山东省高考文科数学真题及答案解析.docx
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山东省高考文科数学真题及答案解析
2017年山东省高考数学试卷(文科)
一、选择题:
本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设集合M={x||x—1|V1},N={x|xv2},贝UMnN=()
A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)
2.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,贝Uz2=()
A.—2iB.2iC.-2D.2
3.(5分)已知x,y满足约束条件'x+3>0则z=x+2y的最大值是()
A.—3B.-1C.1D.3
4.(5分)已知cosx=',则cos2x=()
4
A.—'B.一C.—'D.]
44S8
5.(5分)已知命题p:
?
x€R,x2—x+1>0.命题q:
若a2vb2,贝Uavb,下
列命题为真命题的是()
A.pAqB.pA^qC.「pAqD.「pq
6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为()
丽
JF/输入X/
1
是
1
F
y-log^c
y=x+2
I结莉
A.x>3B.x>4C.x<4D.x<5
7.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为()
A.二B.二C.nD.2n
23
8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:
件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为
()
乙组
6
5
9
2
5
6
11y
X
斗
7
S
A.
3,
5
B.5,5
9.
(5分)
设f(x)=
A.
2
B.
4C.6
10.
(5
分)
若函数exf
D.8
C.3,7D.5,7
0 -1), 若f(a)=f(a+1),则f(丄)=() (x)(e=2.71828•是自然对数的底数)在f(x)的定义域 上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是() A.f(x)=/B.f(x)=xC.f(x)=3xD.f(x)=cosx 二、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.(5分)已知向量: =(2,6),b=(-1,",若,贝U入. 12.(5分)若直线于p=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 13.(5分)由一个长方体和两个1圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几 14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x €[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=. 22 15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线」--=1(a>0,b>0)的右支 a2b2 与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF+|BF=4|OF,则该双曲线的渐近线方程为. 三、解答题 16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家Ai,A2,A3和3个欧洲国家Bi,B2,B3中选择2个国家去旅游. (I)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (U)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 17.(12分)在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,…*'=-6,S\abc=3,求A和a. 18.(12分)由四棱柱ABCDHA1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E丄平面ABCD (I)证明: AQ//平面BiCD; (U)设M是OD的中点,证明: 平面A1EM丄平面BCDi. 19.(12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列{an}通项公式; (2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知5n+1=bnbn+1,求数列 I―—■的前n项和Tn. 20.(13分)已知函数f(x)WfX3-*ax2,a€R, (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 22 21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: 丨-「=1(a>b>0)的a2b2 离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2匚. (I)求椭圆C的方程; (U)动直线I: y=kx+m(mH0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与。 N分别相切于点E,F,求/EDF的最小值. 2017年山东省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题: 本题共10小题,每小题5分,共50分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5分)(2017? 山东)设集合M={x||x—1|V1},N={x|xv2},则MnN=() A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2) 【分析】解不等式求出集合M,结合集合的交集运算定义,可得答案. 【解答】解: 集合M={刈x-1|V1}=(0,2), N={x|xv2}=(-X,2), •••MnN=(0,2), 故选: C. 2.(5分)(2017? 山东)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=() A.-2iB.2iC.-2D.2 【分析】根据已知,求出z值,进而可得答案. 【解答】解: •••复数z满足zi=1+i, 二z==1-i, i •••£=-2i, 故选: A. 3.(5分)(2017? 山东)已知x,y满足约束条件'x+3>0则z=x+2y的最大值 是() A.-3B.-1C.1D.3 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可. x^2y+5=C0 【解答】解: x,y满足约束条件"时3^0的可行域如图: 目标函数z=x+2y经 Ly<2 第5页(共18页) 过可行域的A时,目标函数取得最大值, 由: 严解得A(-1,2), x-2y+5=0 目标函数的最大值为: -1+2X2=3. 故选: D. 4.(5分)(2017? 山东)已知cosx==,贝Ucos2x=( 4 A.-■B.C.-D. 4488 【分析】利用倍角公式即可得出. 【解答】解: : cosx=: ,则cos2x=2XI一'-仁补故选: D. 5.(5分)(2017? 山东)已知命题p: ? x€R,x2-x+1>0.命题q: 若a2vb2,则avb,下列命题为真命题的是() A.pAqB.pA^qC.「pAqD.「pq 【分析】先判断命题p,q的真假,进而根据复合命题真假的真值表,可得答案. 【解答】解: 命题p: ? x=0€R,使x2-x+1>0成立. 故命题p为真命题; 当a=1,b=-2时,a2vb2成立,但avb不成立, 故命题q为假命题, 故命题pAq,「pAq,「pA「q均为假命题; 命题pA「q为真命题, 故选: B. 6.(5分)(2017? 山东)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为() x<4D.x<5 【分析】方法一: 由题意可知: 输出y=2,则由y=log2x输出,需要x>4,则判断框中的条件是x>4, 方法二: 采用排除法,分别进行模拟运算,即可求得答案. 【解答】解: 方法一: 当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出,需要x>4, 故选B. 方法二: 若空白判断框中的条件x>3,输入x=4,满足4>3,输出y=4+2=6,不满足,故A错误, 若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2,故B正确; 若空白判断框中的条件x<4,输入x=4,满足4=4,满足x<4,输出y=4+2=6,不满足,故C错误, 若空白判断框中的条件x<5,输入x=4,满足4W5,满足x<5,输出y=4+2=6,不满足,故D错误, 故选B. 7.(5分)(2017? 山东)函数y==sin2x+cos2x的最小正周期为() 71271 A.—B.C.nD.2n 23 CD值,可得函数的周 【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,进而根据期. 【解答】解: •••函数y=二sin2x+cos2x=2sin(2x+), 6 •/3=2 二T=n, 故选: C 8.(5分)(2017? 山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位: 件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为() 甲组 乙组 6 5 9 25 6 17> x4 1 S A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7 【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,可得x,y的 值. 【解答】解: 由已知中甲组数据的中位数为65, 故乙组数据的中位数也为65, 即y=5, 则乙组数据的平均数为: 66, 故x=3, 若f(a)=f(a+1),则f 故选: A. 9.(5分)(2017? 山东)设f(x) =() A.2B.4C.6D.8 【分析】利用已知条件,求出a的值,然后求解所求的表达式的值即可. 【解答】解: 当a€(0,1)时,f(x),若f(a)=f(a+1), 可得-i=2a, 解得a」,则: f(丄)=f(4)=2(4-1)=6. 4a 可得2(a-1)=2a,显然无解. 故选: C. 10.(5分)(2017? 山东)若函数exf(x)(e=2.71828•是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是() A.f(x)=2B.f(x)=xC.f(x)=3xD.f(x)=cosx 【分析】根据已知中函数f(x)具有M性质的定义,可得f(x)=2x时,满足定义. 【解答】解: 当f(x)=公时,函数exf(x)=(2e)x在R上单调递增,函数f(x)具有M性质, 故选: A 、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.(5分)(2017? 山东)已知向量;=(2,6),b=(-1,若,贝U入二 -3. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解: t6-2入=0解得入=3. 故答案为: -3. 12.(5分)(2017? 山东)若直线寸p=1(a>0,b>0)过点(1,2),贝U2a+b 的最小值为_8 【分析】将(1,2)代入直线方程,求得■+=1,利用“1代换,根据基本不等 ab 式的性质,即可求得2a+b的最小值. 【解答】解: 直线互』=1(a>0,b>0)过点(1,2),贝』^-=1, abab 由2a+b=(2a+b)x(丄)=2+: 一+丨’+2=4+」+>4+2'--=4+4=8, abbabavba 当且仅当二2」,即a=,b=1时,取等号, ba2 2a+b的最小值为8, 故答案为: 8. 13.(5分)(2017? 山东)由一个长方体和两个1圆柱体构成的几何体的三视图 俯视團 【分析】由三视图可知: 长方体长为2,宽为1,咼为1,圆柱的底面半径为1,高为1圆柱的1,根据长方体及圆柱的体积公式,即可求得几何体的体积. 【解答】解: 由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V1=2X1X仁2,圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2」XnX12X仁…, 44 则该几何体的体积V=V1+2V1=2+L, 2 故答案为: 2+丁. 14.(5分)(2017? 山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x -2).若当x€[-3,0]时,f(x)=6「x,则f(919)=6. 【分析】由题意可知: (x+6)=f(x),函数的周期性可知: f(x)周期为6,则f (919)=f(153X6+1)=f (1),由f(x)为偶函数,则f (1)=f(-1),即可求得答案. 【解答】解: 由f(x+4)=f(x-2).则f(x+6)=f(x), •••f(x)为周期为6的周期函数, f(919)=f(153X6+1)=f (1), 由f(x)是定义在R上的偶函数,贝Uf (1)=f(-1), 当x€[-3,0]时,f(x)=6-x, f(-1)=6(1? =6, •••f(919)=6, 故答案为: 6. 2„2 15.(5分)(2017? 山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线」=1(a>0, a2b2 b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若 |AF+|BF=4|0F|,则该双曲线的渐近线方程为y=±哼x. 22 【分析】把x2=2py(p>0)代入双曲线耳」$=1(a>0,b>0),可得: a2y2-2I2 ab 2pb2y+a2b2=0,禾U用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出. 22 【解答】解: 把x2=2py(p>0)代入双曲线’=1(a>0,b>0), a2b2 可得: a2y2-2pb2y+a2b2=0, •-沖b: •••|AF+|BF=41OF,二yA+yB+2x专=4X号, =p, 故答案为: y=±Jx. •••该双曲线的渐近线方程为: y=±r 2 三、解答题 16.(12分)(2017? 山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家Ai,A2,A3和3个欧洲国家Bi,B2,B3中选择2个国家去旅游. (I)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (U)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括Ai但不包括Bi的概率. 【分析】(I)从这6个国家中任选2个,基本事件总数n=-=15,这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数由此能求出这2个国家都是亚洲国 家的概率. (U)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,利用列举法能求出这2个国家包括几但不包括B1的概率. 【解答】解: (I)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游. 从这6个国家中任选2个,基本事件总数n=「=15, 这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=一, J1 •••这2个国家都是亚洲国家的概率PJ=二」. n155 (n)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,包含的基本事件个数为9个,分别 为: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2), (A,B3),(A,B1),(A3,B2),(A3,B3), 这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有: (A1,B),(A1,B3),共2个, •••这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=. 17.(12分)(2017? 山东)在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 知b=3,■■: '=-6,Smbc=3,求A和a. 【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=-1,求出A和c的 值,再根据余弦定理即可求出a. 【解答】解: 由■■: '=-6可得bccosA=-6,①, 由三角形的面积公式可得“y.bcsinAp② •••tanA=-1,•••OvAv180°, •A=135, 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=98+12=29 18.(12分)(2017? 山东)由四棱柱ABCD-AiBiGDi截去三棱锥Ci-BCD后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,0为AC与BD的交点,E为AD的中点,AE丄平面ABCD (I)证明: AQ//平面BiCDi; (U)设M是0D的中点,证明: 平面A1EM丄平面B1CD1. 【分析】(I)取B1D1中点G,连结A1G、CQ推导出A1G10C,从而四边形OCGA是平行四边形,进而A1O//CG由此能证明AO//平面B1CD. (U)推导出BD丄A1E,A0丄BD,EM丄BD,从而BD丄平面A1EM,再由BD//B1D1,得B1D1丄平面AEM,由此能证明平面A1EM丄平面B1CD1. 【解答】证明: (I)取B1D1中点G,连结A1G、CG, •••四边形ABCD为正方形,0为AC与BD的交点, •••四棱柱ABC—A1B1C1D1截去三棱锥Ci-B1CD1后,AiGIOC, •••四边形OCGA是平行四边形,二AiO//CG, •••AiO? 平面BiCDi,CG? 平面BiCDi, •••AiO//平面BiCDi. (U)四棱柱ABCD-AiBiCiDi截去三棱锥C-BiCDi后,BD'BiDi, •••M是OD的中点,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,AiE±平面ABCD, 又BD? 平面ABCD,二BD丄AiE, •••四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点, •••AO丄BD, •••M是OD的中点,E为AD的中点,二EM丄BD, •••AiEnEM=E•••BD丄平面AiEM, •••BD//BiDi,二BiDi丄平面AiEM, •••BiDi? 平面BiCDi, •••平面AiEM丄平面BiCDi. i9.(i2分)(20i7? 山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且ai+a2=6,aia2=a3. (1)求数列{an}通项公式; (2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知Qn+i=bnbn+i,求数列 I( ! 的前n项和Tn. 【分析】(i)通过首项和公比,联立ai+a2=6、aia2=a3,可求出ai=q=2,进而利 用等比数列的通项公式可得结论; (2)利用等差数列的性质可知3n+i=(2n+i)bn+i,结合S2n+i=bnbn+i可知bn=2n+i, 进而可知;亠,利用错位相减法计算即得结论. 【解答】解: (1)记正项等比数列{外}的公比为q,因为a计a2=6,aia2=a3,所以(1+q)ai=6,q|.j=q? ai, 解得: ai=q=2, 所以an=2n; (2)因为{bn}为各项非零的等差数列,所以S2n+1=(2n+1)bn+1, 又因为S2n+1=bnbn+1, (2n+1) 即&=3+1+;[[+••+])-(如+1) =5-: ' 2n 20(13分)(2017? 山东)已知函数f(X)寻气aX,吐R, (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【分析】 (1)根据导数的几何意义即可求出曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程, (2)先求导,再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值 【解答】解: (1)当a=2时,f(x)=-x3-x, 3 •••f'(x)=x2-2x, •••k=f(3)=9-6=3,f(3)=】x27-9=0, •曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y=3(x-3),即3x-y-9=0 (2)函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx=x-ax+(x-a)cosx-sinx, •g'(x)rx2-ax+cosx-(x-a)sinx-cosx=*-ax+(x-a)sinx=(x-a)(x+sinx),令g(x)=0,解得x=a,或x=0, 当xv0时,x+sinxv0,当x>0,x+sinx》0, 1若a>0时,当xv0时,g(x)>0恒成立,故g(乂)在(-x,0)上单调递增, 当x>a时,g'(x)>0恒成立,故g(乂)在(a,+x)上单调递增, 当0vxva时,g((x)v0恒成立,故g(乂)在(0,a)上单调递减, •••当x=a时,函数有极小值,极小值为g(a)=-一a3-sina 6 当x=0时,有极大值,极大值为g(0)=-a, 2若av0时,当x>0时,g'(x)>0恒成立,故g(乂)在(-x,0)上单调递增, 当xva时,g'(x)>0恒成立,故g(乂)在(-x,a)上单调递增, 当avxv0时,g((x)v0恒成立,故g(乂)在(a,0)上单调递减, •••当x=a时,函数有极大值,极大值为g(a)=-丄a3-sina 6 当x=0时,有极小值,极小值为g(0)=-a 3当a=0时,g((x)=x(x+sinx), 当x>0时,g((x)>0恒成立,故g(乂)在(0,+x)上单调递增, 当xv0时,g((x)>0恒成立,故g(乂)在(-x,0)上单调递增, •g(x)在R上单调递增,无极值. (a>b>0)的离心率为J,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2", (I)求椭圆C的方程; (U)动直线I: y=kx+m(mH0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与。 N分别相切于点E,F,求/EDF的最小值. x A 【分析】(I)首先根据题中信息可得椭圆C过点(V2,1),然后结合
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