求动点的轨迹方程方法例题习题答案.docx
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求动点的轨迹方程方法例题习题答案
求动点的轨迹方程(例题,习题与答案)
在中学数学教学和高考数学考试中,求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于:
求轨迹方程时,题目中没有直接告知轨迹的形状类型;而求曲线的方程时,题目中明确告知动点轨迹的形状类型)。
求动点轨迹方程的常用方法有:
直接法、定义法、相关点法、参数法与
交轨法等;求曲线的方程常用“待定系数法”
求动点轨迹的常用方法
动点P的轨迹方程是指点P的坐标(X,y)满足的关系式。
1.直接法
(1)依题意,列出动点满足的几何等量关系;
(2)将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:
x2+y2=1,动点M到圆C的切线长等与MQ求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
解:
设动点M(x,y),直线MN切圆C于NO
22
依题意:
MQ=IMN,即MQl=MN
而MNl=Mo—NO,所以
22
MQ=IMO-1
2222
(x-2)+y=X+y-1
化简得:
X=5。
动点M的轨迹是一条直线。
2.定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件,由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。
依题意求出曲线的相关参数,进一步写出轨迹方程。
例题:
动圆M过定点P(-4,0),且与圆C:
X2+y2—8χ=0相切,求动圆圆心M的轨迹方程。
解:
设M(x,y),动圆M的半径为r。
若圆M与圆C相外切,则有∣MCI=r+4
若圆M与圆C相内切,则有∣MC∣=r-4
而∣MP∣=r,所以
∣MCl-∣MP∣=±4
动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。
其中a=2,
C=4。
动点的轨迹方程为:
22
412
3.相关点法
若动点P(X,y)随已知曲线上的点Q(χ0,y0)的变动而变动,且χ0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程。
这种方法称为相关点法。
例题:
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C:
(x1)2y^4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
解:
设M(x,y),A(XaVb),依题意有:
4XA3yA
X=,y=
22
则:
Xa=2x-4,yA=2y-3,因为点A(XaVb)在圆C:
(x1)2y^4上,所以(2x-4)2(2y-3)2=4
(x_2)2+(y-舟)2=1
动点M的轨迹为以(2,3)为圆心,1为半径的圆。
4.参数法
例题:
已知定点A(-3,0),M、N分别为X轴、y轴上的动点(M、N不重合),且AN丄MN点P在直线MN上,NP=3MP。
求动点P的轨迹C的方程。
点M的轨迹方程为:
解:
设N(O,t),P(x,y)
3
2(x-3),y-t=2y,则
X=St2
由NP=2MP,
y=-2t
所以动点P的轨迹方程为:
y2=4x
5.交轨法
例题:
如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E,F,G,H分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设
OP=∙OF,CQ=CFC-0)。
求直线EP与GQ的交点M的轨迹-的方程。
X£X
则直线EP的方程为y2,直线GQ的方程为y2,
2人2
y+2=y-2=-
22
两式相乘,消去■即得M的轨迹-的方程为-Z=I(XH0)
164
练习与答案
....22..
1.设圆C与圆X+(y.3)=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为A
A•抛物线B•双曲线C.椭圆D.圆
2222
2.已知圆Mi:
(x,4)y=25,圆M2:
(x-4)y=1,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。
2
(x>0)
y
12
22
3.过点A(4,0)作圆O:
X+y=4的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。
22
(x-2)+y=4(0≤x<1)
2O
4.已知圆C:
(X—3)+(y-4)=1,动点P是圆外一点,过P作圆C的切线,切点为M,且丨PMl=IPol(O为坐标原点)。
求动点P的轨迹方程。
222
提示:
|POl=IPMl=PC-1
3x+4y-12=0
5.已知圆G:
(x-4)y=1,圆C2:
X∙(y-2)=1,动点P到圆G,C?
上点的距离的最
小值相等
.求点P的轨迹方程。
解:
动点
P到圆C1的最短距离为I
PC1I-1,
动点
P到圆C2的最短距离为I
PC2I-1,
依题意有:
IPC1|-1=IPC2|-1,
即
IPC11=IPC2I
所以动点
P的轨迹为线段C1C2的中垂线。
所以动点P的轨迹方程为
2x+y-5=0
2
X2
6.已知双曲线一—y=1的左、右顶点分别为AhA,点P(X1,y2),Q(花,一丫2)
2
是双曲线上不同的两个动点。
求直线AP与A2Q交点的轨迹E的方程。
解:
由a,A为双曲线的左右顶点知,A(T2,0),AC.2,0),
_2
AP:
y=—(x+T2),A2Q:
y=~y^(^√2),两式相乘y2=^y-(χ2-2),
x1+√2x1-√2X1-2
2=1
”2),
22
因为点P(X1,yI)在双曲线上,所以XPz,即x∕12
2
所以2十y2=1,即直线AP与A2Q交点的轨迹E的方程为
_2_
7.已知曲线C:
y=X与直线丨:
X-y■2=0交于两点A(Xa,『a)和B(XB,Yb),且XAAXB•记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D•设点P(s,t)是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的
(一丄
5
:
:
:
X:
:
4
中点M的轨迹方程。
215
解:
(1)联立y=x与讨*2得XA=-1,Xb=2,则AB中点Q(2,2),设线段PQ的中
22______
8.已知点C(1,0),点A、B是ΘO:
X+y=9上任意两个不同的点,且满足AC∙BC=0,
设P为弦AB的中点。
求点P的轨迹T的方程。
解:
连结CP,由ACBC=O,知AC丄BC
∙∣CP∣=∣AP∣=∣BP∣=-|AB|,由垂径定理知∣OP∣2∣AP∣2=∣OA∣2
2
即|OPfICP^9
设点P(X,y),有(X2+y2)+[(x")2+y2]=9化简,得到χ2—X∙y2=4。
2
9.设椭圆X2-1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B,O为坐标原点,点P满足
4
OP=I(OA∙OB),当丨绕着M旋转时,求动点P的轨迹方程。
2
解:
直线l过点M(0,1),设其斜率为k,则直线l的方程为y=kxT,
记AW,%),B(X2,y2),由题设可得点A、B的坐标(X1,y1)(X2,y2)
y=kx+1
是方程组」2y2的解,其方程组中消取y得(4+k2)χ2+2kx_3=O
x+——=1
I4
4k2
消去参数k得:
4χ2■y2-y=0
当斜率k不存在时,AB的中为原点(0,0)也满足上述方程,
故:
动点P的轨迹方程为4χ2∙y2_y=0。
10.设圆C与两圆(x∙∙∙.5)2y2=4,(x-、、5)2∙y2=4中的一个内切,另一个外切。
求圆C
的圆心轨迹L的方程。
解:
两圆半径都为2,设圆C的半径为R两圆心为F1(-'∙.5,0)、F2G5,0),
由题意得R=∣CF1|-2=∣CF2|2或R=ICF2|-2=ICFIl2,
•∣∣CF1∣-∣CF2∣∣=425=∣F1F2∣,
22
可知圆心C的轨迹是以%F2为焦点的双曲线,设方程为笃生=1,贝U
ab
2
2a=4,a=2,c=■5,b2=C2-a2=1,b=1,所以轨迹L的方程为一-y2=1.
4
11.如图所示,已知P(4,0)是圆X2∙y2=36内的一点。
A、B是圆上两动点,且满足
解:
设R(x,y),
依题意,有
=36,而IRAI=IRPI,所以
IORI2+IRAl
IORI2+IRPI2=36,即
2222
Xy(x-4)y=36
化简得:
(x-2)2∙y2=14
设Q(X,Y),因为R(x,y)是QP的中点,所以有
4+xY故
X=,y=,故
22
-2)2(Y)2=14
2
化简得:
X2∙γ2=56
M是线段OP
的轨迹E的方
12.在平面直角坐标系XOy中,直线丨:
X--2交X轴于点A,设P是丨上一点,的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP。
当点P在丨上运动时,求点M程。
解:
如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,
•MPQ=∕A0P,MP_1,且IMoi=IMP因此Xy=ix21,即y2=4(x1)(x_-1).①
I=J1=-2
图1图2
另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。
MQ为线段OP的垂直平分线,
MPQMOQ.
又MPQ=AOPrMOQ=AOP.
因此M在X轴上,此时,记M的坐标为(x,0).
为分析M(x,O)中X的变化范围,设P(-2,a)为丨上任意点(a∙R).由IMOFlMP|
(即Ix∣f(x•2)2■a2)得,
12
X=Ta1.
4
故M(x,0)的轨迹方程为
综合①和②得,点M轨迹E的方程为
24(x1),x--1,
y
J0,x<-1.
2
点A的坐标为(1,0),B是圆X2y2=1上的点,
y
13.点M是椭圆X1上的动点。
如图,
4
N是点M在X轴上的射影,点Q满足条件:
OQ=OMON,QABA=O,求线段QB的中点P的轨迹方程;
解:
设M(χm,yfm),B(XbVb)
Q(XQIyQ)因为N(xn,0),OMON=OQ,故
XQ=2xN,yyM,
XQyQ=(2xm)2yy=4①
因为QABA=0,
(1-xQ-yQ)(1-Xn-yn)
=(1-Xq)(1-Xn)YqYn=0,
所以XqXn'YqY^XnXq-1.②
记P点的坐标为(xp,yp),因为P是BQ的中点,所以2xp=XQ-xp,2y^yQyP
由因为XN-yN=1,结合①,②得
2212212222
XPyP((XQ■XN)(YqYn))W(XQXNyQyn2(XQXNYqYn))
44
13
(52(XqXN-1))XP
44
故动点P的轨迹方程为(X-1)2y^1。
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