数学知识点苏教版选修12高中数学212《演绎推理》word学案总结.docx
- 文档编号:27399334
- 上传时间:2023-06-30
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:142.30KB
数学知识点苏教版选修12高中数学212《演绎推理》word学案总结.docx
《数学知识点苏教版选修12高中数学212《演绎推理》word学案总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学知识点苏教版选修12高中数学212《演绎推理》word学案总结.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学知识点苏教版选修12高中数学212《演绎推理》word学案总结
2.1.2 演绎推理
[学习目标] 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
[知识链接]
1.演绎推理的结论一定正确吗?
答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论就一定正确.
2.如何分清大前提、小前提和结论?
答 在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断,这与平时我们解答问题中的思考是一样的,即先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义.例如,平行四边形对角线互相平分,这是一般情况;矩形是平行四边形,这是特例;矩形对角线互相平分,这是特例具有一般意义.
3.演绎推理一般是怎样的模式?
答 “三段论”是演绎推理的一般模式,它包括:
(1)大前提——已知的一般原理;
(2)小前提——所研究的特殊情况;
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
[预习导引]
1.演绎推理
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法,通常称为演绎推理.
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.三段论是演绎推理的主要形式.
2.三段论
(1)三段论的组成
①大前提——提供了一个一般性的原理.
②小前提——指出了一个特殊对象.
③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系.
(2)三段论的常用格式为
M-P(M是P) S-M(S是M) S-P(S是P)
要点一 用三段论的形式表示演绎推理
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾;
(2)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除;
(3)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数.
解
(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃,小前提
水会沸腾.结论
(2)一切奇数都不能被2整除,大前提
2100+1是奇数,小前提
2100+1不能被2整除.结论
(3)三角函数都是周期函数,大前提
y=tanα是三角函数,小前提
y=tanα是周期函数.结论
规律方法 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.一般可省略大前提,有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
跟踪演练1 试将下列演绎推理写成三段论的形式:
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行;
(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;
(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;
(4)等差数列的通项公式具有形式an=pn+q(p,q是常数),数列1,2,3,…,n是等差数列,所以数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q的形式.
解
(1)大前提:
太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;
小前提:
海王星是太阳系里的大行星;
结论:
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.
(2)大前提:
所有导体通电时发热;
小前提:
铁是导体;
结论:
铁通电时发热.
(3)大前提:
一次函数都是单调函数;
小前提:
函数y=2x-1是一次函数;
结论:
y=2x-1是单调函数.
(4)大前提:
等差数列的通项公式具有形式an=pn+q;
小前提:
数列1,2,3,…,n是等差数列;
结论:
数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q的形式.
要点二 演绎推理的应用
例2 正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D、E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.
(1)求证:
A1B⊥AD;
(2)求证:
EC∥平面AB1D.
证明
(1)连结BD.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,
∴A1ABB1为正方形,
∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点,
∴△A1C1D≌△BCD,∴A1D=BD,∵G为A1B的中点,
∴A1B⊥DG,
又∵DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D.
又∵AD⊂平面AB1D,∴A1B⊥AD.
(2)连结GE,∵EG∥A1A,∴GE⊥平面ABC.
∵DC⊥平面ABC,∴GE∥DC,
∵GE=DC=
a,∴四边形GECD为平行四边形,
∴EC∥GD.
又∵EC⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D,
∴EC∥平面AB1D.
规律方法
(1)应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略.
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.
跟踪演练2 求证:
函数y=
是奇函数,且在定义域上是增函数.
证明 y=
=1-
,
所以f(x)的定义域为R.
f(-x)+f(x)=
+
=2-
=2-
=2-
=2-2=0.
即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
任取x1,x2∈R,且x1 则f(x1)-f(x2)= =2 =2· 由于x1 所以f(x1) 要点三 合情推理、演绎推理的综合应用 例3 如图所示,三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AD两两互相垂直,O为点A在底面BCD上的射影. (1)求证: O为△BCD的垂心; (2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明. 解 (1)证明 ∵AB⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A, ∴AD⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC. ∴AD⊥BC,又∵AO⊥平面BCD,AO⊥BC, ∵AD∩AO=A, ∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥DO,同理可证CD⊥BO, ∴O为△BCD的垂心. (2)解 猜想: S +S +S =S . 证明: 连结DO并延长交BC于E,连结AE, 由 (1)知AD⊥平面ABC, AE⊂平面ABC, ∴AD⊥AE,又AO⊥ED, ∴AE2=EO·ED, ∴ 2= · , 即S =S△BOC·S△BCD. 同理可证: S =S△COD·S△BCD, S =S△BOD·S△BCD. ∴S +S +S =S△BCD·(S△BOC+S△COD+S△BOD)=S△BCD·S△BCD=S . 规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). 跟踪演练3 已知命题: “若数列{an}是等比数列,且an>0,则数列bn= (n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质? 并证明你的结论. 解 类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是: 若数列{an}是等差数列,则数列bn= 也是等差数列. 证明如下: 设等差数列{an}的公差为d,则bn= = =a1+ (n-1), 所以数列{bn}是以a1为首项, 为公差的等差数列. 1.“因对数函数y=logax是增函数(大前提),而y=log x是对数函数(小前提),所以y=log x是增函数(结论).”上面推理的错误是________. 答案 大前提错导致结论错 2.下面几种推理过程是演绎推理的是______(只填序号). ①两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° ②由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 ③某校高三共有10个班,1班有51个,2班有53个,3班有52人,由此推测各班都超过50人 ④在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 答案 ① 3.把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提: ________________;小前提: ________________;结论: ____________________. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y=x2+x+1是二次函数 函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线 4.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因: (1)因为中国的大学分布在中国各地,大前提 北京大学是中国的大学,小前提 所以北京大学分布在中国各地.结论 (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前提 所以菱形是正多边形.结论 解 (1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”,它表示中国的各所大学,而小前提中M虽然也是“中国的大学”,但它表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,故推理形式错误. (2)结论是错误的,原因是大前提错误.因为所有边长都相等,内角也都相等的凸多边形才是正多边形. 1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法;只要前提和推理形式正确,通过演绎推理得到的结论一定正确. 2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提. 一、基础达标 1.下列表述正确的是________. ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. 答案 ①③⑤ 解析 根据归纳推理,演绎推理,类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确. 2.《论语·学路》篇中说: “名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是________. 答案 演绎推理 解析 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次复式三段论,属演绎推理形式. 3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理________. 答案 小前提不正确 解析 由于函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确. 4.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是________________________________________________________________________. 答案 矩形都是对角线相等的四边形 解析 利用三段论分析: 大前提: 矩形都是对角线相等的四边形; 小前提: 四边形ABCD是矩形; 结论: 四边形ABCD的对角线相等. 5.三段论: “①小宏在2014年的高考中考入了重点本科院校;②小宏在2014年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校;③小宏在2014年的高考中正常发挥”中,“小前提”是________(填序号). 答案 ③ 解析 在这个推理中,②是大前提,③是小前提,①是结论. 6.在求函数y= 的定义域时,第一步推理中大前提是当 有意义时,a≥0;小前提是 有意义;结论是________________________________________________________________________. 答案 y= 的定义域是[4,+∞) 解析 由大前提知log2x-2≥0,解得x≥4. 7.①因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y=log x是对数函数(小前提),所以y=log x是增函数(结论). ②因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提),而A、B、C为空间三点(小前提),所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论). ③因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提),而金是金属(小前提),所以金能导电(结论). 上述三个推理形式中,推理的结论正确吗? 为什么? 解 三个结论都不正确. ①推理形式是正确的,但大前提是错误的.因为对数函数y=logax的单调性与底数a的取值范围有关,若01,则y=logax为增函数. ②推理形式是正确的,但小前提是错误的.因为若三点共线可确定无数个平面,只有不共线的三点可满足结论. ③推理形式是错误的,因为演绎推理是从一般到特殊的推理、铜、铁、铝仅是金属的代表,这是特殊事例,这是由特殊到特殊的推理. 二、能力提升 8.在推理“因为y=sinx是[0, ]上的增函数,所以sin >sin ”中,大前提为________________________________________________________________________; 小前提为________________________________________________________________________; 结论为____________________________________. 答案 y=sinx是[0, ]上的增函数 π, ∈[0, ]且 > sin >sin 9.已知三条不重合的直线m、n、l,两个不重合的平面α、β,有下列命题: ①若m∥n,n⊂α,则m∥α; ②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β; ③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β; ④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α. 其中正确的命题是________. 答案 ②④ 解析 ①中,m还可能在平面α内,①错误;②正确;③中,m与n相交时才成立,③错误;④正确. 10.关于函数f(x)=lg (x≠0),有下列命题: ①其图象关于y轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)为减函数;③f(x)的最小值是lg2;④当-1 答案 ①③④ 解析 显然f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称. 当x>0时,f(x)=lg =lg(x+ ). 设g(x)=x+ ,可知其在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. f(x)min=f (1)=lg2. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-1,0)上是增函数. 11.已知函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f (1)=-2. (1)求证f(x)是奇函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 因为x,y∈R时,f(x+y)=f(x)+f(y), 所以令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), 所以f(0)=0. 令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, 所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. (2)解 设任意的x1,x2∈R且x1 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), 因为x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0, 即f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)为减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3),最小值为f(3). 因为f(3)=f (2)+f (1)=3f (1)=-6, f(-3)=-f(3)=6, 所以函数f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6. 12.S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.求证: AB⊥BC. 证明 如图,作AE⊥SB于E. ∵平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB,AE⊂平面SAB. ∴AE⊥平面SBC, 又BC⊂平面SBC. ∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC, ∴SA⊥BC. ∵SA∩AE=A,SA⊂平面SAB,AE⊂平面SAB, ∴BC⊥平面SAB. ∵AB⊂平面SAB.∴AB⊥BC. 三、探究与创新 13.设f(x)= ,g(x)= (其中a>0且a≠1) (1)5=2+3请你推测g(5)能否用f (2),f(3),g (2),g(3)来表示; (2)如果 (1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广. 解 (1)由f(3)g (2)+g(3)f (2)= · + · = , 又g(5)= .因此,g(5)=f(3)g (2)+g(3)f (2). (2)由g(5)=f(3)g (2)+g(3)f (2), 即g(2+3)=f(3)g (2)+g(3)f (2), 于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y). 证明如下: 因为f(x)= ,g(x)= (大前提), 所以g(x+y)= ,g(y)= ,f(y)= (小前提及结论), 所以f(x)g(y)+g(x)f(y)= · + · = =g(x+y).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 演绎推理 数学 知识点 苏教版 选修 12 高中数学 212 演绎 推理 word 总结