机器人避障问题研究报告.docx
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机器人避障问题研究报告.docx
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机器人避障问题研究报告
D題:
机器人避障问題
本文就机器人避强冋題,建立了相应的优化模里。
模1-:
关干Hl器人从区域中一点到达另一贞的遐障最短路径的问题。
首先,题恿,师出HI器人行走的可行区域与危险区域;其次,在证明了具有園形限定区域的最皱路径间题为根据的前提下,可以得岀最短路径一定是由直线和闊弘组成,并依此建立了线岡结沟,将路径则分为若干个逆种线圆结构来求辭最短路径通用模型;最后,根弼最姬路径通用模型,采用穷举法把可能路径的最短路径列举出来,通il比较最终得出各种最短路径的坐标及总路程8UT:
(1)0-A的最矯路程为:
471.04个单位
(2)OtB的最短路程为:
853.71个单位
(3)0->C的最短路程1088.20个单位
(4)OtA—BtCtO的最短路径为:
2730.01个单E
模塑二:
关于机器人UEM中一点到这另一点的避障最類时间路径的间题。
首先,根锯題意,找出公共切点,得出转弯时最大圆和最小圆的圆心坐标,确定冏心的变化X围;其次,依擴圆心的变ItX围,得出转弯半径的变化X围;然后,利用MATLAB^件编程来求解最姬时间路径通用模型;最后,根据最短时间路径通用模里,得出所有结果,通过比较最终得岀机器人U0(0,0)岀发,到达A的1SK间路径的总路程和总时间以及fit路径如下:
0-A最短时间471.12个单位,晟矯时同为94.229枚
第一条线段
起始坐标为(0,0)
终点坐标为(77.66,220.07)
第二条裁段
起峪坐标为(69.82,212.07)
终点坐标为(300,300)
半gJl12.83个单也
6!
心坐标为(82,208)
最后,我『1对模型进行了改进、检验、评价与推广。
关键词:
优化模型最短路程线圆结构最短时间穷举法
1问題重述
1.1背景资料
图1是一个800x800的平面场景图,在原点0(0,0)点处有一个机器人,它只能在该平面场景X围内活动。
图中有12f不同形状的区域是机器人不能与之发生磁撞的障碍物,障碍物的数学描述如下表:
编号
障碍物名称
左下顶点坐标
貝它特性描述
1
正方形
(300,400)
进长200
2
岡形
凰。
坐标(550,450),半径70
3
平行四边形
(360,240)
庇进长140,左上顷点坐标(400,330)
4
三角形
(280,100)
上顶点坐标(345,210),右下硕点坐8(410,100)
5
正方形
(80,60)
边长150
6
三角形
(60,300)
上顶点坐标(150,435),右下II点坐标(235,300)
7
长方形
(0,470)
长220,宽60
8
平行四边形
(150,600)
竈边长90,左上硕点坐标(180,680)
9
长方形
(370,680)
长60,宽120
10
正方形
(540,600)
ia长130
11
止方形
(640,520)
遊长80
12
长方形
(500,140)
长300,宽60
1.2息
(1)在图1的平面场景中,障碍物外荷定一点为机器人要到这的目标点。
现定机器人的行走路径由直筑段和冏弧组成,其中冏弧是机器人转弯路径。
(2)机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弘组成,也可以由两个或多个相切的凰聲路径组成,但毎个圆聲的半径最小为10个单也。
(3)HI器人直线行走的最大速度为v0=5个单位/秒。
机器人转弯时,最大转弯速度
为卩=卩3)=—,貝中q是转弯半径。
如果超11该速度,HI器人冷发生MSI,无法
1+e10-0.1X>
完成行走。
1.3问題要*
(1)机器人不与肾碍物发生亚撞,若亚撞发生,则机器人无法完成行走。
(2)机器人行走线路与肾碍物的距离至少起过10个单位,否!
M将发生碰撞。
1.4同题提出
请建立机器人UEM中一点到达另一点的遐障最短胳径和最短时r«g的数学模
里。
对场景图中4个点0(0,0),A(300,300),B(100,700),C(700,640),具体廿算;
冋題一:
机器人从0(0,0)出发,OtA、OtB、OtC和OtAtBtCtO的最短胳
径0
°NSZ:
机器人U0(0,0)岀发,到达A的最姬时间路径。
a:
要给出路径中每段直线段或叭的起点和终点坐标、圆%的同心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。
2冋題假按与符号说明
2.1冋愿假扱
1.假设机器人为一个质点;
2.假设机器人在转弯时的速度可以瞬间变换;
2.2符号说明
P:
转弯半径
L:
路径的总长度
心:
机器人行走的速度
/;:
第j段圆*的长度
<:
第/Hfll线的长B!
V:
机器人的最大转弯速度
k:
障碍物上的任意点与行走路径之间的最短距离
3冋題分析
3.1Bfi-的分析
首先,根据题恿可知,机器人行走线路与障碍物的距离至少481410个单也,由此条件可ii岀机器人的危险区域与行走EMo
其次,每f拐轴处画一个半径为10的四分之一圆恥,通il釆用拉绳子的方法寻找可能的最姬路径(比如求o和a之间的最短胳径,可以连接ofnA之间的一段绳子,以拐角处的冏孤为支撑也紧,那么这段绳子的长度便是。
到A的一条可能的最短路径)。
然后採用穷举袪列出o舅每个目标点的可能路径的最短路径,比较其大小便可求得。
到目标点的最矯路径。
最后,求定点0(0,0)经过中间的若干点按照一定的规则绕过障碍物到达目标自,&使借不仅要考虑经U障碍物拐点的间题,还需考虑经过路径中的目标点处转弯的间题,泄时简单的线圆緒构就不能解决这种间题,可以在拐自及迩中目标点处胡采用最小转弯半径的形式,最终求得最短路径。
3.2HKZ的分林
首先,由题恿可知,转弯速度与转弯半径有关,在一定XIB内半径越大,速18越大。
因此。
到a的最短路径不一定是最短时间路径。
其次,在冋題一中以求岀,机器人走限定区域的部分ill界时路径能这到最小。
在机器人不发生碰撞目路径尽可能最姬的同时,选择扩夫半径以保iif时同最短。
通与证明,计算出圓心的坐标X围与转弯半径。
最后,把所有可能路径化成冋題一中的线IS给构,利用MATLAB^件进行求解找出最姬时同路径。
4模型准备
4.1模型准备一
假毀:
具有冏形限定区域的最短路径是由两部分组成的:
一部分是最短直线路径,另一部分是限定区域的部分ill界,这两部分是相切的,互相连接的。
址明:
假设在平面中有A(a,0)和B(-a,0)两点,中间有一f半圆形的肾碍物,证明从A到B的最路径为AEFB。
平面上连接两点最短的路径为直MS,ffl是连接两点的线段于障碍物相交,所以设法尝试折线路径。
在y轴上取一点D(0,d),若d适当大,则折线ADB与障碍物不相交,折MADB的长度为:
\ADBl=2>/a2+d2显然\ADB\^着d的减小而械小,肖d减小时d—b,&D^C,
使得BC、CA与
障碍物相幼,切点分别为E和F,显然ACB是折线胳径中最短的。
由于0<“<彳,所以dvtane因此易fll1®EF小干ECF的长,E|1EF 准备: 由個设可知,起点到目标点最短路径应该是若干个线圆結构所级成。 障碍物在拐点处的危险区域是一个半径为10的|即版,求两点之间的最短路径中的转弯半径应该按照最小的转弯半径来算才能达到最优。 凰的半径为r,C和D分别为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角小I即张的切点,AB的长度为a,A0的长度为b,B0的长度为C,^^ZAOB=al,ZAOC=a2,ZBOD=a3tZCOD=0.求ACDB的长度,设为厶, 解法如下: 3=J(X2-Xl)'+(y2-X)2-b=J(®一西)’+(>'3一〉'])‘C=/兀_勺)2+(儿_儿)' 在AAOB中: 在RtAAOC: ■b 在Rt^AOC中: a,=arccos/-~y) 2bc ay=arccos一 c 所以: L=>jb2-r+ylc2-r+r0 (2)对于下面两种悄况不能直接采用线岡结构来解决,需要做简单的变换。 悄况_: 对于同心连线与切点连线交叉的悄况。 线Bl结构4・3 假设两圆心坐标分别为和N(x29y2),半径均为「,P点坐标为(可,旳),可以求得: 西+“2 儿= 因此可以利用 (1)中的方法,先求A到P,再求P到B,这样分两段就可以求解。 同理血果有更名的转弯,同样可以按照此种方法分解。 悄况二: 对于圆心连线与切点连线平行的悄况。 DE y=%d)+x M/V直线方程为: 因为公UJSDE与MN平行,所以DEM直线方程可以表示为: 『=%(兀_召)+”+3 其中: 把公切线的方程于圆的方程联立,可求和E的坐标。 用D和E任直一自作为分劃点都可以将上图分创成两个4-2所示的线冏结枸,这样就可以对其进行求解。 同3,多个这样的转弯时,用同样的方法可以进行分创。 4.2模璽准备二 假按: 如果一个圆坏可以绕着坏上一个定自转动,朋么过圜坏外两定点连接一根绳子,并以该圆坏为支撑拉紧绳子,达到平衡状态H,|«心与该顶点以及两条幼线的延长线的交点共线。 证明: 血图4-5所示,E点就是惻坏上的一个顷点,ACDB与圆坏相切的胳线,N就是切线AC和BD的延长线的交点,込明M、E、N三点共线。 用力学的知识afiil明,RiHfi力相等,设为戸,它们的合力设为丘,定点对岡坏的作用力设为E。 由几何学的知识可知,&与顾共线,根据力的平術条件可得: _—F°T 即顾与石可共线。 妹上所述M、E和N三点一定共线。 准备: 根据假设的定理可求出机器人UA绕过障碍物经UP到达目标自B的最短路径(血图4-6),釆用以下方法: 用一根知子使一个岡坏定在P点,使这个圆坏能册绕P点转动。 然后连接A和B的绳子并以这些转弯处的圆弧为支«(S里转弯处Bill的半径均按照最小转弯半径来it算),拉紧绳子,册么绳子的长度就是A到B的最短距离。 可以把路径图抽象为以卞的几何图形2H亍求解: 0V''./M P ED 图4-6 如图,A(西,廿)是起点,B(x2,y2)是终点,M(羽,旳)和N(刃,)打)是两彳、固定的圆,0是一个可以绕P(P,q)点转动的圆环,三个圆的半径均为r,C、D、E、F、G、H均为切点。 a、b、c、e,f分别是AM、MO、AO、AN、0N的长度。 A、B、M、N均是已知点,0是未知点。 那么最短路径就可以表示为: L=\AC\+CD+\DE\+EF+\FG\+GH+\HB\ 因为o点的坐标未知,不能用线冏结沟对其亍求解。 故得先求出o点的坐标。 设O坐标为(m,n),ZAMC、ZAMO、ZAOM、ZAON、ANOF分别为af(Z=1、2、3、4、5),ZCMD.ZEOF、ZEOM分别为0、y、0Q 得到如下关系: "=J(斗73)2+(开_卩3)' b=yl(xy-m)2+(y3-n)2 在R3MC中: r ax=arccos— a 在AAMO中: a2+b2-c2 4=arccos 22ab Zr+L—/ a.=arccos 32bc 在^AON中: c2+f2-e2 a.=arccos 2cf 在Rt^QOF中: 2r a.=arccos—— f 0=¥_4_冬 3兀 /=—-^-^4-^5 Q81为PO—定会在ZEOF的用平分线上,所以满足: e=L 2 了果用向量的形式来求,易知莎的一个方向向量: 心(】,g)x2-n 而OE^MO垂直,故其一个方向向量: /;=(! -AZ1) y2-m ffij: OP=(p-tn.q-n) 所以: a/八OM ^=arccos. l/jOMI ■ 综合以上式子可以求借O的坐标,从而可以得出路径的长为: L=yja2-r2+pr+b+yr+2^)2-r2+/0 l°=GH+HB 5模型的建立与求解 5.1»S-W建立与求解 根据题恿,机器人行走线路与障碍物间的最ifi距离为10f单位,由此可以画岀机器人行走的可Item与危险EM,则下图5-1示,阴影部分代表可行区域,白色部分代表危险EMo 图5-1机器人行走的可行区域与危险区域 假设机器人从起点0到目标点由题可知路径由冏恥和线股组成,设有m条线股,nftlll®。 那么目标函数可以表示为: nin min厶=2X+* /=1J=1 X? >10 s.t=< k>10 用此模型就可以对起点到目标点之间的路径进行优化求解。 (1)#0图5-2解决的是0到目标点A的最姬路gro,图中给出了可能的两条路径的最短胳径(图中的蓝色所示),可以分别计算岀两条可能路径的最短路径的长度,滋后进行比较,取最小者就是0到目标点A的最优路径。 g 0 图5-2到ftA«可能最短路径 利用MATLAB编程(程序见附录A)对模型进行求解,结果如下: 10U胳线1到达目标点A,解借最姬路径为498.97个单位。 20从路线2到达目标虑A,解借最矯路径为471.04个单位。 综合①2嘶述,0到目标点A的最姬路径为471.04个单位。 (2)ffl图5-3解决的是0到目标点B的最短路径问! 图中给岀了可能的兀条路径的最短胳径(图中的线条所示),可以分别廿算岀穴条可能路径的最短路径的长度,然后进行比较,取最小者就是0到目标点B的最优路径。 Y 利用MATLAB编程(程序见附录A)对模型进行求解,结果如下: 10从路线1到达目标点B,在拐贞a处分为两条胳线,即图巾的黄色路线与红色路线。 al.USS线1走红色路线: 这条路径是由5条直线和4段岡恥组成,直接用简单的线同箱构无法解岀。 于是做血下变换: 首先,找岀两圆%的幼线段与两囿心连线的交点M;其次,用线凰给枸4—2的解法计算,分别求0到M和M到下一个交点,以此类推直到目标点B,分四部分求解;最后把这El部分的和相加,便可求岀0到B的最姬路径。 求得结果为945.96t单位。 bl.UJS线1走黄色路线: 同理这条路径是由4条貞线和3段圆恥组成,同样可以采取肋中的变换,分三部分求解,求得结果为1058.4个单位。 妹上: 01USS1到达目标自B走红色路线路径最短,最短路径为945.96个单位。 20从路线2到达目标自B,在拐自b处分为两条胳线,即图中的黄色路线与红色路线。 a2.Uffi线2走红色路线: 同理这条路径是由5条直线和4段圆弘组成,同样可以采取肋中的变换,分四部分求解,求得结果为878.05个单位。 b2.U路线2走黄色路线: 同理这条路径是由4条貞线组成,同样可 以果取a1中的变换,分三部分求解,求得结果为990.17个单位。 妹上: 0从路线2到达目标自B走红色路线路径最短,最短路径为878.05个单位。 30从路线3到达目标自B,在拐点c处分为两条胳线,即图中的黄色胳线与红色路线。 a3.UJS线3走红色路线: 同理逆条路径是由6条直线和5H®®组成,同样可以采取肋中的变换,分五部分求解,求得结果为853.71个单位。 b3.U路线3走黄色路线: 同理这条路径是由5条直线和4段圆弘组成,同样可以采取a1中的变换,分皿部分求解,求得结果为971.23个单位。 综上: 0从路线3到这目标点B走红色路线路径最短,最婕路径为853.71个单位。 综合①②③所述,0到目标虑B的最短路径为853.71个单位。 (3)M图5-4解决的是0到目标点C的最短路径冋題,图中给岀了可能的三条路径的最短路径(图中的蓝色所示),可以分别廿算岀三条可能路径的最短胳轻的长度, 图5-4到达C的可能最短路径 利用MATLAB编程(程序见附录A)对模型进行求解,结果如下: 1OU胳线1到这目标点C,同理这条路径是由6条fiSfll501^1®组成,同样可以呆取刖中的变换,分五部分求解,求借结果为1088.20个单位。 20从胳线2到这目标点C,同理逆条路径是由6条貞线fl! 5Hia®组成,同样«IJU®a1中的变换,分五部分求解,求得结果为1102.60f单位。 30从胳线3到这目标自C,同理这条路径是由7条貞线和6Kl§|®组成,同样可tt«®a1中的变换,分兀部分求解,求骨结果为1253.40f单位。 40UJSS4到达目标自C,同理这条路径是由8条育线和7段圜飯组成,同样可以呆取砧中的变换,分七部分求解,求得结果为1239.80个单位。 综合①2)③^所述,0到目标点C的最姬路径为108&20个单位。 ⑷如图5-5解决的是OtAtBtCtO的最短路径问题,可利用准备二的理论对其进行廿算,棉出最姬路径。 蓝色线为OtAtBtCtO的最短JS6,这条路径由17条貞线和16Kia®组成,在个目标处用准备二进行廿算,同样果取31中的变换,分十五部分求解,求得给果为2730.01个单位。 5.2模型二的建立与求解 机器人最大转弯速度为v=v(p)=—,其中°是转弯半径。 所以,在一定X围内, 1+e 转弯半径越大,最大转弯速度也就極大,行走时间减小。 根据以上分折,做岀以下假设: SS: JDJ走弧线的中自C为公共切点,将最小圆的圆心与公共切点C连接并延长,所得直线即为以相同半径不同冏心所有冏的最优路径(为所走弧长路径),其中所有最优圆的圆心,即为在不与障碍物发生碰撞的悄况下岡心的变化x围。 证明: 以任意虑m、n为圆心,其中点m、”不在公共切虑c与最小圓的圆心(80,210)连线的直线上,另外在这条直线上找一"然后分别以点〃? 、〃、z为圜心,作出相同半径的闊并部内切于公共切点c,如图所示: 分别求得以点加、〃、z为圆心,相同半径的圆的不同路径距离分别为489.61个单位、483.47个单fi.472个单位,通过对比可8l,当半径相同时,圆心在公共切点c与最小岡的冏心(80,210)连线的直线上所走的路径最短。 Q因为公共切点c正好为所走版线的中点,所以此直线与正方形的対角线重合,因此可得直线为y=—x+290。 同时也騎込假设是正确的。 通社上述证明可JU,III心在貞线y=-x+290上变化为最优。 找出圓心在直缆y=-x+290上变化时,没有与障碍物同发生碰撞的最大圆的凰心位置与最小圆的圆心位置,设最大BI的H心坐标为心刃,如下图所示: 当线段力=必时,以交点0为冏心,心为半径师圆,此时的圓为没有与障碍物间发生碰撞的最大冏,Q因为点c为直线y=一兀+290与以点(80,210)为圓心半径为10个单 位圆的交虑,由此可得; y=-x+290(x-80)2+(y-210)2=102 解得点c坐标为(80-572,210+5^) 根据两点之间的距离公武〃=/兀-*+(儿+肘可知: y=一兀+290 ^(80-5^2-x)2+(210+5VI-y)2=^(x-x)2+(290-y)2 解得最大H的圆心坐标为0(249,41) 同理,可知最小U的圓心坐标为(80,210)o 由上述可知,同心是在直线y=-x+290(80 /•=>/(x-80)2+(y-210)2+10 根据題恿,机器人转弯时,最大转弯速度为V=V(P)=—,其中Q是转弯半 1Ie 径。 所以,当%—定时,机器人转弯的半gpi大,最大转弯速度也就越大。 乂因为机器人直线行走的最大速度为v0=5个单位/秒,所以当p趋于无穷大时严Wo(其中因为不能碰撞障碍物所以Q不能无限范于无穷大),最大转弯速®v=v(p)=— 1+e•卩 也就范于v=v(p)=v0=5个单位/秒,所以在转弯时,眠的半gl§t,转弯速度加快。 如图5-9解决的是0到目标点A的最短时同路径问SSoia心dU小園到大同内变化,图巾给岀了OtA的所有可能时间路线。 计算岀所有路线的时间,比较其大小,找出最短时同路径。 图5-9 因为圆心是一个动点,所以可以得到很多条路径。 结合准备以中的定理,利用MA7UB编程(程序见附录B)对模型进行求解,找岀时间最姬的路径,结果如下: 0-A的最姬时间路径为471.12f单位,最短时间为94.229杪。 5.3模型结果 由題恵可知,路径由圆恥和线段组成,设有m条线段,n条凰恥。 机器人貞线行走的最大速度为v0=5f单位/枚。 机器人转弯时,最大{专弯速度为y==—o |+glU-U.l^ 经过推算可th专弯半径Q=io,假设机器人在貞线上一貞以5f单位/枚行走,根摇公式可以借到最大转弯速度为v=2.5个单创秒。 5.3.1模型一的结果 (1)0-A的最類路径为471.04个单位,根据上述公式得到总时同为96.022秒。 最姬路径中每段宜线段或圆*的起点和终点坐标、冏版的圓心坐标以尺机器人行走的总更离和总时间如下表: 表5-100-A9条线段与冏醫的坐标及总路桿与息时间 O-ASJ®路为471.04个单•总时间为96.022杪 第%条线段 d\ d2 起始坐标 X 0 76.61 y 0 219.41 终点坐标 X 70.5 300 y 213.12 300 第厶条圆礼 h 風心坐标 (80,210) (2)0-B的最矯路径为853.71个单位,根据上述公式得到总时间为179.084秒。 最短路径中毎段直线段或圓%的起点和终点坐标、圓11的圓心坐标以及机器人斤走的总距离和总时间如下表: 表5-110-B毎条找段与岡醫的坐标及总路桿与息时间 O-BggSg»853.71个单位,总时间为179.084杪 第/条裁段 山 d2 爲 £ 4 〃6 駅始坐标 X 0 52 147.96, 230 225.5, 140.69 y 0 305.55 444.79 470 538.35 596.35 冥点坐标 X 50.14 141.68 222.04 230 144.5 100 y 301.06 440.55 460.21 530 591.65 700 第C条同取 h 仁 厶 h & 岡心坐标 X 60 150 220 220 150 '、 300 435 470 530 600 (3)OtC的最矯
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