《初等数论》历年考试解答.docx
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《初等数论》历年考试解答
《初等数论》习题集
第1章
第1节
1.证明定理1.
2.证明:
若m-p∣mn+pq,则m-p∣mq+np.
3.证明:
任意给定地连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数地数字和能被11整除.b5E2R。
4.设p是n地最小素约数,n=pn1,n1>1,证明:
若p>
,则n1是素数.
5.证明:
存在无穷多个自然数n,使得n不能表示为
a2+p(a>0是整数,p为素数)
地形式.
第2节
1.证明:
12∣n4+2n3+11n2+10n,n∈Z.
2.设3∣a2+b2,证明:
3∣a且3∣b.
3.设n,k是正整数,证明:
nk与nk+4地个位数字相同.
4.证明:
对于任何整数n,m,等式n2+(n+1)2=m2+2不可能成立.
5.设a是自然数,问a4-3a2+9是素数还是合数?
6.证明:
对于任意给定地n个整数,必可以从中找出若干个作和,使得这个和能被n整除.
第3节
1.证明定理1中地结论(ⅰ)—(ⅳ).
2.证明定理2地推论1,推论2和推论3.
3.证明定理4地推论1和推论3.
4.设x,y∈Z,17∣2x+3y,证明:
17∣9x+5y.
5.设a,b,c∈N,c无平方因子,a2∣b2c,证明:
a∣b.
6.设n是正整数,求
地最大公约数.
第4节
1.证明定理1.
2.证明定理3地推论.
3.设a,b是正整数,证明:
(a+b)[a,b]=a[b,a+b].
4.求正整数a,b,使得a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144.
5.设a,b,c是正整数,证明:
.
6.设k是正奇数,证明:
1+2++9∣1k+2k++9k.
第5节
1.说明例1证明中所用到地四个事实地依据.
2.用辗转相除法求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162).
3.计算:
(27090,21672,11352).
4.使用引理1中地记号,证明:
(Fn+1,Fn)=1.
5.若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1地整数除所得地余数相同,且不等于零,求除数和余数各是多少?
p1Ean。
6.记Mn=2n-1,证明:
对于正整数a,b,有(Ma,Mb)=M(a,b).
第6节
1.证明定理1地推论1.
2.证明定理1地推论2.
3.写出22345680地标准分解式.
4.证明:
在1,2,,2n中任取n+1数,其中至少有一个能被另一个整除.
5.证明:
(n≥2)不是整数.
6.设a,b是正整数,证明:
存在a1,a2,b1,b2,使得
a=a1a2,b=b1b2,(a2,b2)=1,
并且[a,b]=a2b2.
第7节
1.证明定理1.
2.求使12347!
被35k整除地最大地k值.
3.设n是正整数,x是实数,证明:
=n.
4.设n是正整数,求方程
x2-[x2]=(x-[x])2
在[1,n]中地解地个数.
5.证明:
方程
f(x)=[x]+[2x]+[22x]+[23x]+[24x]+[25x]=12345DXDiT。
没有实数解.
6.证明:
在n!
地标准分解式中,2地指数h=n-k,其中k是n地二进制表示地位数码之和.
第8节
1.证明:
若2n+1是素数,则n是2地乘幂.
2.证明:
若2n-1是素数,则n是素数.
3.证明:
形如6n+5地素数有无限多个.
4.设d是正整数,6
d,证明:
在以d为公差地等差数列中,连续三项都是素数地情况最多发生一次.
5.证明:
对于任意给定地正整数n,必存在连续地n个自然数,使得它们都是合数.
6.证明:
级数
发散,此处使用了定理1注2中地记号.
第2章
第1节
1.证明定理1和定理2.
2.证明定理4.
3.证明定理5中地结论(ⅰ)—(ⅳ).
4.求81234被13除地余数.
5.设f(x)是整系数多项式,并且f
(1),f
(2),,f(m)都不能被m整除,则f(x)=0没有整数解.RTCrp。
6.已知99∣
,求α与β.
第2节
1.证明定理1.
2.证明:
若2p+1是奇素数,则
(p!
)2+(-1)p≡0(mod2p+1).
3.证明:
若p是奇素数,N=1+2++(p-1),则
(p-1)!
≡p-1(modN).
4.证明Wilson定理地逆定理:
若n>1,并且
(n-1)!
≡-1(modn),
则n是素数.
5.设m是整数,4∣m,{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}是模m地两个完全剩余系,证明:
{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m地完全剩余系.5PCzV。
6.设m1,m2,,mn是两两互素地正整数,δi(1≤i≤n)是整数,并且
δi≡1(modmi),1≤i≤n,
δi≡0(modmj),i≠j,1≤i,j≤n.
证明:
当bi通过模mi(1≤i≤n)地完全剩余系时,
b1δ1+b2δ2++bnδn
通过模m=m1m2mn地完全剩余系.
第3节
1.证明定理1.
2.设m1,m2,,mn是两两互素地正整数,xi分别通过模mi地简化剩余系(1≤i≤n),m=m1m2mn,Mi=
,则jLBHr。
M1x1+M2x2++Mnxn
通过模m地简化剩余系.
3.设m>1,(a,m)=1,x1,x2,⋯,xϕ(m)是模m地简化剩余系,证明:
.
其中{x}表示x地小数部分.
4.设m与n是正整数,证明:
ϕ(mn)ϕ((m,n))=(m,n)ϕ(m)ϕ(n).
5.设a,b是任意给定地正整数,证明:
存在无穷多对正整数m与n,使得
aϕ(m)=bϕ(n).
6.设n是正整数,证明:
(ⅰ)ϕ(n)>
;
(ⅱ)若n是合数,则ϕ(n)≤n-
.
第4节
1.证明:
1978103-19783能被103整除.
2.求313159被7除地余数.
3.证明:
对于任意地整数a,(a,561)=1,都有a560≡1(mod561),但561是合数.xHAQX。
4.设p,q是两个不同地素数,证明:
pq-1+qp-1≡1(modpq).
5.将612-1分解成素因数之积.
6.设n∈N,b∈N,对于bn+1地素因数,你有甚麽与例6相似地结论?
第5节
1.证明例2中地结论.
2.证明定理2.
3.求
.
4.设f(n)是积性函数,证明:
(ⅰ)
(ⅱ)
.
5.求ϕ(n)地Mobius变换.
第3章
第1节
1.证明定理3.
2.写出789地二进制表示和五进制表示.
3.求
地小数地循环节.
4.证明:
七进制表示地整数是偶数地充要条件是它地各位数字之和为偶数.
5.证明:
既约正分数
地b进制小数(0.a-1a-2a-3)b为有限小数地充要条件是n地每个素因数都是b地素因数.LDAYt。
第2节
1.设连分数〈α1,α2,,αn,〉地第k个渐近分数为
,证明:
,
2.设连分数〈α1,α2,,αn,〉地第k个渐近分数为
,证明:
,k≥2.
3.求连分数〈1,2,3,4,5,〉地前三个渐近分数.
4.求连分数〈2,3,2,3,〉地值.
5.解不定方程:
7x-9y=4.
第3节
1.证明定理4.
2.求
地连分数.
3.求
地误差≤10-5地有理逼近.
4.求sin18︒地误差≤10-5地有理逼近.
5.已知圆周率π=〈3,7,15,1,292,1,1,1,21,〉,求π地误差
≤10-6地有理逼近.
6.证明:
连分数展开地第k个渐近分数为
.此处{Fn}是Fibonacci数列.
第4节
1.将方程3x2+2x-2=0地正根写成连分数.
2.求α=〈
〉之值.
3.设a是正整数,求
地连分数.
4.设无理数
=〈a1,a2,,an,〉地第k个渐近分数为
,证明:
地充要条件是
pn=a1qn+qn-1,dqn=a1pn+pn-1.
5.设无理数
=〈a1,a2,,an,〉地第k个渐近分数为
,且正整数n使得
pn=a1qn+qn-1,dqn=a1pn+pn-1,
证明:
(ⅰ)当n为偶数时,pn,qn是不定方程x2-dy2=1地解;
(ⅱ)当n为奇数时,p2n,q2n是不定方程x2-dy2=1地解.
第4章
第1节
1.将
写成三个既约分数之和,它们地分母分别是3,5和7.
2.求方程x1+2x2+3x3=41地所有正整数解.
3.求解不定方程组:
.
4.甲班有学生7人,乙班有学生11人,现有100支铅笔分给这两个班,要使甲班地学生分到相同数量地铅笔,乙班学生也分到相同数量地铅笔,问应怎样分法?
Zzz6Z。
5.证明:
二元一次不定方程ax+by=n,a>0,b>0,(a,b)=1地非负整数解地个数为
+1.dvzfv。
6.设a与b是正整数,(a,b)=1,证明:
1,2,,ab-a-b中恰有
个整数可以表示成ax+by(x≥0,y≥0)地形式.rqyn1。
第2节
1.证明定理2推论.
2.设x,y,z是勾股数,x是素数,证明:
2z-1,2(x+y+1)都是平方数.
3.求整数x,y,z,x>y>z,使x-y,x-z,y-z都是平方数.
4.解不定方程:
x2+3y2=z2,x>0,y>0,z>0,(x,y)=1.Emxvx。
5.证明下面地不定方程没有满足xyz≠0地整数解.
(ⅰ)x2+y2+z2=x2y2;
(ⅱ)x2+y2+z2=2xyz.
6.求方程x2+y2=z4地满足(x,y)=1,2∣x地正整数解.
第3节
1.求方程x2+xy-6=0地整数解.
2.求方程组
地整数解.
3.求方程2x-3y=1地正整数解.
4.求方程
地正整数解.
5.设p是素数,求方程
地整数解.
6.设2n+1个有理数a1,a2,,a2n+1满足条件P:
其中任意2n个数可以分成两组,每组n个数,两组数地和相等,证明:
SixE2。
a1=a1==a2n+1.
第5章
第1节
1.证明定理1.
2.解同余方程:
(ⅰ)31x≡5(mod17);
(ⅱ)3215x≡160(mod235).
3.解同余方程组:
.
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