勾股定理经典题目及答案.docx
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勾股定理经典题目及答案
勾股定理经典题目及答案
勾股定理
1.勾股定理是把形的特征(三角形中有一个角是直角),转化为数量关系(a2+b2=c2),不仅可以解决一些计算问题,而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题,特别是证明线段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理,常作高(或垂线段)等辅助线构造直角三角形.
2.勾股定理的逆定理是把数的特征(a2+b2=c2)转化为形的特征(三角形中的一个角是直角),可以有机地与式的恒等变形,求图形的面积,图形的旋转等知识结合起来,构成综合题,关键是挖掘“直角”这个隐含条件.
△ABC中 ∠C=Rt∠
a2+b2=c2
3.为了计算方便,要熟记几组勾股数:
①3、4、5;
②6、8、10;
③5、12、13;
④8、15、17;
⑤9、40、41.
4.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.
一般地说,在平面几何中,经常利用直线间的位置关系,角的相互关系而判定直角,从而判定直角三角形,而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形,一般步骤是:
(1)确定最大边;
(2)算出最大边的平方,另外两边的平方和;
(3)比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等,若相等,则说明是直角三角形;
5.勾股数的推算公式
1罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家1789――1853)
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2,2mn, m2+n2是一组勾股数。
2如果k是大于1的奇数,那么k,
是一组勾股数。
3如果k是大于2的偶数,那么k,
是一组勾股数。
4如果a,b,c是勾股数,那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
典型例题分析
例1在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=____
依据这个图形的基本结构,可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d
则有a2+b2=1,c2+d2=3,S1=b2,S2=a2,S3=c2,S4=d2
S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4
例2已知线段a,求作线段
a
分析一:
a=
=
∴
a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二:
a=
∴
a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图(略)
例3如图:
(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形,则这三个等边△的面积,S1、S2、S3之间有何关系,说明理由。
(2)如图
(2),以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积S1,S2,S3之间有何关系?
(3)如果将图
(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°,成为图(3),请验证:
“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)
分析:
(1)中S1,S2,S3的表示均与直角三角形的边长有关。
所以根据勾股定理可得出S1,S2,S3的关系,S1+S2=S3
(2)类似于
(1):
S1+S2=S3
(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3
∴S阴影=S△ABC
例4.如图3,图中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若所有的正方形的面积之和为507cm2,试求最大的正方形的边长。
分析:
此题显然与勾股定理的几何意义有关,即
S1+S2=S3,S5+S6=S4,S3+S4=S阴
所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴
由已知,可得
,因此欲求EF,只要求AF的长。
设AF=x,则FC=x,BF=4-x
只要利用Rt△ABF中,AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程
x2-(4-x)2=9,问题就可以解决
例7.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a,b,c为连续整数(a
分析:
有的同学认为,在Rt△ABC中,
∵a、b、c为连续整数,
∴a=3,b=4,c=5,即a、b、c不可能是别的数。
这个同学的结论是正确的,但没有推理论证,正确的解法是
设b=x(x为正整数,且x≥2),由已知,则 a=x-1,c=x+1
∵c2-a2=b2 ∴(x+1)2-(x-1)2=x2
即4x=x2,又∵x>0, ∴只有x=4
∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12
例8.已知:
如图8,△ABC中,AB=13,BC=21,AC=20,求△ABC的面积。
分析:
为了求△ABC的面积,只要求出BC边上的高AD 若设BD=x,则DC=21-x,只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2 这个相等关系,列方程132-x2=202-(21-x)2,求出x的值 问题就能解决
例9细心观察图,认真分析各式,然后解答问题:
(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)推算出OA10的长;
(3)求出
的值。
答案
(1)
例10.如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD,求证:
AB=AC
证明:
设AB,AC,BD,CD分别为b,c,m,n
则c+n=b+m,c-b=m-n
∵AD⊥BC,根据勾股定理,得
AD2=c2-m2=b2-n2
∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b)
(c+b)(c-b)-(m+n)(c-b)=0
(c-b){(c+b)-(m+n)}=0
∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b
∴AB=AC
例11.已知:
正方形ABCD的边长为1,正方形EFGH内接于ABCD,AE=a,AF=b,且SEFGH=
求:
的值
解:
根据勾股定理
a2+b2=EF2=SEFGH=
;①
∵4S△AEF=SABCD-SEFGH ∴ 2ab=
②
-②得 (a-b)2=
∴
=
例12.已知△ABC中,∠A=Rt∠,M是BC的中点,E,F分别在AB,AC,ME⊥MF
求证:
EF2=BE2+CF2
答案.延长EM到N,使MN=EM,连结CN,显然△MNC≌△MEB,NC=BE,NF=EF……
例13.Rt△ABC中,∠ABC=90
,∠C=60
,BC=2,D是AC的中点,从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形ABEF,连结DF,则DF的长是____。
答案与提示:
. 可证DF=DE=2
(选讲)例14如图,圆柱的高为10cm,底面半径为2cm.,在下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处,需要爬行的最短路程是多少?
答案
练习
1在边长为整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4,BC=3,求AB的长.
分析:
此题没有指明是直角三角形,因此只能用三角形三边的关系定理求解,从AC 4 2如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°。 求证: DE2=AD2+BE2。 分析: 利用全等三角形的旋转变换,进行边角的全等变换,将边转移到一个三角形中,并构造直角三角形。 3如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,则BC边上的高AD=。 答案12。 4如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部分△AFC的面积是。 设EF=x,那么AF=CF=8-x,AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3, S=4*8/2-3*4/2=10 答案: 10 5如图,长方体的高为3cm,底面是边长为2cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C处,小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 6在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长. 答案25或7 7在△ABC中,D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积。 答案84或36
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