高考数学一轮复习第七章不等式72线性规划讲义.docx
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高考数学一轮复习第七章不等式72线性规划讲义
2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式7.2线性规划讲义
考点
内容解读
要求
五年高考统计
常考题型
预测热度
xx
xx
xx
xx
xx
线性规划
求目标函数最优解
A
9题
5分
填空题
★★☆
分析解读 考查线性规划的试题难度一般中等偏下,复习时试题难度不要拔高.
五年高考
考点 线性规划
1.(xx课标全国Ⅰ文改编,7,5分)设x,y满足约束条件
则z=x+y的最大值为 .
答案 3
2.(xx课标全国Ⅲ文改编,5,5分)设x,y满足约束条件
则z=x-y的取值范围是 .
答案 [-3,2]
3.(xx山东改编,4,5分)若变量x,y满足
则x2+y2的最大值是 .
答案 10
4.(xx课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件
则z=x-2y的最小值为 .
答案 -5
5.(xx天津理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件
则目标函数z=2x+5y的最小值为 .
答案 6
6.(xx课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
答案 216000
7.(xx浙江理改编,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|= .
答案 3
8.(xx北京改编,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为 .
答案 7
9.(xx课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件
则z=2x+3y-5的最小值为 .
答案 -10
10.(xx山东改编,6,5分)已知x,y满足约束条件
若z=ax+y的最大值为4,则a= .
答案 2
11.(xx课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件
则的最大值为 .
答案 3
12.(xx北京改编,2,5分)若x,y满足
则z=x+2y的最大值为 .
答案 2
13.(xx天津改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件
则目标函数z=x+6y的最大值为 .
答案 18
14.(xx湖南改编,4,5分)若变量x,y满足约束条件
则z=3x-y的最小值为 .
答案 -7
15.(xx浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 .
答案 3
16.(xx广东改编,3,5分)若变量x,y满足约束条件
且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n= .
答案 6
17.(xx安徽改编,5,5分)x,y满足约束条件
若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为 .
答案 2或-1
18.(xx浙江,13,5分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案
19.(xx湖南,14,5分)若变量x,y满足约束条件
且z=2x+y的最小值为-6,则k= .
答案 -2
20.(xx课标Ⅰ改编,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1:
∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:
∃(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:
∀(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:
∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是 .
答案 p1,p2
21.(xx江苏,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是 .
答案
教师用书专用(22—27)
22.(xx陕西理,13,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为 .
答案 -4
23.(xx广东理,13,5分)给定区域D:
令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定 条不同的直线.
答案 6
24.(xx安徽理改编,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是 .
答案 4
25.(xx浙江理,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足
若z的最大值为12,则实数k= .
答案 2
26.(xx课标全国Ⅱ理改编,9,5分)已知a>0,x,y满足约束条件
若z=2x+y的最小值为1,则a= .
答案
27.(xx天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?
并求出此最大利润.
解析
(1)由已知,x,y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图1所示:
图1
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
图2
解方程组得点M的坐标为(20,24).
所以zmax=2×20+3×24=112.
答:
生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.
三年模拟
A组 xx模拟·基础题组
考点 线性规划
1.(xx江苏姜堰中学高三期中)已知x,y满足不等式组
则(x+1)2+y2的最大值为 .
答案
2.(xx江苏无锡高三期中检测)若变量x,y满足
且x+2y≥a恒成立,则a的最大值为 .
答案 -4
3.(xx江苏如东高级中学高三学情检测)函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件
则实数m的最大值为 .
答案 1
4.(xx江苏南京师范大学附中期中,7)若实数x,y满足条件
则z=3x-4y的最大值是 .
答案 -1
5.(xx江苏南京、盐城一模,6)已知实数x,y满足
则的最小值是 .
答案
6.(xx江苏无锡期末,7)设不等式组
表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值范围是 .
答案 [2,5]
7.(xx江苏清江中学周练,8)若不等式组
表示的平面区域的面积为12,则实数a的值为 .
答案 8
B组 xx模拟·提升题组
(满分:
15分 时间:
10分钟)
填空题(每小题5分,共15分)
1.(xx江苏苏州暑期调研,13)已知点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,m,n∈R,则(m-2)2+(n-2)2的取值范围是 .
答案
2.(xx江苏泰州中学模拟,13)已知实数x,y满足
若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是 .
答案
3.(xx扬州中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为 .
答案 2
C组 xx模拟·方法题组
方法1 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法及平面区域应用
1.若不等式组
所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是 .
答案
方法2 简单规划问题的求解方法及实际应用
2.变量x,y满足
(1)设z=,求z的最小值;
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.
解析 由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.
由解得A.
由解得C(1,1).
由解得B(5,2).
(1)∵z==,
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin=kOB=.
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离d的平方,结合图形可知,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.
∴2≤z≤29.
2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及其应用讲义
考点
内容解读
要求
五年高考统计
常考题型
预测热度
xx
xx
xx
xx
xx
基本不等式及其应用
1.利用基本不等式求最值
2.基本不等式的实际运用
3.基本不等式的变形运用
C
10题
5分
填空题
解答题
★★★
分析解读 基本不等式是求函数最值的重要工具,在实际应用题中也经常用到,是高考的热点,复习这部分内容要注意基本不等式的灵活运用.
五年高考
考点 基本不等式及其应用
1.(xx江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
答案 30
2.(xx山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
答案 8
3.(xx天津理改编,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是 .
答案
4.(xx山东理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为 .
答案 1
5.(xx山东理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=+.
(1)证明:
a+b=2c;
(2)求cosC的最小值.
解析
(1)证明:
由题意知2=+,
化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,
即2sin(A+B)=sinA+sinB.
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.
从而sinA+sinB=2sinC.
由正弦定理得a+b=2c.
(2)由
(1)知c=,
所以cosC==
=-≥,
当且仅当a=b时,等号成立.
故cosC的最小值为.
三年模拟
A组 xx模拟·基础题组
考点 基本不等式及其应用
1.(xx江苏盐城时杨中学高三月考)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最大值为 .
答案 -
2.(xx江苏南京溧水中学质检,10)已知x,y为正实数,且2x+y=1,则+的最小值是 .
答案 9
3.(xx江苏南京师范大学附中期中,11)等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,若log3=9,则+的最小值是 .
答案 2.5
4.(苏教必5,三,3,变式)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则的最小值为 .
答案 4
5.(xx江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试,11)若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值是 .
答案 8
6.(xx江苏无锡期中,9)已知正实数a,b满足a+3b=7,则+的最小值为 .
答案
7.(xx江苏苏州一模,13)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为 .
答案 4+
8.(xx江苏徐州沛县中学质检,19)已知函数f(x)=|x-2|.
(1)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;
(2)已知a+b=1(a,b>0),且∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立,求实数m的取值范围.
解析
(1)f(x)+f(2x+1)=|x-2|+|2x-1|
=
当x<时,由3-3x≥6,解得x≤-1;
当≤x≤2时,x+1≥6无解;
当x>2时,由3x-3≥6,解得x≥3.
所以不等式f(x)+f(2x+1)≥6的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).
(2)∵a+b=1(a,b>0),
∴+=(a+b)=5++≥5+2=9
∴∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立等价于∀x∈R,|x-2-m|-|-x-2|≤9恒成立,
即(|x-2-m|-|-x-2|)max≤9,
∵|x-2-m|-|-x-2|≤|(x-2-m)-(x+2)|=|-4-m|,
∴-9≤m+4≤9,∴-13≤m≤5.
9.(xx江苏苏州期中,18)如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1∶3的左、右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米.
(1)当点F与点D重合时,试确定点E的位置;
(2)试求x的值,使路EF的长度最短.
解析
(1)S平行四边形ABCD=2××1×2sin120°=,
当点F与点D重合时,S△CDE=S平行四边形ABCD=,
又∵S△CDE=CE·CD·sin120°=x,∴x=1,即E是BC的中点.
(2)①当点F在CD上时,易知CF=,1≤x≤2,
再由余弦定理可得y=≥,当且仅当x=1时取等号.
②当点F在DA上(不包含点D)时,易知DF=1-x,0≤x<1,
(i)当CE 利用余弦定理得y=. (ii)当CE≥DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=2x-1,∠EGF=120°, 利用余弦定理得y=, 由(i)、(ii)可得y=,0≤x<1, ∴y==, ∵0≤x<1,∴ymin=,当且仅当x=时取等号. 由①②可知当x=时,路EF的长度最短. 10.(xx江苏扬州中学期中,18)有一块三角形边角地,如图中△ABC,其中AB=8百米,AC=6百米,∠A=60°.某市为迎接250年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲,其中点E在边AB上,点F在边AC上.规划部门要求△AEF的面积占△ABC的面积的一半,设AE=x百米,△AEF的周长为l(百米). (1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF的三边安装水管,求水管总长度的最小值; (2)如果沿△AEF的三边修建休闲长廊,求长廊总长度的最大值,并确定此时E、F的位置. 解析 (1)∵S△AEF=S△ABC, ∴AE·AF·sinA=×AB·AC·sinA. ∵AB=8,AC=6,∴AF=. ∵∴4≤x≤8. ∵△AEF中,EF2=x2+-2x·cos60°=x2+-24, ∴l=x++,x∈[4,8]. ∵l=x++≥2+=6,当且仅当x=2时取“=”, ∴lmin=6. 故水管总长度的最小值为6百米. (2)由 (1)知: l=x++,x∈[4,8]. 令t=x+,x∈[4,8], ∴t'=1-==. 列表得: x (4,2) 2 (2,8) t' - 0 + t ↘ 极小值4 ↗ 且x=4时,t=10;x=8时,t=11,故t∈[4,11]. l=t+在[4,11]上单调递增, ∴当t=11时,lmax=18,此时x=8,=3. 故当点E在B处,点F是线段AC的中点时,长廊总长度的最大值为18百米. B组 xx模拟·提升题组 (满分: 60分 时间: 30分钟) 一、填空题(每小题5分,共45分) 1.(xx江苏姜堰中学高三期中)已知函数f(x)=x2-mx+1,x1,x2是f(x)的两个零点,且x1>x2,则的最小值为 . 答案 2 2.(xx江苏无锡高三期中)已知正项数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,对任意正整数m,n,当n>m时,Sn-Sm=2m·Sn-m总成立,若正整数p,q满足p+q=6,则+的最小值为 . 答案 3.(xx江苏淮安、宿迁期中)在锐角三角形ABC中,9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为 . 答案 25 4.(xx江苏泰州中学模拟,12)已知|AB|=3,C是线段AB上异于A,B的一点,△ADC,△BCE均为等边三角形,则△CDE的外接圆的半径的最小值是 . 答案 5.(xx江苏苏州暑期调研,14)已知a+b=2,b>0,当+取最小值时,实数a的值是 . 答案 -2 6.(xx江苏海头高级中学质检,13)已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则(其中a+c≠0)的取值范围为 . 答案 (-∞,-6]∪[6,+∞) 7.(苏教必5,三,3,变式)函数y=的最大值为 . 答案 8.(xx江苏苏北四市联考,11)若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为 . 答案 8 9.(xx江苏仪征中学第二学期期初检测,13)已知正数x,y满足=4xy,那么y的最大值为 . 答案 二、解答题(共15分) 10.(xx江苏宿迁三校调研,19)如图,公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3km,km.现要过点P修建一条公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,试确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小,并求最小面积. 解析 如图,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E,F,连结PA.设AB=x,AC=y,则x>0,y>0. 因为P到AM,AN的距离分别为3,, 所以PE=3,PF=. S△ABC=S△ABP+S△APC =×x×3+×y×=(3x+y).① 因为tanα=-2,所以sinα=. 所以S△ABC=×x×y×.② 由①②可得×x×y×=(3x+y). 即3x+5y=2xy.③ 因为3x+5y≥2, 所以2xy≥2. 解得xy≥15. 当且仅当3x=5y时取“=”,结合③解得x=5,y=3. 此时S△ABC=×x×y×取得最小值15. 答: 当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15km2. C组 xx模拟·方法题组 方法1 利用基本不等式求最值问题 1.(xx盐城第三次模拟考试,12)若a,b均为非负实数,且a+b=1,则+的最小值为 . 答案 3 2.(xx苏锡常镇四市高三教学情况调研 (二))已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则-+b2-的最小值为 . 答案 7 3.(xx江苏无锡期末,14)已知a>0,b>0,c>2,且a+b=2,则+-+的最小值为 . 答案 + 方法2 基本不等式的实际应用 4.(xx江苏三校联考,18)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为多少元? (2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革,并提高售价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问: 当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件售价. 解析 (1)设每件售价为t(t≥25)元,依题意得t≥25×8, 整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为40元. (2)依题意知,x>25,且ax≥25×8+50+(x2-600)+x, 等价于a≥+x+(x>25). 由于+x≥2=10,当且仅当=,即x=30时等号成立,所以a≥10.2. 当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件售价为30元. 5.(xx江苏南通中学检测,18)如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.设AN=x米. (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则x应在什么范围内? (2)当x是多少时,矩形AMPN的面积最小? 并求出最小面积; (3)若x≥6,则当x是多少时,矩形AMPN的面积最小? 并求出最小面积. 解析 (1)易知x>2,且ND=x-2,由题意得=, ∴=,∴AM=, ∴·x>32,∴3x2-32x+64>0,∴(3x-8)(x-8)>0, ∴2 (2)S矩形AMPN===3(x-2)++12≥2+12=24(当且仅当x=4时取等号). 故当x=4时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为24平方米. (3)S矩形AMPN=3(x-2)++12(x≥6),令x-2=t(t≥4),f(t)=3t++12, ∵f(t)=3t++12在[4,+∞)上递增,∴f(t)min=f(4)=27,此时x=6. 故当x=6时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为27平方米. 方法3 不等式恒成立问题 6.(xx江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+(a∈R),若当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a的取值范围是 . 答案 (-∞,2] 7.(xx江苏金陵中学高三月考)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是 . 答案 1≤t≤ 8.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 . 答案 (-∞,-5] 9.设0 答案 8
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- 高考 数学 一轮 复习 第七 不等式 72 线性规划 讲义
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