几何画板课件设计三角函数图像的变换和应用2 2.docx
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几何画板课件设计三角函数图像的变换和应用22
三角函数图像的变换和应用
作者:
于红伟指导教师:
刘胜利
首都师范大学数学系00级3班1000500092
摘要
TheGeometer’sSketchpad是美国优秀的教育软件。
它的中文名是《几何画板─21世纪的动态几何》,以下简称《几何画板》。
《几何画板》是一个适用于几何(平面几何,解析几何,射影几何,立体几何)、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件,它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验,也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质,培养其观察能力,问题解决能力,并发展思维能力。
它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。
在学习了《几何画板》之后,我利用有关知识制作了三大类数学课件。
本文讨论了用几何画板展示三角函数图像变换和应用的有关问题.主要包括:
1.简单的三角函数变换2.自定义坐标系下的三角函数3.创新部分——三角函数在物理学中的应用(用动态效果演示)。
这三大类课件在教学上都有很重要的应用。
全文由三部分组成:
第一部分:
几何画板课件制作的选题原则。
第二部分:
详细介绍了我所选择制作的课件及其详细制作过程。
第三部分:
我学习及应用几何画板的体会。
关键词:
几何画板、三角函数、图像、变换、旋转、反射、缩放、平移、标记、动画、追踪、轨迹、隐藏。
Abstract
TheGeometer’sSketchpadisanexcellentAmericaeducationsoftware.Itiswell-knowntobe"geometrydrawing-board─thedevelopmentgeometryof21centuryinchina",followingabbreviation"geometrydrawing-board"."geometrydrawing-board"appliestotheteachingofgeometry(planegeometry,analyticgeometry,projectiongeometryandsolidgeometry),partialphysicsandthisplatformnotonlycanhelpteachersusethemoderneducationaltechnologyintheirteaching,butalsocanhelpstudentsgrasptheinwardnessofscience,andcultivatetheirabilityofobservationandsolvingquestion,andprogressingtheirideation.Asfarasitgoes,theplatformrepresentsthedevelopingdirectionoftheeducativetoolsoftware.
AfterlearningtheGeometer’sSketchpad,threetypesofmathematicfacilitiesusingconcernedknowledgearemade.ThispaperdiscussestheproblemofthediagramvarianceandtheapplianceoftrigonometricfunctionbyGeometer’sSketchpad,mainlyincluding:
1.simplediagramvarianceoftrigonometricfunction.2.trigonometricfunctionofself-definedcoordinatesystem.3.createdpart----theapplicationoftrigonometricfunctioninphysics(demonstratingwithtrends).Thesethreetypesoffacilitieshaveimportantapplicationinmathematics.
Thispaperiscomposedofthreeparts:
Inthefirstpart,somefundamentalaboutwhatkindsofproblemwecanmakethecoursewarebytheGeometer’sSketchpadaredescribed.
Inthesecondpart,severalofcourseware,whichImadeparticularly,andthecourseofmakingareintroduced.
Inthelastpart,IrelatetheexperienceofstudybyusingtheGeometer’sSketchpadarerelated.
Keyword:
TheGeometer’sSketchpad,trigonometricfunction,image,transform,reflect,zoom,translate,mark,animation,trail,track,hide.
目录
摘要………………………………………………………1
abstract……………………………………………………2
第一部分几何画板的选题原则……………………4
第二部分课件设计与制作…………………………4
一.简单的三角函数变换…………………………4
1.y=sinx的图像的形成………………………………4
2.由y=sinx转换成y=cosx…………………………6
3.由y=sinx转换成y=sin(x+w)……………………6
4.由y=sinx转换成y=sin(2x)……………………6
5.例1由y=sinx转换成y=cos(x/3)………………7
6.由y=sinx转换成y=2sinx……………………7
7.例2由y=sinx转换成y=2sin(x/2)………………8
8.由y=sinx转换成y=asin(bx+w)……………………8
二.在自定义坐标系的三角…………………………9
1.自定义坐标系下的y=sinx图像………………9
2.y=sinx的周期函数………………………………9
三.创新部分——三角函数在物理学中的应用………10
1.绳波的形成…………………………………………10
2.示波器………………………………………………12
第三部分学习几何画板的体会………………………13
参考文献:
………………………………………………14
第一部分几何画板的选题原则
心理学认为变动的事物,图形容易引起人们的注意,从而在人脑里形成较深刻的映像。
在教学中,使用常规工具(如纸,笔,圆规和直尺等)画图,有一定的局限性,并且所画的图形很容易掩盖极其重要的几何原理。
《几何画板》在中学数学教学中有很多应用,不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。
例如,在代数学教学中,它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。
在几何学教学中,平面、立体和解析几何更让《几何画板》大显身手。
当然,并不是所有教学都要利用几何画板来完成,应用几何画板制作课件,应该注意课题的选择。
第一:
几何画板可以很好的表现图形的任意性。
例如:
在让学生掌握三角形重心,内心,外心等概念时,在黑板上只能画出几个三角形作代表,不能很好的说明任意三角形,利用几何画板就可以形象的演示任意三角形重心、内心、外心等重要点的位置了。
第二:
几何画板可以精确画出函数图形并表现其全部情况。
例如:
在讲解三角函数有关概念时,正弦和余弦函数图像的画法,就可以利用几何画板出,其中正弦函数y=Asin(ωx+φ)+d的图像通过调整A,ω,φ,d的值不仅可以得到不同的精确图像,而且还能够将动态效果展示给学生。
这充分体现出了人机交互的功能。
我做的课件是关于三角函数图像的变换和应用。
我之所以选这个题目,是因为三角函数图像变换和应用是中学数学教学中的重点和难点,它的基础主要是几何中的相似形和圆,研究方法主要是代数中的式子变形和图像分析,因此三角函数的研究已初步把几何与代数联系起来了。
在各个应用技术学科中都经常用到三角函数的图像和性质,因此这些内容既是解决生产实际问题的工具,又是学习高等数学的基础,在传统的学校教学中,教师一般利用直尺、圆规在黑板上作图,这种传统的作图方式,点和线是孤立的、静止的,甚至是抽象的,这样难于记忆,难于理解,学生不明其究竟。
然而利用《几何画板》就是要充分利用它动态几何的特点,把在传统教学中比较难描述清楚的图形,用动态效果展现给学生,从而达到更好得教学效果,能够使三角函数图像的变换生动、鲜明地展现出来。
第二部分课件设计与制作
一.简单的三角函数变换
1.y=sinx的图像的形成.
方法一:
如图1.1所示。
逐个描点法。
利用描点发可以揭示三角函数的几何意义。
把单位圆上的点投影到X轴上。
图1.1
打开一个新画板,执行<图表/自定义坐标系>;改原点为O,单位点为1。
执行<图表/隐藏网格〉;
为了方便看正弦波,我们不妨取(-1,0)点为单位圆的圆心,
(1)找(-1,0)并作单位圆。
选中Y轴再执行<变换/标记镜面>(或双击Y轴)选中(1,0)再执行<变换/反射>即得到点(-1,0)。
选中(-1,0)和原点0执行<构造/以圆心和圆周上的点绘圆>得到单位圆。
(2)在圆上取点。
选中点(-1,0),再执行<变换/标记中心>(或双击点(-1,0))选中原点再执行<变换/旋转/π/6弧>画下滑线的部分顺次执行11次。
便在圆上得到11个不同的点。
分别选中这11个点与点(-1,0)作连线。
这些线段分别与x轴正半轴的夹角为π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6
(3)在横坐标轴上找横坐标值为π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6的点,并选中这11个点和x轴执行<构造/垂线>
(4)在圆上选取这11个不同的点和x轴执行<构造/平行线>。
(5)找交点。
即夹角为π/6和x轴所构成平行线与横坐标值为π/6和x轴所构成的垂线的交点。
同理π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6。
共构成11个交点。
(6)顺次选中原点和这11个交点中的三点执行<构造/过三点的弧>这样可构造出六条首尾相接弧。
这六条弧所构成的曲线便为正弦曲线。
(7)最后隐藏所有没必要的对象。
方法二:
做轨迹法。
如图1.1’在单位圆上任取一点
图1.1’
打开一个新画板。
(1)自定义单位圆。
画线段AB.作线段AB的中点C.选中C点和B点执行<构造/圆心和圆上的点绘圆>。
(2)度量角BCD的弧长。
在圆上任选一点D。
选中点B、C、D。
执行<度量/角度>得到角BCD的值,并计算BCD的半角,并标记角BCD的半角值。
标记中心点C,选中B点执行<变换/旋转/标记角度>在圆上便得到此半角的点E。
构造BED的弧长,并度量弧长。
(3)构造此单位圆的轨迹。
计算此单位圆的周长。
标记此周长值。
选中B点执行<变换/平移/极坐标/标记距离/0度>得到点F,连接线段BF。
标记弧BED的值,再选中B点执行<变换/平移/极坐标/标记距离/0度>得到点G,过点G作BF的垂线。
过点D作BF的平行线。
取两线的交点H.同时选中D、H两点执行<构造/轨迹>。
这样便得到一个周期的正弦曲线。
(4)最后隐藏所有没必要的对象。
2.由y=sinx的图像转换成y=cosx图像
原理:
因为cosx=sin(π/2+x),要想得到cosx只需要sinx向左平移π/2即可。
如图1.2
做法如下:
(1)作y=sinx的轨迹。
(2)构造y=cosx的轨迹。
选中y=sinx的轨迹,选中<构造/对象上的点>得到点A,依次选中X轴上坐标值为π/2和原点,选中<变换/标记向量>,选中A点选中<变换/平移/标记>变得到点A’,同时选中点A、A’并选中<构造/轨迹>,这样便得到y=cosx的曲线。
(3)
最后隐藏所有没必要的对象。
图1.2
3.由y=sinx图像转换成y=sin(x+w)图像其中w属于[-π,π].如图1.3
图1.3
(1)作y=sinx的轨迹。
(2)构造w。
在X轴上选中点-π与π作线段。
选中此线段,选中<构造/对象上的点>得到点W,依次选中点w与原点,选中<变换/标记向量>。
(3)选中y=sinx的轨迹选中<构造/对象上的点>得到点A。
选中A点,选中<变换/平移/标记>便得到点A’,同时选中点A、A’并选中<构造/轨迹>,这样便得到y=sin(x+w)的曲线。
(4)选中点W,选中<编辑/操作类按钮/动画>。
这样便能观察到y=sin(x+w)动态显示。
(5)最后隐藏所有没必要的对象。
4.Y=sin(2x)图像是怎么由y=sinx图像转变而来的
原理:
令u=2x那么x=u/2所以只要让sinx中的x等于原来的一半即可。
如图1.4
(1)作y=sinx的轨迹。
(2)构造y=sin2x的轨迹。
选中sinx的轨迹选中<构造/对象上的点>得到点A。
过A点作Y轴的垂线,垂线与Y轴交于B点,标记中心点B,选中A点,选中<变换/缩放/固定比例/1.0/2.0>则得到点C,选中点A、C并选中<构造/轨迹>,便得到y=sin2x的图像。
(3)最后隐藏所有没必要的对象。
图1.4
5.例1y=cos(x/3)图像是怎样由y=sinx图像转变而来的呢?
如图1.5
原理:
令u=x/3,则x=2u所以只要让cosx中的x等于原来的3倍即可
(1)作y=sinx的轨迹。
(2)作y=cosx的轨迹。
(3)方法同4,只需把<变换/缩放>作一下变动
图1.5
6.Y=2sinx图像是怎么由y=sinx图像转变而来的?
如图1.6
图1.6
(1)作y=sinx的轨迹。
(2)选中y=sinx的轨迹选中<构造/对象上的点>得到点A。
过A点作X轴的垂线,垂线与X轴交于B点,标记中心点B,选中A点,选中<变换/缩放/固定比例/4.0/2.0>则得到点C,选中点A、C并选中<构造/轨迹>,便得到y=2sinx的图像。
(3)最后隐藏所有没必要的对象。
7.例2由以上方法想一想y=2sin(x/2)的图像要怎样做,如下图1.7
图1.7
(1)y=sinx的轨迹。
(2)选中y=sinx的轨迹选中<构造/对象上的点>得到点A。
过A点作Y轴的垂线,垂线与Y轴交于B点,标记中心点B,选中A点,选中<变换/缩放/固定比例/4.0/2.0>则得到点C,过C点作X轴的垂线,垂线与X轴交于D点,标记中心点D,选中C点,执行<变换/缩放/固定比例/4.0/2.0>则得到点E,选中点A、E并选中<构造/轨迹>,便得到y=2sin(x/2)的图像。
(3)最后隐藏所有没必要的对象。
8.Y=asin(bx+w)图像是怎么由y=sinx图像转变而来的?
其中a,b为任意值,w属于[-π,π],
原理:
令u=bx+w,v=bx,v=u-w,x=(u-w)/b
图1.8
打开一个新画板。
选中<编辑/参数选择/弧度制>;
(1)作y=sinx的轨迹。
(2)构造a、b、w.在X轴上任做两点A、B,过这两点做X轴的垂线,分别在这两条垂线上任选一点a、b连接Aa、Bb。
选中X轴上-π与π两点,并连接两点得到线段L,在L上任选一点w,分别选中a、b、w作动画按钮。
并度量a、b的纵坐标,改标签分别为a、b,度量w的横坐标,改标签为w。
(3)选中y=sinx的轨迹选中<构造/对象上的点>得到点C。
依次选中点w与原点,选中<变换/标记向量>,选中C点,执行<变换/平移/标记>便得到点C’,计算1/b的大小。
标记值1/b,过C’做Y轴的垂线,与X轴交于D点,标记D点,选中<变换/缩放/标记比例系数/1/b>得到C”,过C”做X轴的垂线,与X轴交于E点,标记值a,标记点E,选中C”,执行<变换/缩放/标记比例系数/a>得到C”’,选中点C、C”’,并选中<构造/轨迹>,便得到Y=asin(bx+w)的图像。
(4)最后隐藏所有没必要的对象。
操作:
可以拖动点a、b、w或单击按钮a、b、w,来观察y=asin(bx+w)图像变化。
二.自定义坐标系下的三角函数
1.自定义坐标系下的y=sinx如下图2.1
图2.1
建立一个二维坐标系0-XY:
过点O点1画一条水平直线O1,作为X轴,过点O、点1’画另一条直线O1’,作为Y轴。
单击〈编辑/参数〉选项,角度选择弧度制。
(1)在X轴上取点x,依次选中点O、1、x,度量比值,改标签为x(为自变量x的值),其中O1为X轴单位长;
(2)度量O1’的值,改标签为I,为Y轴单位长;
(3)计算y1=sinx的值,并计算y=y1*I/1厘米,使其转化为对应Y轴长度;
(4)将y计算值标记比,让点1’以点O为中心按标记比缩放,得点y;
(5)让点y按标记向量Ox平移,得点y’,则点y’(x,y)在f(x)上,用线段连接y’y;
(6)选中线段y’y和度量值y,作颜色参数。
选中点x和点y’作轨迹;
注:
重新编辑计算y1=f(x)函数式(按右键选中编辑计算),可以得到不同曲线。
操作:
拖动点1或点1’,可以从不同角度观察函数曲线。
2.y=sinx的周期函数如下图2.2
图2.2
(1)作y=sinx的轨迹。
(2)自定义y=sinx坐标系。
其中X轴与Y轴是垂直的关系,并且是一个周期的函数。
(3)作动画按钮。
分别是自定义下的原点到直角坐标系下的原点,和到直角坐标系下的(-π,0)和到任一点的动画按钮。
该标签分别为周期1、周期2、还原。
(4)最后隐藏所有没必要的对象。
三.创新部分——三角函数在物理学中的应用
1.绳波的形成。
(当第一点完成一周期运动时所有的运动点都从新开始运动)
图3.1
打开一个新画板。
如图3.1
(1)制作绳波
1作一条水平直线L,隐藏两个初始点,在直线上任作两点A、B分别选中点A、B构造圆,连接点A、B.
2在线段AB上任选一点C,依次选中点C、B执行<编辑/操作类按钮/移动>。
3构造过点C水平方向的点0、1…12(间距为一厘米)。
选中点C作<变换/平移/直角坐标系/水平方向1.0厘米/垂直方向0厘米>得到点C’,改标签为0,顺次选中点C、0,执行<变换/标记向量>,选中点0,执行<变换/平移/标记>得到点0’,在顺次执行<变换/平移/标记>11次,分别得到了不同的11个点,依次改点0’和这11个不同点的标签为1至12。
4作边界点。
选中点0至12做直线L的垂线,在过点1的垂线上任选一点1’,过点1’作直线L的平行线,分别与过点2至12的垂线有交点,分别记为2’,3’…12’双击直线L,选中点1’和这不同的11个交点,执行<变换/反射>得到点1”…12”这12个点。
隐藏过点1到12与直线L的12条垂线,分别连接点1、1’,2、2’,3、3’…12、12’,在分别连接点1、1”…12、12”.
5作圆上一动点的动画按钮。
在点A、B构成的圆上任选一点D,选中点D,执行选中<编辑/操作类按钮/动画/逆时针/快速>,改标签为快速。
选中点D,执行选中<编辑/操作类按钮/动画/逆时针/中速>,改标签为中速。
选中点D,执行选中<编辑/操作类按钮/动画/逆时针/慢速>,改标签为慢速。
6构造圆上的点。
双击点A,选中点D,顺次执行6次<变换/旋转/固定角度/-30>,分别得到点D’至D”””选中D点与这五个点作与直线L的平行线,分别记作L1、L2…L6。
7作运动点。
作Li与线段ii’(i=1,2…6)的交点,作线段OP(充分小),选中这六个不同的交点,作以OP为半径的小圆。
8作圆的下半弧和下半弧的运动点。
标记点A,选中点C顺次执行3次<变换/旋转/固定角度/-90>得到点C’,C”,C”’,依次选中点C、C’、C”作过三点的弧a1(即下半圆),连接线段AD,作弧a1与线段AD的交点E,选中点E,顺次执行五次<变换/旋转/固定角度/-30>得到点E’至E’’’’’,过点E、E’…E’’’’’作与直线L的平行线,分别记作K1…K6,作Kj与线段jj’’(j=1,2…6)的交点,选中这六个不同的交点,作以OP为半径的小圆.
9作圆的上半弧和上半弧的运动点。
依次选中点C、C”、C’’’作过三点的弧a2(即上半圆),连接线段AD”””作与弧a2的交点F,选中点F,顺次执行五次<变换/旋转/固定角度/-30>得到点F’至F’’’’’,过点F、F’…F’’’’’作与直线L的平行线,分别记作L7…L12,作Lx与线段xx’(x=7,8…12)的交点,选中这六个不同的交点,作以OP为半径的小圆。
(2)制作弹簧振子。
1选取弹簧振子的直径。
双击点A,选中点C,执行<变换/缩放/固定比例系数/2/1>得到点G,过点A作与直线L的垂线K,在垂线K上任作两点Q、R,双击直线K,选中点G,执行<变换/反射>得到G’,过点G、G’作直线L的垂线H1、H2。
2作弹簧。
过D点作垂线K的垂线分别交H1、H2于S、T点,与K交于U点,连接UR,并度量其长度,计算线段UR的八等分的大小。
并标记其距离,选中点S、T,执行8次<变换/平移/标记距离/-90>得到点S’…S””””和T’…T””””连接线段(粗线)US’,S’T”,T”S’’’,S’’’T’’’’,T’’’’S’’’’’,S’’’’’T’’’’’’,T’’’’’S’’’’’’’,S’’’’’’’T’’’’’’’’,T’’’’’’’’R。
3作修饰。
双击点R,选中点T’’’’’’’’执行<变换/平移/固定距离1厘米/固定角度-90>得到点V,隐藏点S…S””””、T…T””””、G、G’H1、H2和K.连接QV(虚线)RV(粗线)过点Q、点V作与直线L的平行线J1、J2,在J1上任取一点W1,双击线段QR,选中点W1执行<变换/反射>,得到点W1’,过W1、W1’作J1的垂线交J2于点W2和点W2’,隐藏其垂线和J1、J2,连接线段W1Q,QW1’,W2V,VW2’,并作其四条线段的中点得到点B1、C1、D1、E1,双击点W1选中点B1,执行<变换/旋转/固定角度/60>得到点B1’,选中点W1和点B1’执行<变换/标记向量>,选中点B1、Q、C1、W1’,执行<变换/平移>,并连接其平移与被平移点。
双击点W2选中点D1,执行<变换/旋转/固定角度/-120>得到点D1’选中点W2和点D1’执行<变换/标记向量>,选中点D1、R、E1、W2’,执行<变换/平移>,并连接其平移与被平移点。
4选中D点执行<编辑/操作类按钮/显示隐藏>。
改标签为显
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