高中数学教案复数的概念.docx
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高中数学教案复数的概念.docx
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高中数学教案复数的概念
复数的概念
【第一课时】
数系的扩充和复数的概念
教学重难点
教学目标
核心素养
复数的有关概念
了解数系的扩充过程,理解复数的概念
数学抽象
复数的分类
理解复数的分类
数学抽象
复数相等
掌握复数相等的充要条件及其应用
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容,思考以下问题:
1.复数是如何定义的?
其表示方法又是什么?
2.复数分为哪两大类?
3.复数相等的条件是什么?
二、新知探究
探究点1:
复数的概念
下列命题:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的命题是( )
A.①B.②
C.③D.④
解析:
对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数.对于①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,即①错误;两个虚数不能比较大小,则②错误;对于③,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,则③错误;显然,④正确.故选D.
答案:
D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例:
判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
(2)化代数形式:
对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部.
提醒:
解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质.
探究点2:
复数的分类
当实数m为何值时,复数z=
+(m2-2m)i:
(1)为实数?
(2)为虚数?
(3)为纯虚数?
解:
(1)当
即m=2时,复数z是实数.
(2)当m2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
(3)当
即m=-3时,复数z是纯虚数.
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:
解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:
复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论:
设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数⇔b=0;
②z为虚数⇔b≠0;
③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.
探究点3:
复数相等
(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n=( )
A.4或0B.-4或0
C.2或0D.-2或0
(2)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________.
解析:
(1)由z1=z2,得n2-3m-1=-3且n2-m-6=-4,解得m=2,n=±2,所以m+n=4或0,故选A.
(2)因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
所以
即
解得x=-2.
【答案:
(1)A
(2)-2
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是:
分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解.
注意:
在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.
三、课堂总结
1.复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.
(2)复数集
全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.
(3)复数的表示方法
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
2.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.
3.复数的分类
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨
复数bi(b∈R)不一定是纯虚数,只有当b≠0时,复数bi(b∈R)才是纯虚数.
四、课堂检测
1.若复数z=ai2-bi(a,b∈R)是纯虚数,则一定有( )
A.b=0B.a=0且b≠0
C.a=0或b=0D.ab≠0
解析:
选B.z=ai2-bi=-a-bi,由纯虚数的定义可得a=0且b≠0.
2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为( )
A.-1B.2
C.1D.-1或2
解析:
选D.因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,
所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
3.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于____________.
解析:
因为z<0,所以
解得m=-3.
答案:
-3
4.已知
=(x2-2x-3)i(x∈R),则x=________.
解析:
因为x∈R,所以
∈R,
由复数相等的条件得
解得x=3.
答案:
3
【第二课时】
复数的几何意义
教学重难点
教学目标
核心素养
复平面
了解复平面的概念
数学抽象
复数的几何意义
理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象
复数的模
掌握复数的模的概念,会求复数的模
数学运算
共轭复数
掌握共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容,思考以下问题:
1.复平面是如何定义的?
2.复数与复平面内的点及向量的关系如何?
复数的模是实数还是虚数?
3.复数z=a+bi的共轭复数是什么?
二、新知探究
探究点1:
复数与复平面内的点
已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;
(2)在第三象限.
解:
(1)若z对应的点在实轴上,则有
2a-1=0,解得a=
.
(2)若z对应的点在第三象限,则有
解得-1 . 故a的取值范围是 . 互动探究: 变条件: 本例中复数z不变,若点Z在抛物线y2=4x上,求a的值. 解: 若z对应的点(a2-1,2a-1)在抛物线y2=4x上,则有(2a-1)2=4(a2-1),即4a2-4a+1=4a2-4,解得a= . 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系: 复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程: 此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 探究点2: 复数与复平面内的向量 在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数. 解: 法一: 由复数的几何意义得A(0,1),B(1,0),C(4,2),则AC的中点为 ,由平行四边形的性质知该点也是BD的中点,设D(x,y),则 所以 即点D的坐标为(3,3),所以点D对应的复数为3+3i. 法二: 由已知得 =(0,1), =(1,0), =(4,2), 所以 =(-1,1), =(3,2), 所以 = + =(2,3),所以 = + =(3,3), 即点D对应的复数为3+3i. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 探究点3: 复数的模 (1)设复数z1=a+2i,z2=-2+i且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( ) A.-11 C.a>1D.a>0 (2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的集合是( ) A.1个圆B.线段 C.2个点D.2个圆 解析: (1)由题意得 < ,即 <
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- 高中数学 教案 复数 概念