△AGC=S△BGE:
S△GEC=BE:
EC;
F
D
S△BGA:
S△BGC=S△AGF:
S△GFC=AF:
FC;
S△AGC:
S△BCG=S△ADG:
S△DGB=AD:
DB;
C
B
E
【例1】(难度等级※※※)
如图,长方形ABCD中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的
长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是.
【分析与解】
连结DE,依题意
1
1
=⨯BO⨯AO=⨯9⨯AO=54,
22
S∆AOB
得AO=12.于是可推知
1
1
=⨯DO⨯AO=⨯16⨯12=96,
22
S∆AOD
1
又因为S∆AOB=S∆DOE
=54=⨯16⨯OE,
2
3
所以OE=6.
4
2/17
1
1
3
3
这样可得S∆BOE=2⨯BO⨯EO=2⨯9⨯64=308,从而有
S∆ECD=S∆BCD-S∆BOE
【例2】(难度等级※※※)
如下左图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D,CB边延长2倍到E,
AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l,那么三角形DEF
的面积是.
【分析与解】
连结AE、BF、CD(如上右图).由于三角形AEB与三角ABC的高相等,
而底边EB=2BC,所以三角形AEB的面积是2.同理,三角形CBF的面
积是3,三角形ACD的面积是1.
类似地
三角形AED的面积=三角形AEB的面积=2.
三角形BEF的面积=2×(三角形CBF的面积)=6.
三角形CFD的面积=3×(三角形ACD的面积)=3.
于是三角形DEF的面积等于三角形ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面积之和,即
1+2+3+1+2+6+3=18.
【例3】(难度等级※※※※)
如图,三角形ABC的面积是1平方厘米,且BE=2EC,F是CD的中点.那
么阴影部分的面积是(
)平方厘米.
【分析与解】
2
1
=
3
S=
3
SABE
(平方厘米),
(平方厘米).
ACE
又SACF=SADF,SBCF=SBDF,,
1
1
所以SACF+SBCF=2SABC=2(平方厘米).
3/17
于是SBCF=(SACF+SBCF)-SACE
11
1
=-=(平方厘米).
236
1
11
1
12
又SCEF=2SBEF=
⨯=
(平方厘米),
26
1
11
故SBDF=SBCF=SBEF+SCEF=
+=(平方厘米)
6124
1
1
5
因此,S阴影=SBDF+SBEF=+=(平方厘米).
4612
【例4】(难度等级※※※※)
如图,已知AE=1AC,CD=1BC,BF=1AB,那么
5
三角形DEF的面积=___
4
6
三角形ABC的面积
【分析与解】
1
4
连结辅助线AD.因为CD=
S∆ACD
Bc,所以
=1
4
(等高的两个三角形面积之比等于底边之比)
S∆ABC
S∆ACD
=5
4
同理
S∆ABC
1
从而S∆CDE=5S∆ABC
连结辅助线BE、CF,同理可证
1
S
∆BDF=8S∆ABC
1
S
∆AEF=6S∆ABC
111
1---
S
61
120
∆DEF568
=
=
所以
S∆ABC
1
【例5】(难度等级※※※)
4/17
如图,BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与梯形的
一条腰DC平行,AE与BD相交于O点.已知三角形BOE
的面积比三角形AOD的面积大4平方米,并且EC=2BC.
5
求梯形ABCD的面积.
【分析与解】
三角形ABE的面积比三角形ABD大4平方米,而三角形ABD与三角形ACD面积相等(同底等
高),因此也与三角形ACE面积相等,从而三角形ABE的面积比三角形ACE大4平方米.
2
22
但EC=BC,所以三角形ACE的面积是三角形ABE的=,从而三角形ABE的面积是
5
5-23
2
4÷(1-)=12(平方米),
3
梯形ABCD的面积
2
=12×(1+×2)=28(平方米)
3
【例6】(难度等级※※※※)
如图,平行四边形的花池边长分别为60米与30米.小明和
小华同时从A点出发,沿着平行四边形的边由A→B→C→D→
A…顺序走下去.小明每分钟走50米,小华每分钟走20米,
出发5分钟后小明走到E点,小华走到F点.连结AE、AF,则四边形AECF的面积与平
行四边形ABCD的面积的比是.
【分析与解】
小明5分钟共走了
50×5=250(米),
这时,小明走过了路线是A→B→C→D→A→B→E,其中CE=20米(如
图).小华5分钟共走了20×5=100(米),
这时,小华走过的路线是A→B→C→F,其中CF=10米(如图).连结
辅助线AC,
5/17
S△AEC:
S△ABC=20:
60=1:
3,
S△ACF:
S△ACD=10:
30=l:
3.
1
所以S△AEC+S△ACF=3(S△ABC+S△ACD),
即四边形AECF与平行四边形ABCD的面积之比是1:
3.
【例7】(难度等级※※)
图中正方形周长是20厘米.那么图形的总面积是平方厘米.
【分析与解】
从图中可以看出,正方形的边长也是圆的半径.
由此可知这两个圆是等圆.因为正方形的每个角都是90。
所以图中的两个扇形的圆心角都是270。
.两个扇形的面积是:
3.14⨯52
×270×2=117.75(平方厘米).
360
正方形的面积是5×5=25(平方厘米).
图形的总面积是
117.75+25=142.75(平方厘米).
【例8】(难度等级※※)
如图中,阴影部分的面积是5.7平方厘米,三角形ABC的面积是
平方厘米.(π取3.14)
【分析与解】
根据对称性,可知原图中阴影部分的面积是
πR2÷4-R2÷2=([π-2)÷4]R2=0.285R2
根据题意,有0.285R2=5.7×2,所以R2=40,从而
S△ABC=R2⨯1=40⨯1=10(平方厘米).
4
4
6/17
【例9】(难度等级※※※)
图中,已知圆心是○,半径r=9厘米,∠1=∠2=150,那么阴影部分的面积是
平方厘米.π(≈3.14)
【分析与解】
因为圆的半径都相等,于是OA=OB.在等腰三角形AOB中两个底角∠1=∠2=150.又知道三
角形内角之和是1800,所以,三角形AOB的顶角
∠AOB=1800一(150+150)=1500.
同理∠AOC=1500.因此,
∠BOC=3600-(1500+1500)=600
这就是说,阴影部分扇形的面积是圆面积的六分之一,即
1⨯π⨯ϒ2≈1⨯3.14⨯92=42.39(平方厘米).
6
6
【例10】(难度等级※※※)
图中阴影部分的面积是平方厘米.(π≈3.14)
【分析与解】
半圆面积是
1⨯3.14⨯52=39.25(平方厘米),
2
扇形面积是
45
3.14×102⨯=39.25(平方厘米),
360
△ABC面积是
1
(⨯10⨯10=50平方厘米).
2
因此阴影面积是
39.25+39.25-50=28.5(平方厘米).
7/17
【例11】(难度等级※※)
图中两个阴影部分面积的和是多少平方厘米?
【分析与解】
3.14⨯(20)2÷2=157(平方厘米),
2
16
3.14⨯()2÷2=100.48(平方厘米),
2
12
3.14⨯()2÷2=56.52(平方厘米),
2
12×16÷2=96(平方厘米),
157-96=61(平方厘米),
因此,阴影部分面积为
100.48+56.52-61=96(平方厘米).
【例12】(难度等级※)
如右图,ABCD是正方形.E是BC边的中点,三角形ECF与三角
形ADF面积一样大,那么三角形AEF(阴影部分)的面积是正方形
ABCD面积的百分之.(结果保留小数点后两位)
【分析与解】
设正方形边长为1,因为三角形ECF与三角形ADF面积一样大,
1
2
1
而EC=,AD=1,所以CF=2×DF.从而CF=,DF=..
2
三角形AEF的面积
3
3
1
1
12
5
1-⨯(⨯1+⨯⨯2)==41.67%.
22
23
12
即是正方形ABCD面积的百分之41.67.
【例13】(难度等级※※)
1
在图中,已知矩形GHCD的面积是矩形ABCD面积的,矩形
4
1
MHCF的面积是矩形ABCD面积的,矩形BCFE的面积等于3
6
8/17
平方米.矩形AEMG的面积等于平方米.
【分析与解】
因为GM:
MH=(1-1):
1=1:
2,所以矩形AEFD的面积等于矩形
466
BCFE面积的1,即3×1=3(平方米).
2
22
又因为AG:
AD=(1-1):
1=3:
4,所以矩形AEMG的面积等于矩形AEFD面积的3,即
4
3⨯3=11(平方米).
248
4
【例14】(难度等级※※※※※)
园林小路,曲径通幽.如图所示,小路由白色正方形石板和青、红
两色的三角形石板铺成.问:
内圈三角形石板的总面积大,还是外
圈三角形的总面积大?
请说明理由.
【分析与解】
两个相接触的正方形夹着一个外圈三角形石板和一个内圈三角
形石板.如图所示,∠EAF与∠BAC互补.
将△BAC绕A点顺时针旋转900补到三角形
EAD的位置.因为∠DAE+∠EAF=1800,
所以D、A、F在一条直线上.
又AD=AC.从而AD=AF.可知,EA为三角形EDF的DF边上的中线,于是三角形EAF与三角
形EAD面积相等.也就是三角形EAF与三角形ABC面积相等.
由于两个相接触的正方形石板所夹的外圈三角形面积等于内圈三角形面积,所以内圈三角
形石板总面积等于外圈三角形石板的总面积.
【例15】(难度等级※※※)
图中正六边形ABCDEF的面积是54,AF=2PF,CQ=2BQ,求阴
影四边形CEPQ的面积.
9/17
【分析与解】
如图,将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形.根据平行
四边形对角线平分平行四边形面积,
△PEF面积=3,
△CDE面积=9.
四边形ABQP面积=11.
上述三块面积之和为3+9+11=23.
因此,阴影四边形CEPQ面积为54-23=31.
【例16】(难度等级※※※)
已知四边形ABCD是正方形,边长为3,BE=1.5,AF=1,求阴影
(划线)部分的面积.
【分析与解】
延长DE交AB的延长线于H,由于E是BC中点
所以BH=CD=3.
连DF,设DE与CF相交于G.
因为CD﹕FH=3﹕(2+3)﹕3﹕5,所以DG﹕GH=3﹕5.
△DGF与△GHF的面积的比=DG﹕GH=3﹕5.
1
1
3
△ADH的面积⨯3×(3+3)=9,△ADF的面积=⨯3⨯1=.
2
2
2
3
15
15
575
所以△DGF的面积=9-=,△GHF的面积=⨯
=,
23+516
22
BEH的面积=1⨯1.5⨯3=9,所求面积是75-9=75.
2
4
16416
【例17】(难度等级※※)
图中ABCD是直角梯形,其中,AD=12厘米,AB=8厘米,BC=15
厘米.且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等.那
么三角形EBF的面积是平方厘米.
10/17
【分析与解】
直角梯形ABCD的面积是
(12+15)×8÷2=108(平方厘米).
因为三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等,并且这三个图形的面积之和等于
梯形ABCD的面积.所以它们的面积都等于
108÷3=36(平方厘米).
在三角形ADE中,AD=12厘米,所以AE=36÷12×2=6(厘米).
又知AB=8厘米,所以EB=8-6=2(厘米).
因为三角形CDF的高=AB=8(厘米).于是
FC=36÷8×2=9(厘米).
由于BC=15厘米,可知BF=15-9=6(厘米).
因为∠B=900(24)2,所以三角形EBF的面积是
2
1
2
EB·BF=2×6÷2=6(平方厘米).
【例18】(难度等级※※※)
正方形ABCD的面积是160平方厘米,连接这个正方形4条
边的中点,又得到一个正方形EFGH.像这样重复几次后得到
下图,图中涂黑色部分的面积是平方厘米.
【分析与解】
白色的三角形分为三层:
1
第l层的面积占总面积的;
2
11
1
第2层的面积占总面积的⨯=;
428
第3层的面积占总面积的⨯=;
16232
1
1
1
11
121
一共占++=.
283232
21
11
所以黑色部分占总面积的1-=.涂黑色的面积是
3232
160⨯=55(平方厘米).
32
11
11/17
【例19】(难度等级※※※※)
如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A和B是
两个正方形的重叠部分,C、D、E是空出的部分,每一部分都是
矩形,它们的面积比是A:
B:
C:
D:
E=1:
2:
3:
4:
5,那么
这个长方形的长与宽之比是.
【分析与解】
为统一起见,对图中的矩形,横向称为长,纵向称为宽.因为A
与B的宽相等,所以设A的长为x,则B的长为2x(见左上图).因
为C:
D:
E=3:
4:
5,C、D、E的宽相等,所以设C的长为3y,
则D、E的长分别为4y和5y.因为图中的三个正方形相同,边长
相等,于是得到5y+x=2x+4y,
化简得x=y.由此推知,若A的长为1,则B、C、D、E的长依次
为2、3、4、5(见右上图),正方形的边长为6,大长方形的长为
6×2+3=15.因为A与C面积之比与长之比都是1:
3,所以它们
的宽应相等,同为正方形边长的一半,即6÷2=3.所以大长方形的宽为6+3=9,长与宽之
比为15:
9=5:
3.
【例20】(难度等级※※※)
五环图由内圆直径为8,外圆直径为10的五个圆环组成,其
中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等,已知五
个圆环盖住的总面积是132.5,求每个小曲边四边形的面积(圆
周率π取3.14).
【分析与解】
每个圆环的面积是π(52-42)=9π
如果五个圆环彼此没有重合的部分,则它们的总面积是
5×9π=45π.
12/17
因为五环盖住的总面积是132.5.
所以每个小曲边四边形的面积是
45π-132.5=8.8=1.1
54-27=268
3
1111
8
8
【例21】(难度等级※※※)
已知四边形ABCD是直角梯形,上底AD=8厘米,下底BC=10
厘米,直角腰CD=6厘米,E是AD的中点,F是BC上的点,
2
BF=BC,G为DC上的点,三角形DEG的面积与三角形CFG
3
的面积相等.那么,三角形ABG的面积是平方厘米.
【分析与解】
由题意可得:
1
2
1
⨯ED⨯DG=×CG×FC
2
2
10
FC=10×(1-)=(厘米),ED=4(厘米)
33
CG
ED
4
36
===4⨯=,
DGFC10
105
DG=6÷(1+6)=28(厘米),
5
11
S=1⨯4⨯28
=60,
DEG
2
1111
=(2+3)S=5⨯60=27,
3
S+S
ADGBCG
DEG
11
11
=1⨯(8+10)⨯6=54(平方厘米).
S
梯形ABCD
2
所以三角形ABG的面积是:
54-27=268(平方厘米).
1111
3
【例22】.A和B两个数的比是8:
5,每一数都减少34后,A是B的2倍,试求这两个
数.
【分析与解】
方法一:
设A为8x,则B为5x,于是有(8x-34):
(5x-34)=2:
1,x=17,所以A为136,
13/17
B为85.
方法二:
因为减少的数相同,所以前后A、B的差不变,开始时差占3份,后来差占1份且与B一样多,也就是说减少的34,占开始的3-1=2份,所以开始的1份为34÷2=17,所以A为17×8=136,B为17×5=85.
【例23】.近年来火车大提速,1427次火车自北京西站开往安庆西站,行驶至全程的
5
11
再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟,而到达安庆西站比提速前早了2
小时.问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?
【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米?
(x+56):
x=60:
120,即(x+56):
x=1:
2,即x=10x+112,解得x=1232.
5
5
11
11
11
即北京西站、安庆西站两地相距1232千米,
【例24】.两座房屋A和B各被分成两个单元.若干只猫和狗住在其中.已知:
A房第一
单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率;并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率.试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?
【分析与解】如下表给出的反例指出:
对所提出问题的回答应该是否定的.表中具体
写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率.
【例25】.家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2:
3,已知鸡、鸭、
鹅数量之比是8:
7:
5,公鸡、母鸡数量之比是1:
3,公鸭、母鸭数量之比是3:
4.试求公鹅、母鹅的数量比.
【分析与解】
公鸡占家禽场家禽总数的
2
1
1
2
46
45
15:
(3⨯⨯5+4⨯⨯4)=45:
46:
(3⨯⨯5+4⨯⨯4)=46:
47.
=
3
3
3
3
8
1
1
3
⨯
=,母鸡占总数的;
8+7+51+310
10
8
33
4
⨯
=,母鸭占总数的;
公鸭占总数的
8+7+53+420
20
2
13
3
2
3
4
2
-(+)=,母鹅占总数的
-(+)=,公鹅、母
公鹅占总数的
3+2102020
3+2102020
3
2
鹅数量之比为:
:
3:
2.
2020
14/17
【例26】.在古巴比伦的金字塔旁,其朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子,其
影子的前端正好到达阶梯的第3阶(箭头).另外,此时树立l根长70cm自杆子,其影子的长度为175cm,设阶梯各阶的高度与深度都是50cm,求柱子的高度为多少?
【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;
所以影子的长度与杆子的长度比为:
175:
70=2.5倍.
于是,影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25,所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m.
【例27】.已知三种混合物由三种成分A、B、C组成,第一种仅含成分A和B,重量比为
3:
5;第二种只含成分B和C,重量比为I:
2;第三种只含成分A和C,重量之比为2:
3.以什么比例取这些混合物,才能使所得的混合物中A,B和C,这三种成分的重量比为3:
5:
2?
【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混合物
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